登录
14. 教材习题变式 [2025西宁中考]当$x=1$时，下列代数式在实数范围内有意义的是（
B
）答案
14.B 当$x=1$时,$x-1=0$,$x-2=-1＜0$,故$\frac{\sqrt{x-1}}{x}$有意义(关键点:①分母不为0;②根号下的式子非负),$\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}$,$\frac{\sqrt{x-2}}{x-1}$,$\frac{\sqrt{x-2}}{x}$都没有意义.
解析
【分析】
要判断x=1时代数式在实数范围内是否有意义，需牢记两个核心判定规则：①二次根式的被开方数必须是非负数（即≥0）；②分式的分母不能为0。解题时将x=1依次代入四个选项，分别验证每个选项的被开方数和分母是否满足上述要求，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
解：代数式在实数范围内有意义需同时满足：二次根式的被开方数≥0，分式的分母≠0。
将x=1分别代入各选项验证：
选项A：分母$x-1=1-1=0$，分式无意义，排除；
选项B：被开方数$x-1=1-1=0≥0$，分母$x=1≠0$，两个条件均满足，代数式有意义；
选项C：被开方数$x-2=1-2=-1＜0$，二次根式无意义，且分母$x-1=0$，分式也无意义，排除；
选项D：被开方数$x-2=1-2=-1＜0$，二次根式无意义，排除。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于代数基础题型，核心考查代数式有意义的判定规则，做题时需注意同时核查二次根式的被开方数和分式的分母两个部分，避免遗漏条件导致出错。
【难度系数】
0.8
要判断x=1时代数式在实数范围内是否有意义，需牢记两个核心判定规则：①二次根式的被开方数必须是非负数（即≥0）；②分式的分母不能为0。解题时将x=1依次代入四个选项，分别验证每个选项的被开方数和分母是否满足上述要求，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
解：代数式在实数范围内有意义需同时满足：二次根式的被开方数≥0，分式的分母≠0。
将x=1分别代入各选项验证：
选项A：分母$x-1=1-1=0$，分式无意义，排除；
选项B：被开方数$x-1=1-1=0≥0$，分母$x=1≠0$，两个条件均满足，代数式有意义；
选项C：被开方数$x-2=1-2=-1＜0$，二次根式无意义，且分母$x-1=0$，分式也无意义，排除；
选项D：被开方数$x-2=1-2=-1＜0$，二次根式无意义，排除。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于代数基础题型，核心考查代数式有意义的判定规则，做题时需注意同时核查二次根式的被开方数和分式的分母两个部分，避免遗漏条件导致出错。
【难度系数】
0.8
15. [2025成都温江区月考]若$|a|=4$，$\sqrt{b^2}=3$，且$a+b＜0$，则$a-b$的值为
-7或-1
。答案
15.$-7$或$-1$ $\because |a|=4$,$\sqrt{b^2}=3$,$\therefore a=\pm4$,$b=\pm3$.
$\because a+b＜0$,$\therefore a=-4$,$b=3$或$-3$,$\therefore a-b=-7$或$-1$.
$\because a+b＜0$,$\therefore a=-4$,$b=3$或$-3$,$\therefore a-b=-7$或$-1$.
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质得出a的所有可能取值，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$得出b的所有可能取值，接下来结合限制条件$a+b＜0$筛选出符合要求的a、b的取值组合，最后将每组取值代入$a-b$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because |a|=4$，$\therefore a=\pm 4$，
$\because \sqrt{b^2}=|b|=3$，$\therefore b=\pm 3$，
又$\because a+b＜0$，
若$a=4$，无论b取3还是-3，$a+b$的值分别为7、1，均大于0，不符合条件，故a只能取-4，b可取3或-3。
当$a=-4$，$b=3$时，$a-b=-4-3=-7$；
当$a=-4$，$b=-3$时，$a-b=-4-(-3)=-1$。
综上，$a-b$的值为-7或-1。
【答案】
$-7$或$-1$
【知识点】
绝对值的性质、二次根式的化简、不等式的应用
【点评】
本题是基础的综合类题目，重点考察对绝对值和二次根式性质的掌握，解题时需注意结合给定的不等式条件筛选未知数的有效取值，避免出现多解、漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的性质得出a的所有可能取值，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$得出b的所有可能取值，接下来结合限制条件$a+b＜0$筛选出符合要求的a、b的取值组合，最后将每组取值代入$a-b$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because |a|=4$，$\therefore a=\pm 4$，
$\because \sqrt{b^2}=|b|=3$，$\therefore b=\pm 3$，
又$\because a+b＜0$，
若$a=4$，无论b取3还是-3，$a+b$的值分别为7、1，均大于0，不符合条件，故a只能取-4，b可取3或-3。
当$a=-4$，$b=3$时，$a-b=-4-3=-7$；
当$a=-4$，$b=-3$时，$a-b=-4-(-3)=-1$。
综上，$a-b$的值为-7或-1。
【答案】
$-7$或$-1$
【知识点】
绝对值的性质、二次根式的化简、不等式的应用
【点评】
本题是基础的综合类题目，重点考察对绝对值和二次根式性质的掌握，解题时需注意结合给定的不等式条件筛选未知数的有效取值，避免出现多解、漏解的错误。
【难度系数】
0.7
16. [2025重庆北碚区月考]实数$a,b$在数轴上的位置如图所示，化简：$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2} =$
-2b
。答案
16.$-2b$ 由题图可知,$a＜0＜b$,$\therefore a-b＜0$,$\therefore \sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}=|a|-|b|-|a-b|=-a-b-(b-a)=-a-b-b+a=-2b$.
解析
【分析】
要解这道题，首先根据数轴上点的位置判断a、b的正负性，以及a-b的正负性；再利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式中的二次根式转化为绝对值形式；最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知，$-1＜a＜0＜b＜1$，
$\therefore a＜0$，$b＞0$，$a-b＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2}=|a|-|b|-|a-b|$
其中$|a|=-a$，$|b|=b$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=-a - b - (b - a)\\&=-a - b - b + a\\&=-2b\end{aligned}$
【答案】
$-2b$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简；数轴的应用
【点评】
本题是二次根式化简的典型基础题，解题的核心是先通过数轴准确判断各代数式的正负，再结合二次根式和绝对值的性质运算，去绝对值时要注意符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先根据数轴上点的位置判断a、b的正负性，以及a-b的正负性；再利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式中的二次根式转化为绝对值形式；最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知，$-1＜a＜0＜b＜1$，
$\therefore a＜0$，$b＞0$，$a-b＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2}=|a|-|b|-|a-b|$
其中$|a|=-a$，$|b|=b$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=-a - b - (b - a)\\&=-a - b - b + a\\&=-2b\end{aligned}$
【答案】
$-2b$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简；数轴的应用
【点评】
本题是二次根式化简的典型基础题，解题的核心是先通过数轴准确判断各代数式的正负，再结合二次根式和绝对值的性质运算，去绝对值时要注意符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
17. [2024上海中考]已知$\sqrt{2x -1}=1$,则$x=$
1
.答案
17.$1$ $\because \sqrt{2x-1}=1$,$\therefore 2x-1=1$,解得$x=1$.
解析
【分析】
本题是含二次根式的方程求解问题，解题思路如下：首先观察到方程左边是二次根式，右边是非负常数，要去掉根号求解，可根据算术平方根的性质：若$\sqrt{a}=b$（$b≥0$），则$a=b^2$，对等式两边同时平方，将无理方程转化为熟悉的一元一次方程，解出x后代入原方程验证，确保被开方数非负且等式成立即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{2x-1}=1$，
根据算术平方根的性质，等式两边同时平方得：$2x-1=1^2=1$，
移项合并同类项得：$2x=2$，
系数化为1得：$x=1$。
检验：将$x=1$代入原方程，左边$=\sqrt{2×1-1}=\sqrt{1}=1=$右边，且被开方数$2x-1=1≥0$，符合二次根式定义，故$x=1$是原方程的解。
【答案】
$1$
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础考题，主要考查二次根式的基本应用，解题关键是通过平方消去根号转化为整式方程求解，计算难度低，掌握二次根式的基本性质即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题是含二次根式的方程求解问题，解题思路如下：首先观察到方程左边是二次根式，右边是非负常数，要去掉根号求解，可根据算术平方根的性质：若$\sqrt{a}=b$（$b≥0$），则$a=b^2$，对等式两边同时平方，将无理方程转化为熟悉的一元一次方程，解出x后代入原方程验证，确保被开方数非负且等式成立即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{2x-1}=1$，
根据算术平方根的性质，等式两边同时平方得：$2x-1=1^2=1$，
移项合并同类项得：$2x=2$，
系数化为1得：$x=1$。
检验：将$x=1$代入原方程，左边$=\sqrt{2×1-1}=\sqrt{1}=1=$右边，且被开方数$2x-1=1≥0$，符合二次根式定义，故$x=1$是原方程的解。
【答案】
$1$
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础考题，主要考查二次根式的基本应用，解题关键是通过平方消去根号转化为整式方程求解，计算难度低，掌握二次根式的基本性质即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
18. 教材思考变式 [2026 上海浦东新区三林中学期中] 求代数式 $a+\sqrt{1-2a+a^2}$ 的值，其中 $a=1012$.
如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)
(2) 求代数式 $a+2\sqrt{a^2-6a+9}$ 的值，其中 $a=-2025$.
如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)
小亮
的解法是错误的.(2) 求代数式 $a+2\sqrt{a^2-6a+9}$ 的值，其中 $a=-2025$.
答案
18. 解:
(1) 小亮
$a+\sqrt{1-2a+a^2}=a+\sqrt{(1-a)^2}$. $\because a=1012$,$\therefore 1-a＜0$,
$\therefore$ 原式$=a+[-(1-a)]=a-1+a=2023$,故小亮的解法是错误的,小芳的解法是正确的.
(2)$a+2\sqrt{a^2-6a+9}=a+2\sqrt{(a-3)^2}$.
$\because a=-2025$,$\therefore a-3＜0$,
$\therefore$ 原式$=a+2[-(a-3)]=a-2a+6=-a+6=2025+6=2031$.
解题通法
(1)根据直接条件或隐含条件,确定字母的取值范围或式子的正负;(2)利用二次根式或绝对值的性质化简.
(1) 小亮
$a+\sqrt{1-2a+a^2}=a+\sqrt{(1-a)^2}$. $\because a=1012$,$\therefore 1-a＜0$,
$\therefore$ 原式$=a+[-(1-a)]=a-1+a=2023$,故小亮的解法是错误的,小芳的解法是正确的.
(2)$a+2\sqrt{a^2-6a+9}=a+2\sqrt{(a-3)^2}$.
$\because a=-2025$,$\therefore a-3＜0$,
$\therefore$ 原式$=a+2[-(a-3)]=a-2a+6=-a+6=2025+6=2031$.
解题通法
(1)根据直接条件或隐含条件,确定字母的取值范围或式子的正负;(2)利用二次根式或绝对值的性质化简.
解析
【分析】
(1) 解决第一问的核心是掌握二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，化简前需要先判断根号内平方的底数的正负性。已知$a=1012$，可得$1-a＜0$，因此$\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|=a-1$，小亮直接将$\sqrt{(1-a)^2}$化简为$1-a$，未考虑底数的正负，因此解法错误。
(2) 解决第二问时，先将根号内的多项式分解为完全平方式，再根据$a$的取值判断完全平方式底数的正负，结合二次根式的性质去根号，最后代入$a$的值计算即可。
【解析】
(1) 先化简代数式$a+\sqrt{1-2a+a^2}$：
原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}$，
当$a=1012$时，$1-a=1-1012=-1011＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|=a-1$，
因此原式$=a+(a-1)=2a-1=2×1012-1=2023$，小芳解法正确，小亮未判断底数正负直接开根号，解法错误。
(2) 化简代数式$a+2\sqrt{a^2-6a+9}$：
首先将根号内因式分解，得原式$=a+2\sqrt{(a-3)^2}$，
当$a=-2025$时，$a-3=-2025-3=-2028＜0$，
因此$\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|=3-a$，
代入原式得：
$a+2(3-a)=a+6-2a=-a+6$，
将$a=-2025$代入，得$-(-2025)+6=2025+6=2031$。
【答案】
(1) 小亮；(2) $2031$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的化简
【点评】
本题的易错点是化简二次根式$\sqrt{x^2}$时，忽略判断$x$的正负直接去根号，解题时要牢记$\sqrt{x^2}=|x|$，先根据已知条件判断$x$的正负，再结合绝对值的性质完成化简。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问的核心是掌握二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，化简前需要先判断根号内平方的底数的正负性。已知$a=1012$，可得$1-a＜0$，因此$\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|=a-1$，小亮直接将$\sqrt{(1-a)^2}$化简为$1-a$，未考虑底数的正负，因此解法错误。
(2) 解决第二问时，先将根号内的多项式分解为完全平方式，再根据$a$的取值判断完全平方式底数的正负，结合二次根式的性质去根号，最后代入$a$的值计算即可。
【解析】
(1) 先化简代数式$a+\sqrt{1-2a+a^2}$：
原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}$，
当$a=1012$时，$1-a=1-1012=-1011＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|=a-1$，
因此原式$=a+(a-1)=2a-1=2×1012-1=2023$，小芳解法正确，小亮未判断底数正负直接开根号，解法错误。
(2) 化简代数式$a+2\sqrt{a^2-6a+9}$：
首先将根号内因式分解，得原式$=a+2\sqrt{(a-3)^2}$，
当$a=-2025$时，$a-3=-2025-3=-2028＜0$，
因此$\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|=3-a$，
代入原式得：
$a+2(3-a)=a+6-2a=-a+6$，
将$a=-2025$代入，得$-(-2025)+6=2025+6=2031$。
【答案】
(1) 小亮；(2) $2031$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的化简
【点评】
本题的易错点是化简二次根式$\sqrt{x^2}$时，忽略判断$x$的正负直接去根号，解题时要牢记$\sqrt{x^2}=|x|$，先根据已知条件判断$x$的正负，再结合绝对值的性质完成化简。
【难度系数】
0.7
19. 运算能力 [2026上海浦东新区建平中学月考] 当$x=$
0
时，$4 - \sqrt{x^2 +9}$的值最大，该最大值为1
。答案
19.$0$；$1$ $\because 4-\sqrt{x^2+9}$的值最大,$\therefore \sqrt{x^2+9}$的值最小.
$\because x^2≥0$,$\therefore$ 当$x=0$时,$\sqrt{x^2+9}$的值最小,该最小值为$\sqrt{9}=3$,此时$4-\sqrt{x^2+9}$的值最大,该最大值为$4-3=1$.
$\because x^2≥0$,$\therefore$ 当$x=0$时,$\sqrt{x^2+9}$的值最小,该最小值为$\sqrt{9}=3$,此时$4-\sqrt{x^2+9}$的值最大,该最大值为$4-3=1$.
解析
【分析】
要使代数式$4 - \sqrt{x^2 +9}$取得最大值，首先观察代数式结构：被减数4是固定常数，根据减法运算性质，当减数$\sqrt{x^2 +9}$最小时，整个代数式的差最大。接下来分析二次根式的最小值：根号下的$x^2$具有非负性，即$x^2≥0$，因此找到$x^2$的最小值，就能得到根号部分的最小值，进而求出原式的最大值和对应的$x$取值。
【解析】
要使$4 - \sqrt{x^2 +9}$的值最大，需使减数$\sqrt{x^2 +9}$的值最小。
根据平方的非负性可知$x^2≥0$，因此当$x=0$时，$x^2$取得最小值0，此时$\sqrt{x^2 +9}$取得最小值为$\sqrt{0+9}=3$。
代入原式计算可得最大值为$4-3=1$。
【答案】
$0$；$1$
【知识点】
平方的非负性；二次根式的性质；代数式最值求解
【点评】
本题需要先将代数式最值问题转化为求减数的最小值问题，结合平方和二次根式的非负性即可求解，属于基础题型，核心是掌握非负性的应用。
【难度系数】
0.8
要使代数式$4 - \sqrt{x^2 +9}$取得最大值，首先观察代数式结构：被减数4是固定常数，根据减法运算性质，当减数$\sqrt{x^2 +9}$最小时，整个代数式的差最大。接下来分析二次根式的最小值：根号下的$x^2$具有非负性，即$x^2≥0$，因此找到$x^2$的最小值，就能得到根号部分的最小值，进而求出原式的最大值和对应的$x$取值。
【解析】
要使$4 - \sqrt{x^2 +9}$的值最大，需使减数$\sqrt{x^2 +9}$的值最小。
根据平方的非负性可知$x^2≥0$，因此当$x=0$时，$x^2$取得最小值0，此时$\sqrt{x^2 +9}$取得最小值为$\sqrt{0+9}=3$。
代入原式计算可得最大值为$4-3=1$。
【答案】
$0$；$1$
【知识点】
平方的非负性；二次根式的性质；代数式最值求解
【点评】
本题需要先将代数式最值问题转化为求减数的最小值问题，结合平方和二次根式的非负性即可求解，属于基础题型，核心是掌握非负性的应用。
【难度系数】
0.8
20. 运算能力 [2026 运城垣曲期中] 已知$\sqrt{13 - m}$是整数,则自然数$m$的最小值是
4
.答案
20.$4$ 设$k=\sqrt{13-m}$($k$为整数且$k≥0$),则$k^2=13-m$,$\therefore m=13-k^2$. $\because m≥0$,$\therefore k^2≤13$,$\therefore k$的值为$0,1,2,3$. 当$m$的值最小时,$k^2$的值最大,即$k$的值最大,$\therefore$ 当$k=3$时,$m$取得最小值,为$4$.
解析
【分析】
解题时首先要明确两个隐含条件：一是二次根式有意义的条件，即被开方数$13-m≥0$，可得$m≤13$；二是算术平方根的结果是非负整数，即$\sqrt{13-m}$为非负整数，说明$13-m$是一个非负完全平方数。要求自然数$m$的最小值，只需让$13-m$的取值尽可能大，即找到不大于13的最大完全平方数，进而计算出$m$的值即可。
【解析】
设$k=\sqrt{13 - m}$（$k$为整数且$k≥0$），根据算术平方根的定义，两边平方可得：
$k^2=13 - m$
变形得$m=13 - k^2$
因为$m$是自然数，所以$m≥0$，即：
$13 - k^2≥0$，也就是$k^2≤13$
符合条件的非负整数$k$的值为$0,1,2,3$
要使$m$取得最小值，需让$k^2$的取值最大，即$k$取最大值
当$k=3$时，$k^2=9$，代入得$m=13 - 9=4$
【答案】
4
【知识点】
二次根式有意义的条件，算术平方根的性质，完全平方数的概念
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题的核心是通过设整数参数将代数式关系转化为不等式关系，结合完全平方数的特征找到符合条件的最值，解题时需注意不要忽略算术平方根非负、自然数非负的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个隐含条件：一是二次根式有意义的条件，即被开方数$13-m≥0$，可得$m≤13$；二是算术平方根的结果是非负整数，即$\sqrt{13-m}$为非负整数，说明$13-m$是一个非负完全平方数。要求自然数$m$的最小值，只需让$13-m$的取值尽可能大，即找到不大于13的最大完全平方数，进而计算出$m$的值即可。
【解析】
设$k=\sqrt{13 - m}$（$k$为整数且$k≥0$），根据算术平方根的定义，两边平方可得：
$k^2=13 - m$
变形得$m=13 - k^2$
因为$m$是自然数，所以$m≥0$，即：
$13 - k^2≥0$，也就是$k^2≤13$
符合条件的非负整数$k$的值为$0,1,2,3$
要使$m$取得最小值，需让$k^2$的取值最大，即$k$取最大值
当$k=3$时，$k^2=9$，代入得$m=13 - 9=4$
【答案】
4
【知识点】
二次根式有意义的条件，算术平方根的性质，完全平方数的概念
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题的核心是通过设整数参数将代数式关系转化为不等式关系，结合完全平方数的特征找到符合条件的最值，解题时需注意不要忽略算术平方根非负、自然数非负的隐含条件。
【难度系数】
0.7
【阅读理解】
化简: $(\sqrt{1-3x})^2 - |1 - x|$.
解:根据二次根式有意义的条件,
可得 $1-3x ≥ 0$, 解得 $x ≤ \frac{1}{3}$, $\therefore 1 - x ≥ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} ＞ 0$,
$\therefore$ 原式 $=(1-3x)-(1 - x)=1 - 3x -1 + x = -2x$.
阅读上面的解题过程,体会如何发现隐含条件,
并解答下面的问题.
【启发应用】
(1) 按照上面的解法,试化简: $\sqrt{x^2 -8x +16} - (\sqrt{3 - x})^2$.
【类比迁移】
(2)已知实数 $a,b$ 在数轴上的位置如图所示,化简: $\sqrt{b^2} + \sqrt{(a - b)^2} - |b - a|$.
【拓展应用】
(3)若 $\sqrt{x^2 -8x +16} - |1 - x| =5 -2x$,求 $x$ 的取值范围.
化简: $(\sqrt{1-3x})^2 - |1 - x|$.
解:根据二次根式有意义的条件,
可得 $1-3x ≥ 0$, 解得 $x ≤ \frac{1}{3}$, $\therefore 1 - x ≥ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} ＞ 0$,
$\therefore$ 原式 $=(1-3x)-(1 - x)=1 - 3x -1 + x = -2x$.
阅读上面的解题过程,体会如何发现隐含条件,
并解答下面的问题.
【启发应用】
(1) 按照上面的解法,试化简: $\sqrt{x^2 -8x +16} - (\sqrt{3 - x})^2$.
【类比迁移】
(2)已知实数 $a,b$ 在数轴上的位置如图所示,化简: $\sqrt{b^2} + \sqrt{(a - b)^2} - |b - a|$.
【拓展应用】
(3)若 $\sqrt{x^2 -8x +16} - |1 - x| =5 -2x$,求 $x$ 的取值范围.
答案
解:
(1)$\because 3-x≥0$,$\therefore x≤3$,$\therefore x-4≤-1＜0$,
$\therefore \sqrt{x^2-8x+16}-(\sqrt{3-x})^2=\sqrt{(x-4)^2}-(3-x)=-(x-4)-3+x=-x+4-3+x=1$.
(2)根据实数$a,b$在数轴上的位置,
可得$b＜0,a-b＞0,b-a＜0$,
$\therefore \sqrt{b^2}+\sqrt{(a-b)^2}-|b-a|=-b+(a-b)-[-(b-a)]=-b+a-b+b-a=-b$.
(3)$\sqrt{x^2-8x+16}-|1-x|=\sqrt{(x-4)^2}-|1-x|=|x-4|-|1-x|$.
①当$x＜1$时,$x-4＜0,1-x＞0$,
$\therefore |x-4|-|1-x|=(4-x)-(1-x)=4-x-1+x=3$(舍去);
②当$1≤x≤4$时,$x-4≤0,1-x≤0$,
$\therefore |x-4|-|1-x|=(4-x)-(x-1)=4-x-x+1=5-2x$;
③当$x＞4$时,$x-4＞0,1-x＜0$,
$\therefore |x-4|-|1-x|=(x-4)-(x-1)=x-4-x+1=-3$(舍去).
综上,$x$的取值范围是$1≤x≤4$.
(1)$\because 3-x≥0$,$\therefore x≤3$,$\therefore x-4≤-1＜0$,
$\therefore \sqrt{x^2-8x+16}-(\sqrt{3-x})^2=\sqrt{(x-4)^2}-(3-x)=-(x-4)-3+x=-x+4-3+x=1$.
(2)根据实数$a,b$在数轴上的位置,
可得$b＜0,a-b＞0,b-a＜0$,
$\therefore \sqrt{b^2}+\sqrt{(a-b)^2}-|b-a|=-b+(a-b)-[-(b-a)]=-b+a-b+b-a=-b$.
(3)$\sqrt{x^2-8x+16}-|1-x|=\sqrt{(x-4)^2}-|1-x|=|x-4|-|1-x|$.
①当$x＜1$时,$x-4＜0,1-x＞0$,
$\therefore |x-4|-|1-x|=(4-x)-(1-x)=4-x-1+x=3$(舍去);
②当$1≤x≤4$时,$x-4≤0,1-x≤0$,
$\therefore |x-4|-|1-x|=(4-x)-(x-1)=4-x-x+1=5-2x$;
③当$x＞4$时,$x-4＞0,1-x＜0$,
$\therefore |x-4|-|1-x|=(x-4)-(x-1)=x-4-x+1=-3$(舍去).
综上,$x$的取值范围是$1≤x≤4$.
解析
【分析】
(1) 首先根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，得到$3-x≥0$，确定$x$的取值范围；再将根号下的多项式变形为完全平方形式，结合$x$的范围判断底数的符号，利用二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$、$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$的性质化简，最后合并同类项即可。
(2) 先根据数轴上点的位置判断$a$、$b$的大小和正负：$b＜0＜a$，进而判断$a-b$、$b-a$的符号；再结合二次根式的性质将式子转化为绝对值化简问题，根据绝对值的代数意义去符号后合并同类项。
(3) 先将原式左边化简为$|x-4|-|1-x|$，找到绝对值的零点$x=1$和$x=4$，分三段讨论去绝对值，找到化简结果等于$5-2x$的区间，即为$x$的取值范围。
【解析】
(1) 根据二次根式有意义的条件，可得$3-x≥0$，解得$x≤3$，
$\therefore x-4≤3-4=-1＜0$，
$\therefore \sqrt{x^2-8x+16} - (\sqrt{3-x})^2=\sqrt{(x-4)^2}-(3-x)=|x-4|-3+x=-(x-4)-3+x=-x+4-3+x=1$。
(2) 由数轴可得：$b＜0＜a$，
$\therefore a-b＞0$，$b-a＜0$，
$\therefore \sqrt{b^2} + \sqrt{(a-b)^2} - |b-a|=|b|+|a-b|-|b-a|=-b+(a-b)-[-(b-a)]=-b+a-b+b-a=-b$。
(3) 先化简原式左边：$\sqrt{x^2-8x+16}-|1-x|=\sqrt{(x-4)^2}-|1-x|=|x-4|-|1-x|$，分情况讨论：
①当$x＜1$时，$x-4＜0$，$1-x＞0$，
$\therefore |x-4|-|1-x|=(4-x)-(1-x)=3≠5-2x$，不符合题意，舍去；
②当$1≤x≤4$时，$x-4≤0$，$1-x≤0$，
$\therefore |x-4|-|1-x|=(4-x)-(x-1)=4-x-x+1=5-2x$，符合题意；
③当$x＞4$时，$x-4＞0$，$1-x＜0$，
$\therefore |x-4|-|1-x|=(x-4)-(x-1)=-3≠5-2x$，不符合题意，舍去。
综上，$x$的取值范围是$1≤x≤4$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{-b}$；(3) $\boxed{1≤ x≤4}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分类讨论思想
【点评】
本题围绕二次根式化简设置问题，重点考查学生挖掘隐含条件的能力，对于含多个绝对值的问题，采用分段讨论的方法可避免漏解，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，得到$3-x≥0$，确定$x$的取值范围；再将根号下的多项式变形为完全平方形式，结合$x$的范围判断底数的符号，利用二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$、$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$的性质化简，最后合并同类项即可。
(2) 先根据数轴上点的位置判断$a$、$b$的大小和正负：$b＜0＜a$，进而判断$a-b$、$b-a$的符号；再结合二次根式的性质将式子转化为绝对值化简问题，根据绝对值的代数意义去符号后合并同类项。
(3) 先将原式左边化简为$|x-4|-|1-x|$，找到绝对值的零点$x=1$和$x=4$，分三段讨论去绝对值，找到化简结果等于$5-2x$的区间，即为$x$的取值范围。
【解析】
(1) 根据二次根式有意义的条件，可得$3-x≥0$，解得$x≤3$，
$\therefore x-4≤3-4=-1＜0$，
$\therefore \sqrt{x^2-8x+16} - (\sqrt{3-x})^2=\sqrt{(x-4)^2}-(3-x)=|x-4|-3+x=-(x-4)-3+x=-x+4-3+x=1$。
(2) 由数轴可得：$b＜0＜a$，
$\therefore a-b＞0$，$b-a＜0$，
$\therefore \sqrt{b^2} + \sqrt{(a-b)^2} - |b-a|=|b|+|a-b|-|b-a|=-b+(a-b)-[-(b-a)]=-b+a-b+b-a=-b$。
(3) 先化简原式左边：$\sqrt{x^2-8x+16}-|1-x|=\sqrt{(x-4)^2}-|1-x|=|x-4|-|1-x|$，分情况讨论：
①当$x＜1$时，$x-4＜0$，$1-x＞0$，
$\therefore |x-4|-|1-x|=(4-x)-(1-x)=3≠5-2x$，不符合题意，舍去；
②当$1≤x≤4$时，$x-4≤0$，$1-x≤0$，
$\therefore |x-4|-|1-x|=(4-x)-(x-1)=4-x-x+1=5-2x$，符合题意；
③当$x＞4$时，$x-4＞0$，$1-x＜0$，
$\therefore |x-4|-|1-x|=(x-4)-(x-1)=-3≠5-2x$，不符合题意，舍去。
综上，$x$的取值范围是$1≤x≤4$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{-b}$；(3) $\boxed{1≤ x≤4}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分类讨论思想
【点评】
本题围绕二次根式化简设置问题，重点考查学生挖掘隐含条件的能力，对于含多个绝对值的问题，采用分段讨论的方法可避免漏解，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
