有两个角的三角形是（简写成“等角对等边”）。

相等 等腰三角形

【分析】
本题考查等腰三角形判定定理的基础表述，解题时先回忆“等角对等边”的完整含义：“等角”指的是三角形内有两个角相等，“对等边”指这两个相等的角所对的边也相等，而满足两条边相等的三角形属于等腰三角形，结合定理表述直接对应填空即可。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，该结论简写成“等角对等边”，因此第一个空填“相等”，第二个空填“等腰三角形”。
【答案】
相等 等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础识记类题型，直接考查等腰三角形判定定理的原文表述，难度较低，熟练掌握核心定理内容即可快速得分。
【难度系数】
0.9

1. 已知在$△ ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，则下列条件中，不能判定$△ ABC$是等腰三角形的是（）.

A.$a=3$，$b=3$，$c=4$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$∠ B=50°$，$∠ C=80°$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$

1. B

【分析】
要判断能否判定△ABC是等腰三角形，需依据等腰三角形的判定条件：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形。解题时我们逐一分析每个选项是否满足上述判定条件，找出不满足的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知a=3，b=3，可得a=b，两条边相等，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意，排除；
B选项：a:b:c=2:3:4，说明三条边长度均不相等，对应三个内角也均不相等，不满足等腰三角形的判定条件，不能判定是等腰三角形；
C选项：根据三角形内角和为180°，可得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°，即∠A=∠B，两个角相等，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意，排除；
D选项：设∠A=x，∠B=x，∠C=2x，根据三角形内角和为180°可得：x+x+2x=180°，解得x=45°，即∠A=∠B=45°，两个角相等，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意，排除。
综上，只有B选项不能判定△ABC是等腰三角形。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形的判定方法，解题时结合边的等量关系和角的等量关系逐一验证即可，需要熟练掌握等腰三角形的判定定理和三角形内角和定理。
【难度系数】
0.9

2. 如图15.3-8，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$BD$，$CE$分别为$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线，则图中等腰三角形的个数为（）.

A.5
B.6
C.7
D.8


图15.3-8
图15.3-9

2. D

【分析】
要找出图中的等腰三角形，需结合等腰三角形“等角对等边”的判定定理分析：首先利用已知等腰△ABC的顶角求出底角度数，再结合角平分线的性质算出所有小角的度数，最后按照从大到小或从小到大的顺序逐一判断，避免漏数。
【解析】
解：设BD与CE交于点O。
1. 已知$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形。
$∠ A=36°$，由三角形内角和得：$∠ ABC=∠ ACB=(180°-36°)÷2=72°$。
2. $\because BD、CE$分别平分$∠ ABC、∠ ACB$，
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC=∠ ACE=∠ BCE=36°$。
3. 逐个判断等腰三角形：
①$△ ABC$：$AB=AC$，是等腰三角形；
②$△ ABD$：$∠ A=∠ ABD=36°$，故$AD=BD$，是等腰三角形；
③$△ ACE$：$∠ A=∠ ACE=36°$，故$AE=CE$，是等腰三角形；
④$△ BCE$：$∠ BEC=180°-∠ ABC-∠ BCE=180°-72°-36°=72°$，故$∠ BEC=∠ ABC$，$BC=CE$，是等腰三角形；
⑤$△ BCD$：$∠ BDC=180°-∠ ACB-∠ DBC=180°-72°-36°=72°$，故$∠ BDC=∠ ACB$，$BC=BD$，是等腰三角形；
⑥$△ BOC$：$∠ OBC=∠ OCB=36°$，故$OB=OC$，是等腰三角形；
⑦$△ BOE$：$∠ BEO=72°$，$∠ EBO=∠ ABD=36°$，故$∠ BOE=180°-72°-36°=72°$，$∠ BEO=∠ BOE$，$BE=BO$，是等腰三角形；
⑧$△ COD$：$∠ CDO=72°$，$∠ DCO=∠ ACE=36°$，故$∠ COD=180°-72°-36°=72°$，$∠ CDO=∠ COD$，$CD=CO$，是等腰三角形。
综上，共有8个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题解题核心是先计算出图中所有角的度数，再结合“等角对等边”逐一验证，需要按顺序计数，避免遗漏交点形成的小等腰三角形，考查学生的逻辑推理和细致观察能力。
【难度系数】
0.7

3. 如图15.3-9，$∠ ABC = ∠ ACB$，BD，CD，AD分别平分$△ ABC$的内角$∠ ABC$，外角$∠ ACF$，外角$∠ EAC$. 则以下结论正确的有（）.
①$AD // BC$；②$∠ ACB = 2∠ ADB$；③$∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$；
④$△ ABD$和$△ ACD$都是等腰三角形.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

3. D

【分析】
我们需要逐个验证4个结论是否正确，解题思路如下：首先利用角平分线的定义得到各角的等量关系，再结合三角形外角性质、平行线判定定理、等腰三角形判定定理，通过角的代换逐一推导每个结论，最终统计正确结论的个数得到答案。
【解析】
设∠ABC=∠ACB=α，∠BAC=β，由三角形内角和得2α+β=180°。
1. 验证结论①：
AD平分外角∠EAC，故∠EAD=½∠EAC。
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC=∠ABC+∠ACB=2α，
∴∠EAD=α=∠ABC，同位角相等，两直线平行，故AD//BC，①正确。
2. 验证结论②：
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC（内错角相等）。
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=½∠ABC=½α，
∴∠ADB=½α，而∠ACB=α，故∠ACB=2∠ADB，②正确。
3. 验证结论③：
CD平分外角∠ACF，∠ACF是△ABC的外角，故∠ACF=∠BAC+∠ABC=α+β，
∴∠DCF=½∠ACF=½(α+β)。
又
∵∠DCF是△BCD的外角，
∴∠DCF=∠DBC+∠BDC，
代入∠DBC=½α得：½(α+β)=½α+∠BDC，化简得∠BDC=½β=½∠BAC，③正确。
4. 验证结论④：
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCF（内错角相等），
又
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，故∠ADC=∠ACD，
∴AC=AD，△ACD是等腰三角形；
同理，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，故∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，△ABD是等腰三角形，④正确。
综上，4个结论都正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查三角形角的相关性质，需要熟练运用角平分线、平行线、等腰三角形、三角形外角的相关定理，通过角的等量代换逐一验证结论，侧重考察逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

4. 在$△ ABC$中，$∠ A=80°$，当$∠ B=$时，$△ ABC$是等腰三角形。

4. 80°或50°或20°

【分析】
要判断△ABC是等腰三角形，需结合等腰三角形“两底角相等”的性质分析，已知∠A=80°，但未明确∠A是顶角还是底角，因此需要分三种情况讨论，每种情况结合三角形内角和为180°计算∠B的度数，同时验证计算结果是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当∠A为等腰三角形的顶角时，∠B和∠C为底角，两角相等：
∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°；
2. 当∠A为等腰三角形的底角，且∠B也为底角时，两角相等：
∠B=∠A=80°，此时顶角∠C=180°-80°×2=20°，符合三角形内角和要求；
3. 当∠A为等腰三角形的底角，且∠B为顶角时，另一个底角∠C=∠A=80°：
∠B=180°-80°×2=20°，符合三角形内角和要求。
综上，∠B的度数为80°或50°或20°。
【答案】
80°或50°或20°
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型易错题，解题核心是明确未指明已知角为顶角还是底角时，需分情况讨论，同时要验证所得角度是否满足三角形内角和，避免出现漏解或错解。
【难度系数】
0.6