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例1 如图所示，有一抛物线形拱桥，其函数的解析式为 $y=-\frac{1}{4}x^2$，当水位线在AB位置时，水面宽为12 m，这时水面离桥顶的距离是多少？
【思路导析】水面到桥顶的距离就是点B（或点A）的纵坐标的相反数。
【请你解答】
【思路导析】水面到桥顶的距离就是点B（或点A）的纵坐标的相反数。
【请你解答】
答案
解：
∵ 水面宽AB为12 m，抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$关于y轴对称，
∴ 点B的横坐标为$12÷2=6$。
将$x=6$代入$y=-\frac{1}{4}x^2$，得
$y=-\frac{1}{4}×6^2=-9$。
∵ 桥顶在原点$O(0,0)$，
∴ 水面离桥顶的距离为$|y|=9\ \mathrm{m}$。
答：这时水面离桥顶的距离是9 m。
∵ 水面宽AB为12 m，抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$关于y轴对称，
∴ 点B的横坐标为$12÷2=6$。
将$x=6$代入$y=-\frac{1}{4}x^2$，得
$y=-\frac{1}{4}×6^2=-9$。
∵ 桥顶在原点$O(0,0)$，
∴ 水面离桥顶的距离为$|y|=9\ \mathrm{m}$。
答：这时水面离桥顶的距离是9 m。
解析
【分析】
要计算水面离桥顶的距离，首先明确桥顶为抛物线顶点，在坐标原点处，所求距离就是水面上点的纵坐标的绝对值。第一步利用抛物线关于y轴对称的性质，结合水面宽12m，可推出水面最右端点B的横坐标为6；第二步将x=6代入二次函数解析式求出对应的y值；第三步因为y为负数，取y的绝对值即可得到水面到桥顶的距离。
【解析】
∵ 水面宽AB为12 m，抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$关于y轴对称，
∴ 点B的横坐标为$12÷2=6$。
将$x=6$代入$y=-\frac{1}{4}x^2$，得
$y=-\frac{1}{4}×6^2=-9$。
∵ 桥顶在原点$O(0,0)$，
∴ 水面离桥顶的距离为$|y|=9\ \mathrm{m}$。
【答案】
9 m
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的实际应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是将实际距离问题转化为二次函数点坐标的计算问题，利用抛物线对称性确定点的横坐标是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要计算水面离桥顶的距离，首先明确桥顶为抛物线顶点，在坐标原点处，所求距离就是水面上点的纵坐标的绝对值。第一步利用抛物线关于y轴对称的性质，结合水面宽12m，可推出水面最右端点B的横坐标为6；第二步将x=6代入二次函数解析式求出对应的y值；第三步因为y为负数，取y的绝对值即可得到水面到桥顶的距离。
【解析】
∵ 水面宽AB为12 m，抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$关于y轴对称，
∴ 点B的横坐标为$12÷2=6$。
将$x=6$代入$y=-\frac{1}{4}x^2$，得
$y=-\frac{1}{4}×6^2=-9$。
∵ 桥顶在原点$O(0,0)$，
∴ 水面离桥顶的距离为$|y|=9\ \mathrm{m}$。
【答案】
9 m
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的实际应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是将实际距离问题转化为二次函数点坐标的计算问题，利用抛物线对称性确定点的横坐标是解题的关键。
【难度系数】
0.8
例2 如图所示，一个中学生掷铅球，铅球在A点处出手，在B点处落地，它的运行路线是一条抛物线，在平面直角坐标系中，这条抛物线的解析式为 $y = -\dfrac{1}{12}x^2 + \dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3}$。求铅球在运行过程中到达最高点时离地面的距离和这个学生掷铅球的成绩(单位:m)。
【思路导析】铅球最高点离地面的距离就是抛物线顶点的纵坐标，学生掷铅球的成绩就是抛物线与x轴正半轴交点的横坐标。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 求拱桥、隧道等抛物线形物体的解析式
【思路导析】铅球最高点离地面的距离就是抛物线顶点的纵坐标，学生掷铅球的成绩就是抛物线与x轴正半轴交点的横坐标。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 求拱桥、隧道等抛物线形物体的解析式
答案
解：
将抛物线解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x^2-8x)+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x^2-8x+16-16)+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x-4)^2 + 3\end{aligned}$
∵二次项系数$-\frac{1}{12}＜0$，
∴当$x=4$时，$y$取最大值3，即铅球到达最高点时离地面的距离为3m。
令$y=0$，得方程：
$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$
两边同乘$-12$整理得：
$x^2 -8x -20=0$
因式分解得$(x-10)(x+2)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-2$（不符合实际意义，舍去），即该学生掷铅球的成绩为10m。
答：铅球在运行过程中到达最高点时离地面的距离为3m，这个学生掷铅球的成绩为10m。
将抛物线解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x^2-8x)+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x^2-8x+16-16)+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x-4)^2 + 3\end{aligned}$
∵二次项系数$-\frac{1}{12}＜0$，
∴当$x=4$时，$y$取最大值3，即铅球到达最高点时离地面的距离为3m。
令$y=0$，得方程：
$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$
两边同乘$-12$整理得：
$x^2 -8x -20=0$
因式分解得$(x-10)(x+2)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-2$（不符合实际意义，舍去），即该学生掷铅球的成绩为10m。
答：铅球在运行过程中到达最高点时离地面的距离为3m，这个学生掷铅球的成绩为10m。
解析
【分析】
要解决本题，需将实际问题转化为二次函数的数学问题：①铅球最高点离地面的距离，对应开口向下的抛物线的顶点纵坐标，可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式求得最大值；②掷铅球的成绩是铅球落地时的水平距离，对应抛物线与x轴正半轴交点的横坐标，令y=0解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
首先将抛物线解析式配方变形：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x^2-8x)+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x^2-8x+16-16)+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x-4)^2 + 3\end{aligned}$
∵二次项系数$-\frac{1}{12}＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=4$时，$y$取最大值3，即铅球到达最高点时离地面的距离为3m。
接下来求掷铅球的成绩，即求$y=0$时$x$的正数值，令$y=0$，得方程：
$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$
两边同乘$-12$去分母整理得：
$x^2 -8x -20=0$
因式分解得$(x-10)(x+2)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-2$。
由于水平距离不能为负，$x_2=-2$不符合实际意义，舍去，即该学生掷铅球的成绩为10m。
【答案】
铅球在运行过程中到达最高点时离地面的距离为3m，这个学生掷铅球的成绩为10m。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中应用的典型题型，解题关键是将实际场景中的量对应到二次函数的特征量，求解过程中要注意结合实际意义筛选合适的解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需将实际问题转化为二次函数的数学问题：①铅球最高点离地面的距离，对应开口向下的抛物线的顶点纵坐标，可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式求得最大值；②掷铅球的成绩是铅球落地时的水平距离，对应抛物线与x轴正半轴交点的横坐标，令y=0解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
首先将抛物线解析式配方变形：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x^2-8x)+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x^2-8x+16-16)+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x-4)^2 + 3\end{aligned}$
∵二次项系数$-\frac{1}{12}＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=4$时，$y$取最大值3，即铅球到达最高点时离地面的距离为3m。
接下来求掷铅球的成绩，即求$y=0$时$x$的正数值，令$y=0$，得方程：
$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$
两边同乘$-12$去分母整理得：
$x^2 -8x -20=0$
因式分解得$(x-10)(x+2)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-2$。
由于水平距离不能为负，$x_2=-2$不符合实际意义，舍去，即该学生掷铅球的成绩为10m。
【答案】
铅球在运行过程中到达最高点时离地面的距离为3m，这个学生掷铅球的成绩为10m。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中应用的典型题型，解题关键是将实际场景中的量对应到二次函数的特征量，求解过程中要注意结合实际意义筛选合适的解。
【难度系数】
0.7
例3 如图,某公路隧道的横截面为抛物线,其最大高度为6 m,底部宽度OM为12 m,现以O点为原点,OM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求这条抛物线的解析式.
【探究点拨】(1)利用抛物线的对称性;(2)可利用顶点式 $ y=a(x-h)^2+k $ 确定解析式.
【规范解答】(1)M(12,0),P(6,6);
(2)设抛物线的解析式为 $ y=a(x-6)^2+6 $,
∵ 抛物线过原点(0,0),∴ $ a=-\frac{1}{6} $.
∴ 抛物线的解析式为 $ y=-\frac{1}{6}x^2+2x $.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求这条抛物线的解析式.
【探究点拨】(1)利用抛物线的对称性;(2)可利用顶点式 $ y=a(x-h)^2+k $ 确定解析式.
【规范解答】(1)M(12,0),P(6,6);
(2)设抛物线的解析式为 $ y=a(x-6)^2+6 $,
∵ 抛物线过原点(0,0),∴ $ a=-\frac{1}{6} $.
∴ 抛物线的解析式为 $ y=-\frac{1}{6}x^2+2x $.
答案
解：
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$。
(2) 设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2+6$，
∵ 抛物线过原点$(0,0)$，
∴ 将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0=a·(0-6)^2+6$，
解得$a=-\frac{1}{6}$，
∴ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，
整理得$y=-\frac{1}{6}x^2+2x$。
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$。
(2) 设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2+6$，
∵ 抛物线过原点$(0,0)$，
∴ 将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0=a·(0-6)^2+6$，
解得$a=-\frac{1}{6}$，
∴ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，
整理得$y=-\frac{1}{6}x^2+2x$。
解析
【分析】
(1) 求点坐标：已知OM长度为12m，O为原点且M在x轴上，因此M的纵坐标为0、横坐标为12，可直接得到M的坐标；抛物线具有对称性，底部OM宽12m，因此顶点P的横坐标为OM长度的一半即6，纵坐标为抛物线的最大高度6，即可得到P的坐标。
(2) 求抛物线解析式：已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式$y=a(x-h)^2+k$（h、k为顶点横、纵坐标），代入顶点P的坐标得到含参数a的解析式，再将抛物线经过的已知点原点$O(0,0)$代入解析式，求解得到a的值，最后整理为一般式即可。
【解析】
(1)
∵ $OM=12\ \mathrm{m}$，O为坐标原点，M在x轴上，
∴ M点坐标为$(12,0)$；
∵ 抛物线最大高度为6m，底部OM宽度为12m，抛物线对称轴为OM的垂直平分线即直线$x=6$，
∴ 顶点P的坐标为$(6,6)$。
(2) 设抛物线的顶点式解析式为$y=a(x-h)^2+k$，将顶点$P(6,6)$代入得$y=a(x-6)^2+6$，
∵ 抛物线经过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入上式：
$0=a·(0-6)^2+6$，
即$36a+6=0$，解得$a=-\frac{1}{6}$，
将a代入解析式得$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，展开整理得$y=-\frac{1}{6}x^2+2x$。
【答案】
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$；
(2) $y=-\frac{1}{6}x^2+2x$（或$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$）
【知识点】
坐标的确定；二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型基础题，结合抛物线的对称性确定关键点坐标，再用待定系数法求解析式，解题的关键是合理选择二次函数的解析式形式简化计算，是后续解决更复杂的二次函数实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.85
(1) 求点坐标：已知OM长度为12m，O为原点且M在x轴上，因此M的纵坐标为0、横坐标为12，可直接得到M的坐标；抛物线具有对称性，底部OM宽12m，因此顶点P的横坐标为OM长度的一半即6，纵坐标为抛物线的最大高度6，即可得到P的坐标。
(2) 求抛物线解析式：已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式$y=a(x-h)^2+k$（h、k为顶点横、纵坐标），代入顶点P的坐标得到含参数a的解析式，再将抛物线经过的已知点原点$O(0,0)$代入解析式，求解得到a的值，最后整理为一般式即可。
【解析】
(1)
∵ $OM=12\ \mathrm{m}$，O为坐标原点，M在x轴上，
∴ M点坐标为$(12,0)$；
∵ 抛物线最大高度为6m，底部OM宽度为12m，抛物线对称轴为OM的垂直平分线即直线$x=6$，
∴ 顶点P的坐标为$(6,6)$。
(2) 设抛物线的顶点式解析式为$y=a(x-h)^2+k$，将顶点$P(6,6)$代入得$y=a(x-6)^2+6$，
∵ 抛物线经过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入上式：
$0=a·(0-6)^2+6$，
即$36a+6=0$，解得$a=-\frac{1}{6}$，
将a代入解析式得$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，展开整理得$y=-\frac{1}{6}x^2+2x$。
【答案】
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$；
(2) $y=-\frac{1}{6}x^2+2x$（或$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$）
【知识点】
坐标的确定；二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型基础题，结合抛物线的对称性确定关键点坐标，再用待定系数法求解析式，解题的关键是合理选择二次函数的解析式形式简化计算，是后续解决更复杂的二次函数实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.85
变式探究
一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为2 m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6 m，建立如图所示的坐标系.
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4 m，宽4 m，能否从该隧道内通过，为什么？
一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为2 m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6 m，建立如图所示的坐标系.
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4 m，宽4 m，能否从该隧道内通过，为什么？
答案
解：
（1）由题意可得，抛物线的顶点P的坐标为$(4,6)$，点A的坐标为$(0,2)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+6$，
将$A(0,2)$代入解析式，得：
$2 = a·(0-4)^2 + 6$，
解得$a=-\frac{1}{4}$，
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$，即$y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2\quad(0≤ x≤8)$。
（2）货车能从该隧道内通过，理由如下：
令$y=4$，代入抛物线解析式得：
$4 = -\frac{1}{4}(x-4)^2 + 6$，
整理得$(x-4)^2=8$，
解得$x_1=4+2\sqrt{2}$，$x_2=4-2\sqrt{2}$，
此时对应隧道的水平宽度为$x_1 - x_2 = 4\sqrt{2}\approx5.656\ \mathrm{m}$。
因为$5.656\ \mathrm{m} ＞ 4\ \mathrm{m}$，即高度为4m时，隧道可通行的宽度大于货车的宽度，所以该货车能从隧道内通过。
答：（1）抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2\ (0≤ x≤8)$；（2）高4m宽4m的货车能从该隧道内通过。
（1）由题意可得，抛物线的顶点P的坐标为$(4,6)$，点A的坐标为$(0,2)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+6$，
将$A(0,2)$代入解析式，得：
$2 = a·(0-4)^2 + 6$，
解得$a=-\frac{1}{4}$，
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$，即$y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2\quad(0≤ x≤8)$。
（2）货车能从该隧道内通过，理由如下：
令$y=4$，代入抛物线解析式得：
$4 = -\frac{1}{4}(x-4)^2 + 6$，
整理得$(x-4)^2=8$，
解得$x_1=4+2\sqrt{2}$，$x_2=4-2\sqrt{2}$，
此时对应隧道的水平宽度为$x_1 - x_2 = 4\sqrt{2}\approx5.656\ \mathrm{m}$。
因为$5.656\ \mathrm{m} ＞ 4\ \mathrm{m}$，即高度为4m时，隧道可通行的宽度大于货车的宽度，所以该货车能从隧道内通过。
答：（1）抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2\ (0≤ x≤8)$；（2）高4m宽4m的货车能从该隧道内通过。
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，首先根据题意确定抛物线顶点坐标为$(4,6)$，且过点$A(0,2)$，已知顶点坐标选用顶点式设解析式更简便，将点$A$坐标代入即可求出未知系数$a$，同时结合实际场景确定自变量$x$的取值范围。
（2）判断货车能否通过，本质是判断高度为4m时隧道的水平通行宽度是否大于货车宽度4m，因此令$y=4$代入解析式，求出对应的两个$x$值，计算两值的差得到该高度下的通行宽度，与货车宽度比较即可得出结论。
【解析】
（1）由题意得抛物线顶点$P$的坐标为$(4,6)$，且经过点$A(0,2)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+6$，
将$A(0,2)$代入解析式，得：
$2 = a·(0-4)^2 + 6$，
解得$a=-\frac{1}{4}$，
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$，整理为一般式为$y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2$，结合实际意义得$x$的取值范围是$0≤ x≤8$。
（2）货车能从该隧道内通过，理由如下：
令$y=4$，代入抛物线解析式得：
$4 = -\frac{1}{4}(x-4)^2 + 6$，
整理得$(x-4)^2=8$，
解得$x_1=4+2\sqrt{2}$，$x_2=4-2\sqrt{2}$，
此时对应隧道的水平宽度为$x_1 - x_2 = 4\sqrt{2}\approx5.656\ \mathrm{m}$。
因为$5.656\ \mathrm{m} ＞ 4\ \mathrm{m}$，即高度为4m时隧道可通行的宽度大于货车的宽度，所以该货车能从隧道内通过。
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2\ (0≤ x≤8)$（或$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6\ (0≤ x≤8)$）；
（2）高4m宽4m的货车能从该隧道内通过。
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数实际应用、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型基础题，核心是将实际问题转化为二次函数的计算，既考查了二次函数解析式的求解方法，也考查了数学建模能力，解题时要注意自变量取值范围需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线解析式时，首先根据题意确定抛物线顶点坐标为$(4,6)$，且过点$A(0,2)$，已知顶点坐标选用顶点式设解析式更简便，将点$A$坐标代入即可求出未知系数$a$，同时结合实际场景确定自变量$x$的取值范围。
（2）判断货车能否通过，本质是判断高度为4m时隧道的水平通行宽度是否大于货车宽度4m，因此令$y=4$代入解析式，求出对应的两个$x$值，计算两值的差得到该高度下的通行宽度，与货车宽度比较即可得出结论。
【解析】
（1）由题意得抛物线顶点$P$的坐标为$(4,6)$，且经过点$A(0,2)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+6$，
将$A(0,2)$代入解析式，得：
$2 = a·(0-4)^2 + 6$，
解得$a=-\frac{1}{4}$，
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$，整理为一般式为$y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2$，结合实际意义得$x$的取值范围是$0≤ x≤8$。
（2）货车能从该隧道内通过，理由如下：
令$y=4$，代入抛物线解析式得：
$4 = -\frac{1}{4}(x-4)^2 + 6$，
整理得$(x-4)^2=8$，
解得$x_1=4+2\sqrt{2}$，$x_2=4-2\sqrt{2}$，
此时对应隧道的水平宽度为$x_1 - x_2 = 4\sqrt{2}\approx5.656\ \mathrm{m}$。
因为$5.656\ \mathrm{m} ＞ 4\ \mathrm{m}$，即高度为4m时隧道可通行的宽度大于货车的宽度，所以该货车能从隧道内通过。
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2\ (0≤ x≤8)$（或$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6\ (0≤ x≤8)$）；
（2）高4m宽4m的货车能从该隧道内通过。
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数实际应用、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型基础题，核心是将实际问题转化为二次函数的计算，既考查了二次函数解析式的求解方法，也考查了数学建模能力，解题时要注意自变量取值范围需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
