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12. 在平面内，∠AOB=90°,OC在∠AOB的外部，∠COB是锐角，OP平分∠AOC，OQ平分∠COB，若∠COB度数逐渐变大，则∠POQ变化情况是（
A.变大
B.变小
C.保持不变
D.无法确定
C
）A.变大
B.变小
C.保持不变
D.无法确定
答案
12.C
解析
【分析】
首先观察所求角∠POQ的组成，结合题中给出的两条角平分线，考虑利用角平分线的性质将∠POQ转化为与已知固定角∠AOB相关的表达式，再看表达式是否随∠COB的变化而变化，即可判断∠POQ的变化情况。
【解析】
∵ OP平分∠AOC，根据角平分线的定义可得：$∠ POC = \frac{1}{2}∠ AOC$，
∵ OQ平分∠COB，根据角平分线的定义可得：$∠ QOC = \frac{1}{2}∠ COB$，
观察图形可知$∠ POQ = ∠ POC - ∠ QOC$，代入上述结论得：
$\begin{aligned}∠ POQ &= \frac{1}{2}∠ AOC - \frac{1}{2}∠ COB \\&= \frac{1}{2}(∠ AOC - ∠ COB)\end{aligned}$
又
∵ $∠ AOC - ∠ COB = ∠ AOB = 90°$，
∴ $∠ POQ = \frac{1}{2}×90° = 45°$，
可见∠POQ是固定值，与∠COB的大小无关，因此∠POQ保持不变。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题解题的核心是通过角平分线性质将未知角转化为已知固定角的相关表达式，排除变化量的干扰，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.7
首先观察所求角∠POQ的组成，结合题中给出的两条角平分线，考虑利用角平分线的性质将∠POQ转化为与已知固定角∠AOB相关的表达式，再看表达式是否随∠COB的变化而变化，即可判断∠POQ的变化情况。
【解析】
∵ OP平分∠AOC，根据角平分线的定义可得：$∠ POC = \frac{1}{2}∠ AOC$，
∵ OQ平分∠COB，根据角平分线的定义可得：$∠ QOC = \frac{1}{2}∠ COB$，
观察图形可知$∠ POQ = ∠ POC - ∠ QOC$，代入上述结论得：
$\begin{aligned}∠ POQ &= \frac{1}{2}∠ AOC - \frac{1}{2}∠ COB \\&= \frac{1}{2}(∠ AOC - ∠ COB)\end{aligned}$
又
∵ $∠ AOC - ∠ COB = ∠ AOB = 90°$，
∴ $∠ POQ = \frac{1}{2}×90° = 45°$，
可见∠POQ是固定值，与∠COB的大小无关，因此∠POQ保持不变。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题解题的核心是通过角平分线性质将未知角转化为已知固定角的相关表达式，排除变化量的干扰，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.7
13. 如图，$∠ AOB$ 和 $∠ COD$ 都是直角，且$∠ AOC$ 与$∠ BOD$ 的度数之比为 $3:5$，则$∠ AOD$ 的度数为
157.5°
。答案
13.157.5° 【解析】因为$∠AOB = ∠COD = 90°$,所以$∠AOC + ∠BOD = 360° - (∠AOB + ∠COD) = 360° - 180° = 180°$. 因为$∠AOC:∠BOD = 3:5$,所以$∠AOC=\frac{3}{8}×180°=67.5°$,所以$∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 67.5° + 90° = 157.5°$.
解析
【分析】
解题时首先观察图形，四个以O为顶点的角总和为周角360°，已知∠AOB和∠COD都是90°的直角，因此可先求出∠AOC与∠BOD的度数和；再根据两个角的度数比，按比例分配求出∠AOC的度数；最后观察∠AOD的组成，它由∠AOC和∠COD组成，将两个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
∵ ∠AOB和∠COD都是直角，
∴ ∠AOB = ∠COD = 90°，
∵ 周角为360°，
∴ ∠AOC + ∠BOD = 360° - (∠AOB + ∠COD) = 360° - 180° = 180°，
又
∵ ∠AOC:∠BOD = 3:5，
∴ ∠AOC = 180° × $\frac{3}{3+5}$ = 180° × $\frac{3}{8}$ = 67.5°，
∴ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 67.5° + 90° = 157.5°。
【答案】
157.5°
【知识点】
周角的性质，直角的性质，角度比例计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是利用周角的度数先得到两个未知角的和，再结合比例关系求出对应角的度数，需注意观察所求角与已知角的组成关系，避免看错角的范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，四个以O为顶点的角总和为周角360°，已知∠AOB和∠COD都是90°的直角，因此可先求出∠AOC与∠BOD的度数和；再根据两个角的度数比，按比例分配求出∠AOC的度数；最后观察∠AOD的组成，它由∠AOC和∠COD组成，将两个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
∵ ∠AOB和∠COD都是直角，
∴ ∠AOB = ∠COD = 90°，
∵ 周角为360°，
∴ ∠AOC + ∠BOD = 360° - (∠AOB + ∠COD) = 360° - 180° = 180°，
又
∵ ∠AOC:∠BOD = 3:5，
∴ ∠AOC = 180° × $\frac{3}{3+5}$ = 180° × $\frac{3}{8}$ = 67.5°，
∴ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 67.5° + 90° = 157.5°。
【答案】
157.5°
【知识点】
周角的性质，直角的性质，角度比例计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是利用周角的度数先得到两个未知角的和，再结合比例关系求出对应角的度数，需注意观察所求角与已知角的组成关系，避免看错角的范围。
【难度系数】
0.7
14. 如图,以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA,OB,OC,OD.
(1)若∠AOC,∠BOD都是直角,∠BOC=60°,求∠AOB和∠DOC的度数;
(2)若∠BOD=100°,∠AOC=110°,且∠AOD=∠BOC +70°,求∠COD的度数;
(3)若∠AOC=∠BOD=α,当α为多少度时,∠AOD和∠BOC互余?说明理由.
(1)若∠AOC,∠BOD都是直角,∠BOC=60°,求∠AOB和∠DOC的度数;
(2)若∠BOD=100°,∠AOC=110°,且∠AOD=∠BOC +70°,求∠COD的度数;
(3)若∠AOC=∠BOD=α,当α为多少度时,∠AOD和∠BOC互余?说明理由.
答案
14.解:(1) 因为$∠AOC = 90°,∠BOD = 90°,∠BOC = 60°$,所以$∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 90° - 60° = 30°,∠DOC = ∠BOD - ∠BOC = 90° - 60° = 30°$.
(2) 设$∠COD = x°$,则$∠BOC = (100 - x)°$. 因为$∠BOC=110°$,所以$∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 110° - (100 - x)°=(x+10)°$. 因为$∠AOD = ∠BOC + 70°$,所以$∠BOD + ∠AOB = ∠BOC + 70°$,即$100+10+x=100-x+70$,解得$x=30$,即$∠COD=30°$.
(3)当$α=45°$时,$∠AOD$与$∠BOC$互余. 理由如下:
要使$∠AOD$与$∠BOC$互余,即$∠AOD + ∠BOC = 90°$,所以$∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠BOC = 90°$,即$∠AOC + ∠BOD = 90°$. 因为$∠AOC = ∠BOD = α$,所以$α + α = 90°$,解得$α=45°$. 所以当$α=45°$时,$∠AOD$与$∠BOC$互余.
(2) 设$∠COD = x°$,则$∠BOC = (100 - x)°$. 因为$∠BOC=110°$,所以$∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 110° - (100 - x)°=(x+10)°$. 因为$∠AOD = ∠BOC + 70°$,所以$∠BOD + ∠AOB = ∠BOC + 70°$,即$100+10+x=100-x+70$,解得$x=30$,即$∠COD=30°$.
(3)当$α=45°$时,$∠AOD$与$∠BOC$互余. 理由如下:
要使$∠AOD$与$∠BOC$互余,即$∠AOD + ∠BOC = 90°$,所以$∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠BOC = 90°$,即$∠AOC + ∠BOD = 90°$. 因为$∠AOC = ∠BOD = α$,所以$α + α = 90°$,解得$α=45°$. 所以当$α=45°$时,$∠AOD$与$∠BOC$互余.
解析
【分析】
(1) 观察图形可知∠AOB是直角∠AOC减去公共角∠BOC得到，∠DOC是直角∠BOD减去公共角∠BOC得到，直接代入已知角度计算即可。
(2) 采用方程思想求解，先设∠COD的度数为未知数，结合已知的∠BOD、∠AOC的度数，用含未知数的式子表示出其余相关角，再根据∠AOD和∠BOC的等量关系列方程求解。
(3) 先根据互余的定义得到∠AOD+∠BOC=90°，再把∠AOD拆分为多个角的和，整理式子后可得到∠AOC和∠BOD的和为90°，结合两角相等即可求出α的值。
【解析】
(1) 已知$∠AOC = 90°$，$∠BOD = 90°$，$∠BOC = 60°$，
所以$∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 90° - 60° = 30°$，
$∠DOC = ∠BOD - ∠BOC = 90° - 60° = 30°$。
(2) 设$∠COD = x°$，则$∠BOC = ∠BOD - ∠COD = (100 - x)°$。
因为$∠AOC=110°$，所以$∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 110° - (100 - x)°=(x+10)°$。
又因为$∠AOD = ∠BOC + 70°$，且$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD$，
代入得：$100 + 10 + x = 100 - x + 70$，
解得$x=30$，即$∠COD=30°$。
(3) 当$α=45°$时，$∠AOD$和$∠BOC$互余，理由如下：
若$∠AOD$和$∠BOC$互余，则$∠AOD + ∠BOC = 90°$，
因为$∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD$，
代入可得：$∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠BOC = 90°$，
整理得$(∠AOB + ∠BOC) + (∠COD + ∠BOC) = 90°$，即$∠AOC + ∠BOD = 90°$。
已知$∠AOC = ∠BOD = α$，所以$α + α = 90°$，解得$α=45°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOB=30°}$，$\boldsymbol{∠DOC=30°}$；
(2) $\boldsymbol{∠COD=30°}$；
(3) 当$\boldsymbol{α=45°}$时，$∠AOD$和$∠BOC$互余。
【知识点】
角的和差计算，余角的定义，方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的典型题型，既考查了基础的角的和差运算，也结合余角概念、方程思想考查综合分析能力，解题核心是理清图形中各个角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图形可知∠AOB是直角∠AOC减去公共角∠BOC得到，∠DOC是直角∠BOD减去公共角∠BOC得到，直接代入已知角度计算即可。
(2) 采用方程思想求解，先设∠COD的度数为未知数，结合已知的∠BOD、∠AOC的度数，用含未知数的式子表示出其余相关角，再根据∠AOD和∠BOC的等量关系列方程求解。
(3) 先根据互余的定义得到∠AOD+∠BOC=90°，再把∠AOD拆分为多个角的和，整理式子后可得到∠AOC和∠BOD的和为90°，结合两角相等即可求出α的值。
【解析】
(1) 已知$∠AOC = 90°$，$∠BOD = 90°$，$∠BOC = 60°$，
所以$∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 90° - 60° = 30°$，
$∠DOC = ∠BOD - ∠BOC = 90° - 60° = 30°$。
(2) 设$∠COD = x°$，则$∠BOC = ∠BOD - ∠COD = (100 - x)°$。
因为$∠AOC=110°$，所以$∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 110° - (100 - x)°=(x+10)°$。
又因为$∠AOD = ∠BOC + 70°$，且$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD$，
代入得：$100 + 10 + x = 100 - x + 70$，
解得$x=30$，即$∠COD=30°$。
(3) 当$α=45°$时，$∠AOD$和$∠BOC$互余，理由如下：
若$∠AOD$和$∠BOC$互余，则$∠AOD + ∠BOC = 90°$，
因为$∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD$，
代入可得：$∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠BOC = 90°$，
整理得$(∠AOB + ∠BOC) + (∠COD + ∠BOC) = 90°$，即$∠AOC + ∠BOD = 90°$。
已知$∠AOC = ∠BOD = α$，所以$α + α = 90°$，解得$α=45°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOB=30°}$，$\boldsymbol{∠DOC=30°}$；
(2) $\boldsymbol{∠COD=30°}$；
(3) 当$\boldsymbol{α=45°}$时，$∠AOD$和$∠BOC$互余。
【知识点】
角的和差计算，余角的定义，方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的典型题型，既考查了基础的角的和差运算，也结合余角概念、方程思想考查综合分析能力，解题核心是理清图形中各个角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
15.[学科素养·推理能力]如果两个角度数的差的绝对值等于$90°$,就称这两个角互为反余角,其中一个角叫另一个角的反余角,例如,$∠ 1=120°$,$∠ 2=30°$,$|∠ 1 - ∠ 2|=90°$,则$∠ 1$和$∠ 2$互为反余角,其中$∠ 1$是$∠ 2$的反余角,$∠ 2$也是$∠ 1$的反余角.
(1)如图1,$O$为直线$AB$上一点,$OC ⊥ AB$于点$O$,$OE ⊥ OD$,则$∠ AOE$的反余角是
(2)若一个角的反余角等于它的补角的$\frac{2}{3}$,求这个角的度数;
(3)如图2,$O$为直线$AB$上一点,$∠ AOC=30°$,将$∠ BOC$绕着点$O$以每秒$1°$的速度逆时针旋转得$∠ EOD$,同时射线$OP$从射线$OA$的位置出发绕点$O$以每秒$4°$的速度逆时针旋转,当射线$OP$与射线$OB$重合时旋转同时停止,设旋转时间为$t$秒,求当$t$为何值时,$∠ POD$与$∠ POE$互为反余角(图中所指的角均为小于平角的角).
(1)如图1,$O$为直线$AB$上一点,$OC ⊥ AB$于点$O$,$OE ⊥ OD$,则$∠ AOE$的反余角是
∠AOD
,$∠ BOE$的反余角是∠BOD和∠COE
;(2)若一个角的反余角等于它的补角的$\frac{2}{3}$,求这个角的度数;
(3)如图2,$O$为直线$AB$上一点,$∠ AOC=30°$,将$∠ BOC$绕着点$O$以每秒$1°$的速度逆时针旋转得$∠ EOD$,同时射线$OP$从射线$OA$的位置出发绕点$O$以每秒$4°$的速度逆时针旋转,当射线$OP$与射线$OB$重合时旋转同时停止,设旋转时间为$t$秒,求当$t$为何值时,$∠ POD$与$∠ POE$互为反余角(图中所指的角均为小于平角的角).
答案
15.解:(1)$∠AOD$ $∠BOD$和$∠COE$
(2)设这个角为$x°$,则其补角为$(180-x)°$,反余角为$(x+90)°$或$(x-90)°$. ①当其反余角为$(x+90)°$时,$x+90=\frac{2}{3}(180-x)$,解得$x=18$. ②当反余角为$(x-90)°$时,$x-90=\frac{2}{3}(180-x)$,解得$x=126$. 综上,这个角为$18°$或$126°$.
(3)因为射线$OP$从射线$OA$的位置出发绕点$O$以每秒$4°$的速度逆时针旋转,当射线$OP$与射线$OB$重合时旋转同时停止,此时$t=\frac{180°}{4°}=45$,所以$t≤45$. 由题意得$∠POD=(30-t+4t)°=(3t+30)°$,$∠POE=(180-4t+t)°=(180-3t)°$,所以$|3t+30-(180-3t)|=90$,解得$t=40$或$t=10$. 所以当$t$为$40$或$10$时,$∠POD$与$∠POE$互为反余角.
(2)设这个角为$x°$,则其补角为$(180-x)°$,反余角为$(x+90)°$或$(x-90)°$. ①当其反余角为$(x+90)°$时,$x+90=\frac{2}{3}(180-x)$,解得$x=18$. ②当反余角为$(x-90)°$时,$x-90=\frac{2}{3}(180-x)$,解得$x=126$. 综上,这个角为$18°$或$126°$.
(3)因为射线$OP$从射线$OA$的位置出发绕点$O$以每秒$4°$的速度逆时针旋转,当射线$OP$与射线$OB$重合时旋转同时停止,此时$t=\frac{180°}{4°}=45$,所以$t≤45$. 由题意得$∠POD=(30-t+4t)°=(3t+30)°$,$∠POE=(180-4t+t)°=(180-3t)°$,所以$|3t+30-(180-3t)|=90$,解得$t=40$或$t=10$. 所以当$t$为$40$或$10$时,$∠POD$与$∠POE$互为反余角.
解析
【分析】
本题是结合“反余角”新定义的角的计算综合题，解题思路如下：1. 先准确理解反余角定义：若两个角差的绝对值为90°，则互为反余角；2. 第(1)问结合图1的垂直关系，利用直角为90°的性质，找出与已知角相差90°的角即可；3. 第(2)问采用方程思想，设这个角的度数为x，分反余角比它大90°、比它小90°两种情况，结合补角的定义列方程求解；4. 第(3)问属于动点类角度计算，先确定运动的总时长，再用含t的代数式分别表示出∠POD和∠POE的度数，最后根据反余角定义列绝对值方程求解，注意结果要符合t的取值范围。
【解析】
(1) 如图1，$\because OC⊥ AB$，$OE⊥ OD$，$\therefore ∠ AOC=∠ EOD=90°$，$\therefore |∠ AOE - ∠ AOD|=∠ EOD=90°$，故$∠ AOE$的反余角是$∠ AOD$；
又$\because ∠ BOE = 180°-∠ AOE$，结合同角的余角相等可得$∠ AOE=∠ COD$，可推出$|∠ BOE - ∠ BOD|=90°$，同时$|∠ BOE - ∠ COE|=∠ COB=90°$，故$∠ BOE$的反余角是$∠ BOD$和$∠ COE$。
(2) 设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$，它的反余角为$(x+90)°$或$(x-90)°$。
① 当反余角为$(x+90)°$时，根据题意列方程：
$x+90=\frac{2}{3}(180-x)$
去分母得：$3x+270=360-2x$
移项合并得：$5x=90$，解得$x=18$
② 当反余角为$(x-90)°$时，根据题意列方程：
$x-90=\frac{2}{3}(180-x)$
去分母得：$3x-270=360-2x$
移项合并得：$5x=630$，解得$x=126$
综上，这个角的度数为$18°$或$126°$。
(3) 射线OP逆时针旋转到与OB重合时，旋转角度为$180°$，速度为每秒$4°$，故总运动时间$t=\frac{180}{4}=45$秒，即t的取值范围是$0\le t\le45$。
由题意可知：$∠ AOC=30°$，旋转t秒后，$∠ AOP=4t°$，$∠ DOB=∠ COA=30°$，所以：
$∠ POD = ∠ AOP + ∠ AOD = 4t + (30 - t) = (3t+30)°$
$∠ POE = 180° - ∠ AOP + ∠ BOE = 180 - 4t + t = (180-3t)°$
$\because ∠ POD$与$∠ POE$互为反余角，$\therefore |∠ POD - ∠ POE|=90°$，代入得：
$|3t+30 - (180-3t)|=90$
化简得：$|6t - 150|=90$
即$6t-150=90$或$6t-150=-90$
解得$t=40$或$t=10$，两个解均满足$0\le t\le45$，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOD}$；$\boldsymbol{∠BOD}$和$\boldsymbol{∠COE}$
(2) $\boldsymbol{18°}$或$\boldsymbol{126°}$
(3) $\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{40}$
【知识点】
新定义运算；角的和差计算；一元一次方程应用
【点评】
本题将新定义与角的计算、动点问题结合，既考查对新概念的理解应用能力，也考查分类讨论思想和方程思想的运用，需要准确用代数式表示动角，再结合定义求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是结合“反余角”新定义的角的计算综合题，解题思路如下：1. 先准确理解反余角定义：若两个角差的绝对值为90°，则互为反余角；2. 第(1)问结合图1的垂直关系，利用直角为90°的性质，找出与已知角相差90°的角即可；3. 第(2)问采用方程思想，设这个角的度数为x，分反余角比它大90°、比它小90°两种情况，结合补角的定义列方程求解；4. 第(3)问属于动点类角度计算，先确定运动的总时长，再用含t的代数式分别表示出∠POD和∠POE的度数，最后根据反余角定义列绝对值方程求解，注意结果要符合t的取值范围。
【解析】
(1) 如图1，$\because OC⊥ AB$，$OE⊥ OD$，$\therefore ∠ AOC=∠ EOD=90°$，$\therefore |∠ AOE - ∠ AOD|=∠ EOD=90°$，故$∠ AOE$的反余角是$∠ AOD$；
又$\because ∠ BOE = 180°-∠ AOE$，结合同角的余角相等可得$∠ AOE=∠ COD$，可推出$|∠ BOE - ∠ BOD|=90°$，同时$|∠ BOE - ∠ COE|=∠ COB=90°$，故$∠ BOE$的反余角是$∠ BOD$和$∠ COE$。
(2) 设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$，它的反余角为$(x+90)°$或$(x-90)°$。
① 当反余角为$(x+90)°$时，根据题意列方程：
$x+90=\frac{2}{3}(180-x)$
去分母得：$3x+270=360-2x$
移项合并得：$5x=90$，解得$x=18$
② 当反余角为$(x-90)°$时，根据题意列方程：
$x-90=\frac{2}{3}(180-x)$
去分母得：$3x-270=360-2x$
移项合并得：$5x=630$，解得$x=126$
综上，这个角的度数为$18°$或$126°$。
(3) 射线OP逆时针旋转到与OB重合时，旋转角度为$180°$，速度为每秒$4°$，故总运动时间$t=\frac{180}{4}=45$秒，即t的取值范围是$0\le t\le45$。
由题意可知：$∠ AOC=30°$，旋转t秒后，$∠ AOP=4t°$，$∠ DOB=∠ COA=30°$，所以：
$∠ POD = ∠ AOP + ∠ AOD = 4t + (30 - t) = (3t+30)°$
$∠ POE = 180° - ∠ AOP + ∠ BOE = 180 - 4t + t = (180-3t)°$
$\because ∠ POD$与$∠ POE$互为反余角，$\therefore |∠ POD - ∠ POE|=90°$，代入得：
$|3t+30 - (180-3t)|=90$
化简得：$|6t - 150|=90$
即$6t-150=90$或$6t-150=-90$
解得$t=40$或$t=10$，两个解均满足$0\le t\le45$，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOD}$；$\boldsymbol{∠BOD}$和$\boldsymbol{∠COE}$
(2) $\boldsymbol{18°}$或$\boldsymbol{126°}$
(3) $\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{40}$
【知识点】
新定义运算；角的和差计算；一元一次方程应用
【点评】
本题将新定义与角的计算、动点问题结合，既考查对新概念的理解应用能力，也考查分类讨论思想和方程思想的运用，需要准确用代数式表示动角，再结合定义求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
