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11.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点.若线段AB=12 cm，则线段BD的长为（
A.10 cm
B.8 cm
C.10 cm或8 cm
D.2 cm或4 cm
C
）A.10 cm
B.8 cm
C.10 cm或8 cm
D.2 cm或4 cm
答案
11.C
解析
【分析】
解题时先根据线段中点的性质求出AC、BC的长度，再明确线段的三等分点有2个不同位置，需要分两种情况讨论，分别计算两种情况下CD的长度，最后结合线段和差关系求出BD的长度即可。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的中点，AB=12cm
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×12=6cm
∵点D是线段AC的三等分点，需分两种情况讨论：
①当AD=$\frac{1}{3}$AC时，CD=AC-AD=$\frac{2}{3}$AC=$\frac{2}{3}$×6=4cm
此时BD=BC+CD=6+4=10cm
②当AD=$\frac{2}{3}$AC时，CD=AC-AD=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{3}$×6=2cm
此时BD=BC+CD=6+2=8cm
综上，线段BD的长为10cm或8cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点定义，线段三等分点，线段和差计算
【点评】
本题的易错点是忽略线段的三等分点存在两种位置，解题时要注意分类讨论，避免漏解，主要考查对线段相关概念的理解和计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先根据线段中点的性质求出AC、BC的长度，再明确线段的三等分点有2个不同位置，需要分两种情况讨论，分别计算两种情况下CD的长度，最后结合线段和差关系求出BD的长度即可。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的中点，AB=12cm
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×12=6cm
∵点D是线段AC的三等分点，需分两种情况讨论：
①当AD=$\frac{1}{3}$AC时，CD=AC-AD=$\frac{2}{3}$AC=$\frac{2}{3}$×6=4cm
此时BD=BC+CD=6+4=10cm
②当AD=$\frac{2}{3}$AC时，CD=AC-AD=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{3}$×6=2cm
此时BD=BC+CD=6+2=8cm
综上，线段BD的长为10cm或8cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点定义，线段三等分点，线段和差计算
【点评】
本题的易错点是忽略线段的三等分点存在两种位置，解题时要注意分类讨论，避免漏解，主要考查对线段相关概念的理解和计算能力。
【难度系数】
0.7
12.如果A,B,C三点在同一直线上，且线段AB=6 cm，BC=4 cm，若M为AC的中点，那么A,M两点之间的距离为（
A.5 cm
B.1 cm
C.5 cm或1 cm
D.无法确定
C
）A.5 cm
B.1 cm
C.5 cm或1 cm
D.无法确定
答案
12.C
解析
【分析】
本题是三点共线下的线段长度计算问题，由于题目未明确A、B、C三点的排列顺序，因此需要分类讨论点的位置关系：分为点B在线段AC之间、点C在线段AB之间两种情况，再结合线段中点的性质分别计算AM的长度即可。
【解析】
已知A、B、C三点共线，分两种情况讨论：
① 当点B位于A、C两点之间时：
AC的长度为AB与BC的和，即$ AC = AB + BC = 6\mathrm{cm} + 4\mathrm{cm} = 10\mathrm{cm} $
因为M是AC的中点，所以$ AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 10\mathrm{cm} = 5\mathrm{cm} $
② 当点C位于A、B两点之间时：
AC的长度为AB与BC的差，即$ AC = AB - BC = 6\mathrm{cm} - 4\mathrm{cm} = 2\mathrm{cm} $
因为M是AC的中点，所以$ AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 2\mathrm{cm} = 1\mathrm{cm} $
综上，A、M两点之间的距离为5cm或1cm。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，分类讨论思想
【点评】
本题容易出现的错误是只考虑其中一种点的位置关系，导致漏解。遇到未明确点的排列顺序的线段问题时，要全面分析所有可能的位置情况，避免出错。
【难度系数】
0.6
本题是三点共线下的线段长度计算问题，由于题目未明确A、B、C三点的排列顺序，因此需要分类讨论点的位置关系：分为点B在线段AC之间、点C在线段AB之间两种情况，再结合线段中点的性质分别计算AM的长度即可。
【解析】
已知A、B、C三点共线，分两种情况讨论：
① 当点B位于A、C两点之间时：
AC的长度为AB与BC的和，即$ AC = AB + BC = 6\mathrm{cm} + 4\mathrm{cm} = 10\mathrm{cm} $
因为M是AC的中点，所以$ AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 10\mathrm{cm} = 5\mathrm{cm} $
② 当点C位于A、B两点之间时：
AC的长度为AB与BC的差，即$ AC = AB - BC = 6\mathrm{cm} - 4\mathrm{cm} = 2\mathrm{cm} $
因为M是AC的中点，所以$ AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 2\mathrm{cm} = 1\mathrm{cm} $
综上，A、M两点之间的距离为5cm或1cm。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，分类讨论思想
【点评】
本题容易出现的错误是只考虑其中一种点的位置关系，导致漏解。遇到未明确点的排列顺序的线段问题时，要全面分析所有可能的位置情况，避免出错。
【难度系数】
0.6
13.如图,在线段AB上有C,D两点,CD的长度为1 cm,AB的长度为整数,则以A,B,C,D为端点的所有线段长度之和不可能为 (
A.16 cm
B.21 cm
C.22 cm
D.31 cm
B
)A.16 cm
B.21 cm
C.22 cm
D.31 cm
答案
13.B 【解析】由题意可得,题图中以 A,B,C,D 这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和为 $AC+CD+DB+AD+CB+AB=(AC+CD+DB)+(AD+CB)+AB=AB+AB+CD+AB=3AB+CD$,所以以 A,B,C,D 为端点的所有线段长度之和为某一整数的 3 倍加 1,所以以 A,B,C,D 为端点的所有线段长度之和不可能为 21 cm. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先要先梳理出四个端点能组成的所有线段，再通过线段的和差关系把所有线段的长度和用已知量CD和未知量AB表示，结合AB为整数的条件，推导出长度和的数字特征，最后验证选项即可。具体步骤：第一步罗列出所有待求和的线段；第二步将线段和化简为仅含AB和CD的式子；第三步根据式子的整除特征排除符合条件的选项，得到答案。
【解析】
首先找出以A、B、C、D为端点的所有线段：AC、CD、DB、AD、CB、AB，其长度之和为：
$AC+CD+DB+AD+CB+AB$
对式子进行变形化简：
1. $AC+CD+DB=AB$；
2. $AD=AC+CD$，$CB=CD+DB$，因此$AD+CB=(AC+CD+DB)+CD=AB+CD$；
代入原式可得：
$\begin{aligned}\mathrm{总长度}&=AB+(AB+CD)+AB\\&=3AB+CD\end{aligned}$
已知$CD=1\mathrm{cm}$，因此总长度$=3AB+1$，又因为AB是整数，所以总长度减去1后必须是3的倍数。
逐一验证选项：
A：$16-1=15$，15是3的倍数，符合要求；
B：$21-1=20$，20不是3的倍数，不符合要求；
C：$22-1=21$，21是3的倍数，符合要求；
D：$31-1=30$，30是3的倍数，符合要求。
因此总长度不可能为21cm。
【答案】
B
【知识点】
线段的计数、线段的和差计算、代数式的应用
【点评】
本题属于线段的综合应用题，解题关键是正确计数所有线段，并通过线段和差的转化将复杂的线段和化简为仅含已知条件的代数式，再结合整数的特征判断选项，易错点是漏数线段或化简时出现错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先要先梳理出四个端点能组成的所有线段，再通过线段的和差关系把所有线段的长度和用已知量CD和未知量AB表示，结合AB为整数的条件，推导出长度和的数字特征，最后验证选项即可。具体步骤：第一步罗列出所有待求和的线段；第二步将线段和化简为仅含AB和CD的式子；第三步根据式子的整除特征排除符合条件的选项，得到答案。
【解析】
首先找出以A、B、C、D为端点的所有线段：AC、CD、DB、AD、CB、AB，其长度之和为：
$AC+CD+DB+AD+CB+AB$
对式子进行变形化简：
1. $AC+CD+DB=AB$；
2. $AD=AC+CD$，$CB=CD+DB$，因此$AD+CB=(AC+CD+DB)+CD=AB+CD$；
代入原式可得：
$\begin{aligned}\mathrm{总长度}&=AB+(AB+CD)+AB\\&=3AB+CD\end{aligned}$
已知$CD=1\mathrm{cm}$，因此总长度$=3AB+1$，又因为AB是整数，所以总长度减去1后必须是3的倍数。
逐一验证选项：
A：$16-1=15$，15是3的倍数，符合要求；
B：$21-1=20$，20不是3的倍数，不符合要求；
C：$22-1=21$，21是3的倍数，符合要求；
D：$31-1=30$，30是3的倍数，符合要求。
因此总长度不可能为21cm。
【答案】
B
【知识点】
线段的计数、线段的和差计算、代数式的应用
【点评】
本题属于线段的综合应用题，解题关键是正确计数所有线段，并通过线段和差的转化将复杂的线段和化简为仅含已知条件的代数式，再结合整数的特征判断选项，易错点是漏数线段或化简时出现错误。
【难度系数】
0.6
14.如图,线段AB上有两点C和E,点D是AC的中点,点F是BE的中点,若AB=8,EC=2,则DF的长为
3
.答案
14.3 【解析】因为点 D 是 AC 的中点,所以 $AD=DC=\frac{1}{2}AC$. 因为点 F 是 BE 的中点,所以 $EF=FB=\frac{1}{2}BE$. 因为 $AB=8$,$EC=2$,$AB=AC+BE-EC$,所以 $AC+BE=10$. 因为 $CD=CE+DE=2+DE$,$EF=CE+CF=2+CF$,所以 $CD+EF=4+DE+CF$,所以 $\frac{1}{2}(AC+BE)=4+DE+CF$,所以 $CF+DE=1$. 因为 $DF=DE+CF+EC$,所以 $DF=1+2=3$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知线段AB长为8，EC长为2，D是AC中点，F是BE中点，要求DF的长度。首先利用线段的和差关系推导AC与BE的长度和：由于AC和BE存在重叠部分EC，因此AC+BE=AB+EC；接下来根据线段中点的性质，可得DC是AC的一半，EF是BE的一半，由此可求出DC+EF的和；再将DC、EF拆分为由DE、EC、CF组成的线段和，代入EC的长度即可求出DE与CF的和；最后DF由DE、EC、CF三部分组成，代入对应数值即可算出结果，过程中可用整体思想简化计算，不用单独求出各小段的长度。
【解析】
∵ 点D是AC的中点，
∴ $AD=DC=\frac{1}{2}AC$
∵ 点F是BE的中点，
∴ $EF=FB=\frac{1}{2}BE$
∵ $AB=8$，$EC=2$，且线段$AB=AC+BE-EC$（AC和BE重叠部分为EC，计算总长度时多算了一次EC，因此要减去）
∴ $AC+BE=AB+EC=8+2=10$
∴ $DC+EF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}(AC+BE)=\frac{1}{2}×10=5$
又
∵ $DC=DE+EC$，$EF=EC+CF$
∴ $DC+EF=DE+EC+EC+CF=DE+CF+2EC$
代入$DC+EF=5$，$EC=2$得：
$5=DE+CF+2×2$，解得$DE+CF=1$
∵ $DF=DE+EC+CF$
∴ $DF=1+2=3$
【答案】
3
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算类的典型题型，侧重考查线段相关的基础计算，核心是熟练运用线段中点的性质和线段和差关系，解题时利用整体思想计算AC与BE的和，无需单独求解各小段长度，能大大简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：已知线段AB长为8，EC长为2，D是AC中点，F是BE中点，要求DF的长度。首先利用线段的和差关系推导AC与BE的长度和：由于AC和BE存在重叠部分EC，因此AC+BE=AB+EC；接下来根据线段中点的性质，可得DC是AC的一半，EF是BE的一半，由此可求出DC+EF的和；再将DC、EF拆分为由DE、EC、CF组成的线段和，代入EC的长度即可求出DE与CF的和；最后DF由DE、EC、CF三部分组成，代入对应数值即可算出结果，过程中可用整体思想简化计算，不用单独求出各小段的长度。
【解析】
∵ 点D是AC的中点，
∴ $AD=DC=\frac{1}{2}AC$
∵ 点F是BE的中点，
∴ $EF=FB=\frac{1}{2}BE$
∵ $AB=8$，$EC=2$，且线段$AB=AC+BE-EC$（AC和BE重叠部分为EC，计算总长度时多算了一次EC，因此要减去）
∴ $AC+BE=AB+EC=8+2=10$
∴ $DC+EF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}(AC+BE)=\frac{1}{2}×10=5$
又
∵ $DC=DE+EC$，$EF=EC+CF$
∴ $DC+EF=DE+EC+EC+CF=DE+CF+2EC$
代入$DC+EF=5$，$EC=2$得：
$5=DE+CF+2×2$，解得$DE+CF=1$
∵ $DF=DE+EC+CF$
∴ $DF=1+2=3$
【答案】
3
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算类的典型题型，侧重考查线段相关的基础计算，核心是熟练运用线段中点的性质和线段和差关系，解题时利用整体思想计算AC与BE的和，无需单独求解各小段长度，能大大简化计算过程。
【难度系数】
0.7
15.如图,从甲地到乙地有多条路可走,其中最短路线的走法是②＋④,其理由是
两点之间,线段最短
答案
15.两点之间,线段最短
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目要求：推导路线②+④是最短路线的原理。第一步先观察从甲到乙的所有路线类型：路线①、⑤是曲线，路线③是折线，路线②+④是由两段线段组成、整体对应甲到乙的线段路径。接着回忆线段的相关性质，即可推导出对应的理由。
【解析】
观察从甲地到乙地的各条路径：①、⑤属于曲线，③属于折线，②+④是沿连接甲、乙两点的线段行走的路径。根据线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段的长度最短，因此最短路线是②+④，理由为两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
线段的性质、最短路径判断
【点评】
这道题是基础性质的实际应用题，核心考查对线段基本性质的理解与应用，只要掌握相关性质即可快速得出结论，日常学习中要注意对基础定理的理解和记忆，学会用数学原理解释生活中的常见现象。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确题目要求：推导路线②+④是最短路线的原理。第一步先观察从甲到乙的所有路线类型：路线①、⑤是曲线，路线③是折线，路线②+④是由两段线段组成、整体对应甲到乙的线段路径。接着回忆线段的相关性质，即可推导出对应的理由。
【解析】
观察从甲地到乙地的各条路径：①、⑤属于曲线，③属于折线，②+④是沿连接甲、乙两点的线段行走的路径。根据线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段的长度最短，因此最短路线是②+④，理由为两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
线段的性质、最短路径判断
【点评】
这道题是基础性质的实际应用题，核心考查对线段基本性质的理解与应用，只要掌握相关性质即可快速得出结论，日常学习中要注意对基础定理的理解和记忆，学会用数学原理解释生活中的常见现象。
【难度系数】
0.9
16.尺规作图:已知线段$a,b$.
(1)作线段$AB$,使$AB=a+2b$；
(2)作线段$PQ$,使$PQ=a-2b$.
(1)作线段$AB$,使$AB=a+2b$；
(2)作线段$PQ$,使$PQ=a-2b$.
答案
16.解:(1)如图所示
线段 $AB=a+2b$.
(2)如图所示
线段 $PQ=a-2b$.
解析
【分析】
本题考查线段和差的尺规作图，解题思路如下：（1）作线段和时，先画一条射线，依次在射线上截取长度等于已知线段的部分，各部分长度相加即为所求线段长度；先截取长度为a的线段，再在其延长方向连续截取2段长度为b的线段，即可得到a+2b。（2）作线段差时，先截取长度为较长线段a的线段，再在该线段内部从一端往回截取2段长度为b的线段，剩余部分即为a-2b，作图时需注意保留尺规作图的痕迹。
【解析】
(1)作线段AB的步骤：
① 画任意一条射线；
② 用圆规量取已知线段a的长度，在射线上截取一段长度等于a的线段；
③ 再用圆规量取已知线段b的长度，在刚才截取的线段的延长侧，顺次截取2段长度等于b的线段，最终得到的总长度的线段即为所求的AB=a+2b。
(2)作线段PQ的步骤：
① 画任意一条射线；
② 用圆规量取已知线段a的长度，在射线上截取一段长度等于a的线段；
③ 再用圆规量取已知线段b的长度，在刚才截取的长度为a的线段内部，从端点往内部顺次截取2段长度等于b的线段，剩余的线段即为所求的PQ=a-2b。
（作图需保留所有截取痕迹）
【答案】
(1)如图所示
线段 $AB=a+2b$.
(2)如图所示
线段 $PQ=a-2b$.
【知识点】
尺规作线段；线段的和差作图
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，核心是掌握用圆规量取已知线段长度、作等于已知线段的方法，作线段差时需注意要在较长线段的内部截取短线段，避免方向截取错误，作图后要保留相应的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
本题考查线段和差的尺规作图，解题思路如下：（1）作线段和时，先画一条射线，依次在射线上截取长度等于已知线段的部分，各部分长度相加即为所求线段长度；先截取长度为a的线段，再在其延长方向连续截取2段长度为b的线段，即可得到a+2b。（2）作线段差时，先截取长度为较长线段a的线段，再在该线段内部从一端往回截取2段长度为b的线段，剩余部分即为a-2b，作图时需注意保留尺规作图的痕迹。
【解析】
(1)作线段AB的步骤：
① 画任意一条射线；
② 用圆规量取已知线段a的长度，在射线上截取一段长度等于a的线段；
③ 再用圆规量取已知线段b的长度，在刚才截取的线段的延长侧，顺次截取2段长度等于b的线段，最终得到的总长度的线段即为所求的AB=a+2b。
(2)作线段PQ的步骤：
① 画任意一条射线；
② 用圆规量取已知线段a的长度，在射线上截取一段长度等于a的线段；
③ 再用圆规量取已知线段b的长度，在刚才截取的长度为a的线段内部，从端点往内部顺次截取2段长度等于b的线段，剩余的线段即为所求的PQ=a-2b。
（作图需保留所有截取痕迹）
【答案】
(1)如图所示
线段 $AB=a+2b$.
(2)如图所示
线段 $PQ=a-2b$.
【知识点】
尺规作线段；线段的和差作图
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，核心是掌握用圆规量取已知线段长度、作等于已知线段的方法，作线段差时需注意要在较长线段的内部截取短线段，避免方向截取错误，作图后要保留相应的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
17.如图，A，B，C，D为4个居民小区，现要在4个居民小区之间建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？画出购物中心的位置，并说明理由。
答案
17.解:如图,连接 AC 和 BD,AC 和 BD 相交于点 M,则点 M 即是购物中心的位置.
理由: $MA + MC + MB + MD = AC + BD$,两点之间,线段最短,则点 M 即为所求.
解析
【分析】
要找到使4个居民小区到购物中心距离之和最小的位置，我们可以分步思考：首先，要使到A、C两个小区的距离之和最小，根据“两点之间，线段最短”，购物中心必须建在线段AC上，否则到A、C的距离之和会大于AC的长度；同理，要使到B、D两个小区的距离之和最小，购物中心必须建在线段BD上。同时满足这两个条件的点就是线段AC和BD的交点，这个点就能让四个小区到它的距离之和最小。
【解析】
1. 作图：分别连接线段AC、BD，两条线段的交点记为M，点M就是购物中心的位置。
2. 理由推导：若购物中心建在M点，总距离和为$MA+MC+MB+MD$，其中$MA+MC=AC$，$MB+MD=BD$，即总距离和为$AC+BD$。如果任选不是M的其他点作为购物中心，根据两点之间线段最短，该点到A、C的距离之和一定大于AC，到B、D的距离之和一定大于BD，总距离和就会大于$AC+BD$，因此M点是使距离之和最小的位置。
【答案】
如图,连接 AC 和 BD,AC 和 BD 相交于点 M,则点 M 即是购物中心的位置.
理由: $MA + MC + MB + MD = AC + BD$,两点之间,线段最短,则点 M 即为所求.
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径作图
【点评】
本题结合生活场景考查线段性质的实际应用，解题的核心是灵活运用“两点之间线段最短”的性质，将四点距离和最小的问题转化为两条线段交点的问题，贴近生活，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要找到使4个居民小区到购物中心距离之和最小的位置，我们可以分步思考：首先，要使到A、C两个小区的距离之和最小，根据“两点之间，线段最短”，购物中心必须建在线段AC上，否则到A、C的距离之和会大于AC的长度；同理，要使到B、D两个小区的距离之和最小，购物中心必须建在线段BD上。同时满足这两个条件的点就是线段AC和BD的交点，这个点就能让四个小区到它的距离之和最小。
【解析】
1. 作图：分别连接线段AC、BD，两条线段的交点记为M，点M就是购物中心的位置。
2. 理由推导：若购物中心建在M点，总距离和为$MA+MC+MB+MD$，其中$MA+MC=AC$，$MB+MD=BD$，即总距离和为$AC+BD$。如果任选不是M的其他点作为购物中心，根据两点之间线段最短，该点到A、C的距离之和一定大于AC，到B、D的距离之和一定大于BD，总距离和就会大于$AC+BD$，因此M点是使距离之和最小的位置。
【答案】
如图,连接 AC 和 BD,AC 和 BD 相交于点 M,则点 M 即是购物中心的位置.
理由: $MA + MC + MB + MD = AC + BD$,两点之间,线段最短,则点 M 即为所求.
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径作图
【点评】
本题结合生活场景考查线段性质的实际应用，解题的核心是灵活运用“两点之间线段最短”的性质，将四点距离和最小的问题转化为两条线段交点的问题，贴近生活，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
18.[学科素养·推理能力]如图，P是线段AB上一点，AB=12 cm，M，N两点分别从点P，B出发以1 cm/s，3 cm/s的速度同时向左运动，运动时间为t s.
(1)当t=1，且PN=3AM时，求AP的长；
(2)若点M在线段AP上，点N在线段BP上运动的任一时刻，总有PN=3AM，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长；若变化，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ=PQ+BQ，求PQ的长.
(1)当t=1，且PN=3AM时，求AP的长；
(2)若点M在线段AP上，点N在线段BP上运动的任一时刻，总有PN=3AM，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长；若变化，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ=PQ+BQ，求PQ的长.
答案
18.解:(1)根据 M,N 的运动速度可知 $BN=3\ \mathrm{cm}$,$PM=1\ \mathrm{cm}$. 因为 $AM+MP+PN+BN=AB$,且 $PN=3AM$,所以 $AM+1+3AM+3=12$,所以 $AM=2\ \mathrm{cm}$,所以 $AP=PM+AM=1+2=3(\mathrm{cm})$.
(2)AP 的长度不变. 根据 M,N 的运动速度可知 $BN=3PM$. 因为 $AM+MP+PN+BN=AB$,且 $PN=3AM$,所以 $4AM + 4PM = 12(\mathrm{cm})$,所以 $AM+PM=3(\mathrm{cm})$,即 $AP=3\ \mathrm{cm}$.
(3)因为 $AQ=PQ+BQ$,所以点 Q 在点 A 的右侧. 又因为 $AQ=AP+PQ$,所以 $AP=BQ$. 当点 Q 在线段 AB 上时,$PQ=AB-AP-BQ=6(\mathrm{cm})$;当点 Q 在 AB 的延长线上时,$PQ=AQ-AP=AQ-BQ=AB=12\ \mathrm{cm}$. 综上所述,PQ 的长为 6 cm 或 12 cm.
(2)AP 的长度不变. 根据 M,N 的运动速度可知 $BN=3PM$. 因为 $AM+MP+PN+BN=AB$,且 $PN=3AM$,所以 $4AM + 4PM = 12(\mathrm{cm})$,所以 $AM+PM=3(\mathrm{cm})$,即 $AP=3\ \mathrm{cm}$.
(3)因为 $AQ=PQ+BQ$,所以点 Q 在点 A 的右侧. 又因为 $AQ=AP+PQ$,所以 $AP=BQ$. 当点 Q 在线段 AB 上时,$PQ=AB-AP-BQ=6(\mathrm{cm})$;当点 Q 在 AB 的延长线上时,$PQ=AQ-AP=AQ-BQ=AB=12\ \mathrm{cm}$. 综上所述,PQ 的长为 6 cm 或 12 cm.
解析
【分析】
(1) 先根据M、N的运动速度和t=1，计算出PM、BN的长度，再结合线段AB的总长等于各分段之和，以及PN=3AM的等量关系，列方程求出AM的长度，最后通过AM+PM计算AP的长。
(2) 先根据速度关系得到任意时刻BN=3PM，结合PN=3AM的条件，将各分段和等于AB的式子整理，即可得到AP为定值。
(3) 先根据AQ=PQ+BQ判断Q的位置，再分Q在线段AB上、Q在AB延长线上两种情况，结合线段和差关系计算PQ的长度，避免漏解。
【解析】
(1) 当$t=1$时，根据运动速度可得：$PM=1×1=1\ \mathrm{cm}$，$BN=3×1=3\ \mathrm{cm}$。
由线段和差关系得$AM + MP + PN + BN = AB$，已知$PN=3AM$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，代入得：
$AM +1 +3AM +3=12$
解得$AM=2\ \mathrm{cm}$，因此$AP=AM + PM=2+1=3\ \mathrm{cm}$。
(2) AP的长度不变，理由如下：
由M、N的运动速度可知，任意时刻$BN=3t=3PM$，结合$PN=3AM$，代入线段和公式$AM + PM + PN + BN = AB=12\ \mathrm{cm}$得：
$AM + PM +3AM +3PM=12$
整理得$4(AM+PM)=12$，即$AM+PM=3\ \mathrm{cm}$，因此$AP=3\ \mathrm{cm}$，长度不变。
(3) 由$AQ=PQ+BQ$可知点Q在A的右侧，分两种情况讨论：
① 当点Q在线段AB上时：
因为$AQ=AP + PQ$，且$AQ=PQ+BQ$，所以$AP=BQ=3\ \mathrm{cm}$，
因此$PQ=AB - AP - BQ=12-3-3=6\ \mathrm{cm}$。
② 当点Q在AB的延长线上时：
同理可得$AP=BQ=3\ \mathrm{cm}$，
因此$PQ=PB + BQ=(12-3)+3=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $AP=3\ \mathrm{cm}$；
(2) AP长度不变，$AP=3\ \mathrm{cm}$；
(3) PQ的长为$\mathrm{6\ cm}$或$\mathrm{12\ cm}$。
【知识点】
线段和差计算，动点问题，分类讨论
【点评】
本题结合动点考查线段的和差关系应用，解题时需要先根据动点的运动特征表示对应线段长度，结合已知等量关系列等式求解，第三问要注意分情况讨论点Q的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据M、N的运动速度和t=1，计算出PM、BN的长度，再结合线段AB的总长等于各分段之和，以及PN=3AM的等量关系，列方程求出AM的长度，最后通过AM+PM计算AP的长。
(2) 先根据速度关系得到任意时刻BN=3PM，结合PN=3AM的条件，将各分段和等于AB的式子整理，即可得到AP为定值。
(3) 先根据AQ=PQ+BQ判断Q的位置，再分Q在线段AB上、Q在AB延长线上两种情况，结合线段和差关系计算PQ的长度，避免漏解。
【解析】
(1) 当$t=1$时，根据运动速度可得：$PM=1×1=1\ \mathrm{cm}$，$BN=3×1=3\ \mathrm{cm}$。
由线段和差关系得$AM + MP + PN + BN = AB$，已知$PN=3AM$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，代入得：
$AM +1 +3AM +3=12$
解得$AM=2\ \mathrm{cm}$，因此$AP=AM + PM=2+1=3\ \mathrm{cm}$。
(2) AP的长度不变，理由如下：
由M、N的运动速度可知，任意时刻$BN=3t=3PM$，结合$PN=3AM$，代入线段和公式$AM + PM + PN + BN = AB=12\ \mathrm{cm}$得：
$AM + PM +3AM +3PM=12$
整理得$4(AM+PM)=12$，即$AM+PM=3\ \mathrm{cm}$，因此$AP=3\ \mathrm{cm}$，长度不变。
(3) 由$AQ=PQ+BQ$可知点Q在A的右侧，分两种情况讨论：
① 当点Q在线段AB上时：
因为$AQ=AP + PQ$，且$AQ=PQ+BQ$，所以$AP=BQ=3\ \mathrm{cm}$，
因此$PQ=AB - AP - BQ=12-3-3=6\ \mathrm{cm}$。
② 当点Q在AB的延长线上时：
同理可得$AP=BQ=3\ \mathrm{cm}$，
因此$PQ=PB + BQ=(12-3)+3=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $AP=3\ \mathrm{cm}$；
(2) AP长度不变，$AP=3\ \mathrm{cm}$；
(3) PQ的长为$\mathrm{6\ cm}$或$\mathrm{12\ cm}$。
【知识点】
线段和差计算，动点问题，分类讨论
【点评】
本题结合动点考查线段的和差关系应用，解题时需要先根据动点的运动特征表示对应线段长度，结合已知等量关系列等式求解，第三问要注意分情况讨论点Q的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
