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8.某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，
价格由每箱50元降为32元.当出厂价降至
每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这
种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元
时，周销售量为600箱，且每箱的售价每涨5
元，周销售量就减少50箱.
(1)已知出厂价两次降价的百分率相同，直接
写出这个百分率；
(2)求出售这种消毒液一周的总利润w(单
位:元)与每箱售价x(单位:元)的函数解
析式；
(3)若要使该消毒液的售价不高于75元，且
厂家一周的总成本不高于9 600元，求每
箱售价为多少元时，获利最多？
价格由每箱50元降为32元.当出厂价降至
每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这
种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元
时，周销售量为600箱，且每箱的售价每涨5
元，周销售量就减少50箱.
(1)已知出厂价两次降价的百分率相同，直接
写出这个百分率；
(2)求出售这种消毒液一周的总利润w(单
位:元)与每箱售价x(单位:元)的函数解
析式；
(3)若要使该消毒液的售价不高于75元，且
厂家一周的总成本不高于9 600元，求每
箱售价为多少元时，获利最多？
答案
解：
(1) 20%
(2) 由题意得，周销售量为：
$600 - 50×\frac{x-40}{5}=1000-10x$
总利润$w=(x-32)(1000-10x)$
整理得：$w=-10x^2+1320x-32000$
(3) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x ≤ 75 \\32(1000-10x) ≤ 9600\end{cases}$
解第二个不等式得：$x≥70$
∴ $x$的取值范围是$70≤ x≤75$
对于二次函数$w=-10x^2+1320x-32000$，
$\because a=-10＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{1320}{2×(-10)}=66$，
∴ 当$x＞66$时，$w$随$x$的增大而减小，
又$\because 70≤ x≤75$，
∴ 当$x=70$时，$w$取得最大值。
答：每箱售价为70元时，获利最多。
(1) 20%
(2) 由题意得，周销售量为：
$600 - 50×\frac{x-40}{5}=1000-10x$
总利润$w=(x-32)(1000-10x)$
整理得：$w=-10x^2+1320x-32000$
(3) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x ≤ 75 \\32(1000-10x) ≤ 9600\end{cases}$
解第二个不等式得：$x≥70$
∴ $x$的取值范围是$70≤ x≤75$
对于二次函数$w=-10x^2+1320x-32000$，
$\because a=-10＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{1320}{2×(-10)}=66$，
∴ 当$x＞66$时，$w$随$x$的增大而减小，
又$\because 70≤ x≤75$，
∴ 当$x=70$时，$w$取得最大值。
答：每箱售价为70元时，获利最多。
解析
【分析】
(1)第一问属于平均降价率问题，可套用增长率通用公式：原价×(1-降价率)ⁿ=现价，n为降价次数，此处n=2，代入已知原价50元、现价32元，列一元二次方程求解即可，注意舍去不符合实际的负根。
(2)第二问求总利润与售价的函数关系，核心公式为总利润=每箱利润×周销售量，首先根据售价与销量的变化规律，用含x的代数式表示周销售量，再结合每箱利润为(x-32)元，相乘后整理为二次函数一般式即可。
(3)第三问属于带约束条件的二次函数最值问题，首先根据“售价不高于75元”“总成本不高于9600元”两个限制条件列不等式组，求出自变量x的取值范围；再分析二次函数的开口方向、对称轴，确定函数在x取值范围内的增减性，即可找到获利最大时对应的售价。
【解析】
(1)设两次降价的百分率为x，由题意得：
$50(1-x)^2=32$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（不符合降价率小于1的实际情况，舍去）
故这个百分率为20%。
(2)由题意可知，每箱售价为x元时，相比40元上涨了$(x-40)$元，每涨5元销量减少50箱，因此周销售量为：
$600 - 50×\frac{x-40}{5}=1000-10x$（箱）
每箱利润为$(x-32)$元，因此总利润：
$w=(x-32)(1000-10x)$
整理得：$w=-10x^2+1320x-32000$
(3)根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x ≤ 75 \\32(1000-10x) ≤ 9600\end{cases}$
解第二个不等式：
两边同时除以32得：$1000-10x ≤ 300$
移项得：$10x ≥ 700$，即$x≥70$
∴x的取值范围是$70≤x≤75$
对于二次函数$w=-10x^2+1320x-32000$，
∵$a=-10＜0$，
∴抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{1320}{2×(-10)}=66$
∴当$x＞66$时，w随x的增大而减小，
又
∵$70≤x≤75$在对称轴右侧，
∴当$x=70$时，w取得最大值。
【答案】
(1)20%
(2)$w=-10x^2+1320x-32000$
(3)每箱售价为70元时，获利最多。
【知识点】
平均增长率问题，二次函数利润应用，一元一次不等式组应用
【点评】
本题是典型的商品利润类综合应用题，结合了一元二次方程、不等式组与二次函数的相关知识，解题时需先理清售价、销量、成本、利润之间的数量关系，尤其要注意先根据限制条件确定自变量的取值范围，再结合二次函数的增减性求最值，不能直接取对称轴对应的值。
【难度系数】
0.6
(1)第一问属于平均降价率问题，可套用增长率通用公式：原价×(1-降价率)ⁿ=现价，n为降价次数，此处n=2，代入已知原价50元、现价32元，列一元二次方程求解即可，注意舍去不符合实际的负根。
(2)第二问求总利润与售价的函数关系，核心公式为总利润=每箱利润×周销售量，首先根据售价与销量的变化规律，用含x的代数式表示周销售量，再结合每箱利润为(x-32)元，相乘后整理为二次函数一般式即可。
(3)第三问属于带约束条件的二次函数最值问题，首先根据“售价不高于75元”“总成本不高于9600元”两个限制条件列不等式组，求出自变量x的取值范围；再分析二次函数的开口方向、对称轴，确定函数在x取值范围内的增减性，即可找到获利最大时对应的售价。
【解析】
(1)设两次降价的百分率为x，由题意得：
$50(1-x)^2=32$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（不符合降价率小于1的实际情况，舍去）
故这个百分率为20%。
(2)由题意可知，每箱售价为x元时，相比40元上涨了$(x-40)$元，每涨5元销量减少50箱，因此周销售量为：
$600 - 50×\frac{x-40}{5}=1000-10x$（箱）
每箱利润为$(x-32)$元，因此总利润：
$w=(x-32)(1000-10x)$
整理得：$w=-10x^2+1320x-32000$
(3)根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x ≤ 75 \\32(1000-10x) ≤ 9600\end{cases}$
解第二个不等式：
两边同时除以32得：$1000-10x ≤ 300$
移项得：$10x ≥ 700$，即$x≥70$
∴x的取值范围是$70≤x≤75$
对于二次函数$w=-10x^2+1320x-32000$，
∵$a=-10＜0$，
∴抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{1320}{2×(-10)}=66$
∴当$x＞66$时，w随x的增大而减小，
又
∵$70≤x≤75$在对称轴右侧，
∴当$x=70$时，w取得最大值。
【答案】
(1)20%
(2)$w=-10x^2+1320x-32000$
(3)每箱售价为70元时，获利最多。
【知识点】
平均增长率问题，二次函数利润应用，一元一次不等式组应用
【点评】
本题是典型的商品利润类综合应用题，结合了一元二次方程、不等式组与二次函数的相关知识，解题时需先理清售价、销量、成本、利润之间的数量关系，尤其要注意先根据限制条件确定自变量的取值范围，再结合二次函数的增减性求最值，不能直接取对称轴对应的值。
【难度系数】
0.6
9.和谐小区计划在360平方米的绿化带上种植甲、乙两种花卉.市场调查发现:甲种花卉种植费用y(单位:元/平方米)与种植面积x(单位:平方米)之间的函数关系如图所示,乙种花卉种植费用为15元/平方米.
(1)当$x≤100$时,求$y$与$x$的函数解析式,并写出$x$的取值范围;
(2)当甲种花卉种植面积不少于30平方米,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时:
①如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用$w$(单位:元)最少?最少是多少元?
②受投入资金的限制,种植总费用不超过6000元,请直接写出甲种花卉种植面积$x$的取值范围.
(1)当$x≤100$时,求$y$与$x$的函数解析式,并写出$x$的取值范围;
(2)当甲种花卉种植面积不少于30平方米,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时:
①如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用$w$(单位:元)最少?最少是多少元?
②受投入资金的限制,种植总费用不超过6000元,请直接写出甲种花卉种植面积$x$的取值范围.
答案
解：
(1) 当$0 ＜ x ≤ 40$时，由图像得$y=30$。
当$40 ＜ x ≤ 100$时，设$y=kx+b$，将点$(40,30)$和$(100,15)$代入解析式：
$\begin{cases}40k + b = 30 \\100k + b = 15\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4} \\b=40\end{cases}$，即$y=-\dfrac{1}{4}x + 40$。
综上，y与x的函数解析式为：
$y=\begin{cases}30 & (0 ＜ x ≤ 40) \\-\dfrac{1}{4}x + 40 & (40 ＜ x ≤ 100)\end{cases}$
(2) ① 根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x ≥ 30 \\360 - x ≥ 3x\end{cases}$
解得$30 ≤ x ≤ 90$。
当$30 ≤ x ≤ 40$时，总费用$w=30x + 15(360 - x)=15x + 5400$，
∵$15＞0$，w随x的增大而增大，
∴当$x=30$时，w取最小值$15×30 + 5400=5850$。
当$40 ＜ x ≤ 90$时，总费用$w=x(-\dfrac{1}{4}x + 40) + 15(360 - x)=-\dfrac{1}{4}x^2 + 25x + 5400$，
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=50$，
∴在区间$40 ＜ x ≤ 90$上，w随x的增大而减小，
∴当$x=90$时，w取最小值$-\dfrac{1}{4}×90^2 + 25×90 + 5400=5625$。
∵$5625 ＜ 5850$，
∴甲种植面积为90平方米，乙种植面积为$360-90=270$平方米时，总费用最少。
答：① 甲种花卉种植90平方米，乙种花卉种植270平方米时总费用最少，最少为5625元；② 甲种花卉种植面积x的取值范围是$30 ≤ x ≤ 40$或$60 ≤ x ≤ 90$。
(1) 当$0 ＜ x ≤ 40$时，由图像得$y=30$。
当$40 ＜ x ≤ 100$时，设$y=kx+b$，将点$(40,30)$和$(100,15)$代入解析式：
$\begin{cases}40k + b = 30 \\100k + b = 15\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4} \\b=40\end{cases}$，即$y=-\dfrac{1}{4}x + 40$。
综上，y与x的函数解析式为：
$y=\begin{cases}30 & (0 ＜ x ≤ 40) \\-\dfrac{1}{4}x + 40 & (40 ＜ x ≤ 100)\end{cases}$
(2) ① 根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x ≥ 30 \\360 - x ≥ 3x\end{cases}$
解得$30 ≤ x ≤ 90$。
当$30 ≤ x ≤ 40$时，总费用$w=30x + 15(360 - x)=15x + 5400$，
∵$15＞0$，w随x的增大而增大，
∴当$x=30$时，w取最小值$15×30 + 5400=5850$。
当$40 ＜ x ≤ 90$时，总费用$w=x(-\dfrac{1}{4}x + 40) + 15(360 - x)=-\dfrac{1}{4}x^2 + 25x + 5400$，
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=50$，
∴在区间$40 ＜ x ≤ 90$上，w随x的增大而减小，
∴当$x=90$时，w取最小值$-\dfrac{1}{4}×90^2 + 25×90 + 5400=5625$。
∵$5625 ＜ 5850$，
∴甲种植面积为90平方米，乙种植面积为$360-90=270$平方米时，总费用最少。
答：① 甲种花卉种植90平方米，乙种花卉种植270平方米时总费用最少，最少为5625元；② 甲种花卉种植面积x的取值范围是$30 ≤ x ≤ 40$或$60 ≤ x ≤ 90$。
解析
【分析】
第(1)问观察函数图像为分段函数，分区间讨论：当$0＜x≤40$时，y为定值30；当$40＜x≤100$时，函数为一次函数，利用待定系数法代入两个端点坐标即可求出解析式。第(2)问首先根据题目的限制条件列不等式组，确定x的取值范围为$30≤x≤90$；再分$30≤x≤40$和$40＜x≤90$两段分别写出总费用w的函数表达式，结合一次函数的增减性、二次函数的开口方向和对称轴分别求出两段的最小值，比较两个最小值即可得到最优种植方案。第②小问分两段令总费用$w≤6000$，解不等式后结合x的取值范围即可得到最终结果。
【解析】
(1) 分段讨论函数解析式：
当$0 ＜ x ≤ 40$时，由图像可得$y=30$。
当$40 ＜ x ≤ 100$时，设$y=kx+b$，将点$(40,30)$和$(100,15)$代入解析式得：
$\begin{cases}40k + b = 30 \\100k + b = 15\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4} \\b=40\end{cases}$，即$y=-\dfrac{1}{4}x + 40$。
综上，y与x的函数解析式为：
$y=\begin{cases}30 & (0 ＜ x ≤ 40) \\-\dfrac{1}{4}x + 40 & (40 ＜ x ≤ 100)\end{cases}$
(2) ① 先根据题意列不等式组确定x的范围：
$\begin{cases}x ≥ 30 \\360 - x ≥ 3x\end{cases}$
解得$30 ≤ x ≤ 90$。
分两段计算总费用的最小值：
当$30 ≤ x ≤ 40$时，总费用$w=30x + 15(360 - x)=15x + 5400$，
∵$15＞0$，w随x的增大而增大，
∴当$x=30$时，w取最小值，$w_{min}=15×30 + 5400=5850$。
当$40 ＜ x ≤ 90$时，总费用$w=x(-\dfrac{1}{4}x + 40) + 15(360 - x)=-\dfrac{1}{4}x^2 + 25x + 5400$，
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-\dfrac{25}{2×(-\dfrac{1}{4})}=50$，
∴在区间$40 ＜ x ≤ 90$上，w随x的增大而减小，
∴当$x=90$时，w取最小值，$w_{min}=-\dfrac{1}{4}×90^2 + 25×90 + 5400=5625$。
∵$5625 ＜ 5850$，
∴甲种植面积为90平方米，乙种植面积为$360-90=270$平方米时，总费用最少。
② 分情况解不等式$w≤6000$：
当$30≤x≤40$时，$15x+5400≤6000$，解得$x≤40$，结合范围得$30≤x≤40$；
当$40＜x≤90$时，$-\dfrac{1}{4}x^2+25x+5400≤6000$，解得$x≤60$或$x≥40$，结合范围得$60≤x≤90$；
综上x的取值范围为$30 ≤ x ≤ 40$或$60 ≤ x ≤ 90$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}30 & (0 ＜ x ≤ 40) \\-\dfrac{1}{4}x + 40 & (40 ＜ x ≤ 100)\end{cases}$
(2) ① 甲种花卉种植90平方米，乙种花卉种植270平方米时总费用最少，最少为5625元；② $30 ≤ x ≤ 40$或$60 ≤ x ≤ 90$
【知识点】
分段函数，二次函数的最值，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是函数与不等式结合的实际应用问题，解题核心是先明确分段函数的解析式，再结合限制条件确定自变量的取值范围，分段讨论函数的最值，求解过程中要注意自变量的取值边界，避免因忽略范围导致错误。
【难度系数】
0.6
第(1)问观察函数图像为分段函数，分区间讨论：当$0＜x≤40$时，y为定值30；当$40＜x≤100$时，函数为一次函数，利用待定系数法代入两个端点坐标即可求出解析式。第(2)问首先根据题目的限制条件列不等式组，确定x的取值范围为$30≤x≤90$；再分$30≤x≤40$和$40＜x≤90$两段分别写出总费用w的函数表达式，结合一次函数的增减性、二次函数的开口方向和对称轴分别求出两段的最小值，比较两个最小值即可得到最优种植方案。第②小问分两段令总费用$w≤6000$，解不等式后结合x的取值范围即可得到最终结果。
【解析】
(1) 分段讨论函数解析式：
当$0 ＜ x ≤ 40$时，由图像可得$y=30$。
当$40 ＜ x ≤ 100$时，设$y=kx+b$，将点$(40,30)$和$(100,15)$代入解析式得：
$\begin{cases}40k + b = 30 \\100k + b = 15\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4} \\b=40\end{cases}$，即$y=-\dfrac{1}{4}x + 40$。
综上，y与x的函数解析式为：
$y=\begin{cases}30 & (0 ＜ x ≤ 40) \\-\dfrac{1}{4}x + 40 & (40 ＜ x ≤ 100)\end{cases}$
(2) ① 先根据题意列不等式组确定x的范围：
$\begin{cases}x ≥ 30 \\360 - x ≥ 3x\end{cases}$
解得$30 ≤ x ≤ 90$。
分两段计算总费用的最小值：
当$30 ≤ x ≤ 40$时，总费用$w=30x + 15(360 - x)=15x + 5400$，
∵$15＞0$，w随x的增大而增大，
∴当$x=30$时，w取最小值，$w_{min}=15×30 + 5400=5850$。
当$40 ＜ x ≤ 90$时，总费用$w=x(-\dfrac{1}{4}x + 40) + 15(360 - x)=-\dfrac{1}{4}x^2 + 25x + 5400$，
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-\dfrac{25}{2×(-\dfrac{1}{4})}=50$，
∴在区间$40 ＜ x ≤ 90$上，w随x的增大而减小，
∴当$x=90$时，w取最小值，$w_{min}=-\dfrac{1}{4}×90^2 + 25×90 + 5400=5625$。
∵$5625 ＜ 5850$，
∴甲种植面积为90平方米，乙种植面积为$360-90=270$平方米时，总费用最少。
② 分情况解不等式$w≤6000$：
当$30≤x≤40$时，$15x+5400≤6000$，解得$x≤40$，结合范围得$30≤x≤40$；
当$40＜x≤90$时，$-\dfrac{1}{4}x^2+25x+5400≤6000$，解得$x≤60$或$x≥40$，结合范围得$60≤x≤90$；
综上x的取值范围为$30 ≤ x ≤ 40$或$60 ≤ x ≤ 90$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}30 & (0 ＜ x ≤ 40) \\-\dfrac{1}{4}x + 40 & (40 ＜ x ≤ 100)\end{cases}$
(2) ① 甲种花卉种植90平方米，乙种花卉种植270平方米时总费用最少，最少为5625元；② $30 ≤ x ≤ 40$或$60 ≤ x ≤ 90$
【知识点】
分段函数，二次函数的最值，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是函数与不等式结合的实际应用问题，解题核心是先明确分段函数的解析式，再结合限制条件确定自变量的取值范围，分段讨论函数的最值，求解过程中要注意自变量的取值边界，避免因忽略范围导致错误。
【难度系数】
0.6
