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1. 下列各式中是二次根式的是（
A.2
B.$\sqrt[3]{4}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{-3}$
C
）A.2
B.$\sqrt[3]{4}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{-3}$
答案
1.C $\sqrt[3]{4}$不含“√”，$\sqrt{-3}$中的$-3＜0$，
∴选项A,B,D都不符合题意。一个式子是二次根式必须满足两个条件:(1)只含有“√”;(2)被开方数是非负数。
∴选项A,B,D都不符合题意。一个式子是二次根式必须满足两个条件:(1)只含有“√”;(2)被开方数是非负数。
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，需先明确二次根式的两个判定条件：一是含有二次根号“√”（根指数为2，通常省略不写），二是根号下的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们只需按照这两个条件逐一排查每个选项即可得出答案。
【解析】
二次根式的定义为：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个要求：①含二次根号“√”，根指数为2；②被开方数为非负数。
对各选项逐一分析：
A. 2是整数，不含二次根号，不是二次根式；
B. $\sqrt[3]{4}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式；
C. $\sqrt{2}$含二次根号，且被开方数$2＞0$，满足二次根式的所有条件，是二次根式；
D. $\sqrt{-3}$的被开方数为$-3＜0$，在实数范围内无意义，不是二次根式。
综上，只有C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查二次根式的判定方法，熟练掌握二次根式的两个判定条件是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是不是二次根式，需先明确二次根式的两个判定条件：一是含有二次根号“√”（根指数为2，通常省略不写），二是根号下的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们只需按照这两个条件逐一排查每个选项即可得出答案。
【解析】
二次根式的定义为：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个要求：①含二次根号“√”，根指数为2；②被开方数为非负数。
对各选项逐一分析：
A. 2是整数，不含二次根号，不是二次根式；
B. $\sqrt[3]{4}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式；
C. $\sqrt{2}$含二次根号，且被开方数$2＞0$，满足二次根式的所有条件，是二次根式；
D. $\sqrt{-3}$的被开方数为$-3＜0$，在实数范围内无意义，不是二次根式。
综上，只有C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查二次根式的判定方法，熟练掌握二次根式的两个判定条件是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
2. 教材例题变式 下列二次根式中,无论x取什么值都有意义的是 (
A.$\sqrt{x^2 -5}$
B.$\sqrt{-x -5}$
C.$\sqrt{x}$
D.$\sqrt{x^2 +1}$
D
)A.$\sqrt{x^2 -5}$
B.$\sqrt{-x -5}$
C.$\sqrt{x}$
D.$\sqrt{x^2 +1}$
答案
2.D
|选项|分析|结论|
|----|----|----|
|A|当$x=1$时,$\sqrt{x^2 -5}$无意义|不符合题意|
|B|当$x=1$时,$\sqrt{-x -5}$无意义|不符合题意|
|C|当$x＜0$时,$\sqrt{x}$无意义|不符合题意|
|D|无论$x$取什么值,$\sqrt{x^2 +1}$都有意义|符合题意|
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数。
|选项|分析|结论|
|----|----|----|
|A|当$x=1$时,$\sqrt{x^2 -5}$无意义|不符合题意|
|B|当$x=1$时,$\sqrt{-x -5}$无意义|不符合题意|
|C|当$x＜0$时,$\sqrt{x}$无意义|不符合题意|
|D|无论$x$取什么值,$\sqrt{x^2 +1}$都有意义|符合题意|
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数。
解析
【分析】
要判断二次根式无论x取何值都有意义，核心依据是二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数（即大于等于0）。我们只需逐一分析每个选项的被开方数的取值范围，判断其是否恒大于等于0即可。
【解析】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即被开方数≥0，对各选项逐一分析：
A. 被开方数为$x^2-5$，当$x^2＜5$时，$x^2-5＜0$，例如$x=1$时，$1^2-5=-4＜0$，此时二次根式无意义，不符合要求；
B. 被开方数为$-x-5$，当$-x-5＜0$即$x＞-5$时，被开方数为负数，例如$x=1$时，$-1-5=-6＜0$，此时二次根式无意义，不符合要求；
C. 被开方数为$x$，当$x＜0$时，被开方数为负数，二次根式无意义，不符合要求；
D. 由平方的非负性可知，对任意实数$x$都有$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，即无论$x$取何值，被开方数恒为正数，二次根式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记二次根式有意义的判定规则，结合平方的非负性分析各选项被开方数的取值范围即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断二次根式无论x取何值都有意义，核心依据是二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数（即大于等于0）。我们只需逐一分析每个选项的被开方数的取值范围，判断其是否恒大于等于0即可。
【解析】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即被开方数≥0，对各选项逐一分析：
A. 被开方数为$x^2-5$，当$x^2＜5$时，$x^2-5＜0$，例如$x=1$时，$1^2-5=-4＜0$，此时二次根式无意义，不符合要求；
B. 被开方数为$-x-5$，当$-x-5＜0$即$x＞-5$时，被开方数为负数，例如$x=1$时，$-1-5=-6＜0$，此时二次根式无意义，不符合要求；
C. 被开方数为$x$，当$x＜0$时，被开方数为负数，二次根式无意义，不符合要求；
D. 由平方的非负性可知，对任意实数$x$都有$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，即无论$x$取何值，被开方数恒为正数，二次根式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记二次根式有意义的判定规则，结合平方的非负性分析各选项被开方数的取值范围即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 新趋势·开放题 [2025 河南中考] 请写出一个使$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义的$x$的值：
3(答案不唯一)
。答案
3.3(答案不唯一) 由题意得,$5-x≥0$,解得$x≤5$,
∴只要满足$x≤5$即可,比如$x=3$。
∴只要满足$x≤5$即可,比如$x=3$。
解析
【分析】
要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数这一核心条件。解题时首先确定$\sqrt{5-x}$的被开方数为$5-x$，据此列出不等式求解得到$x$的取值范围，再在取值范围内任选一个符合要求的数值即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，
由题意得：$5-x≥0$，
移项解得：$x≤5$，
因此只要取小于等于5的任意实数都符合要求，例如取$x=3$。
【答案】
3（答案不唯一，满足$x≤5$即可）
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础开放题，主要考查二次根式的基本性质，只要掌握二次根式被开方数的非负性就能轻松解答，答案不唯一，符合取值范围即为正确。
【难度系数】
0.9
要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数这一核心条件。解题时首先确定$\sqrt{5-x}$的被开方数为$5-x$，据此列出不等式求解得到$x$的取值范围，再在取值范围内任选一个符合要求的数值即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，
由题意得：$5-x≥0$，
移项解得：$x≤5$，
因此只要取小于等于5的任意实数都符合要求，例如取$x=3$。
【答案】
3（答案不唯一，满足$x≤5$即可）
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础开放题，主要考查二次根式的基本性质，只要掌握二次根式被开方数的非负性就能轻松解答，答案不唯一，符合取值范围即为正确。
【难度系数】
0.9
4.已知$a,b$都是实数，且$\sqrt{a+1}+(b-2)^2=0$，则$a-b$的值为
-3
.答案
4.-3 $\because \sqrt{a+1}+(b-2)^2=0,\therefore a+1=0,b-2=0$,解得$a=-1,b=2$,则$a-b=-1-2=-3$。
$\sqrt{a},|a|,a^2$都是非负数. 如果几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0。
$\sqrt{a},|a|,a^2$都是非负数. 如果几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0。
解析
【分析】
解题时先观察等式的构成：等式左边包含算术平方根与平方项，二者都属于非负数。根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此可分别列出关于a、b的一元一次方程，求解得到a、b的取值后，代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because \sqrt{a+1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，且$\sqrt{a+1}+(b-2)^2=0$
$\therefore \begin{cases}a+1=0\\b-2=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$
将$a=-1$，$b=2$代入$a-b$得：$a-b=-1-2=-3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
1.二次根式的非负性
2.非负数的性质
3.平方的非负性
【点评】
本题是常考基础题型，核心考查非负数的性质，只要熟练掌握算术平方根、偶次幂、绝对值三类常见非负数的特征，遇到这类和为0的题型时，直接令每个非负数为0求解参数即可。
【难度系数】
0.9
解题时先观察等式的构成：等式左边包含算术平方根与平方项，二者都属于非负数。根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此可分别列出关于a、b的一元一次方程，求解得到a、b的取值后，代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because \sqrt{a+1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，且$\sqrt{a+1}+(b-2)^2=0$
$\therefore \begin{cases}a+1=0\\b-2=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$
将$a=-1$，$b=2$代入$a-b$得：$a-b=-1-2=-3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
1.二次根式的非负性
2.非负数的性质
3.平方的非负性
【点评】
本题是常考基础题型，核心考查非负数的性质，只要熟练掌握算术平方根、偶次幂、绝对值三类常见非负数的特征，遇到这类和为0的题型时，直接令每个非负数为0求解参数即可。
【难度系数】
0.9
5. 若$|a - 2| + \sqrt{a + b} = 0$,则$ab$的值为
-4
.答案
5.-4 $\because |a-2| + \sqrt{a+b}=0,\therefore a-2=0,a+b=0,\therefore a=2,b=-2,\therefore ab=2×(-2)=-4$。
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的相关性质：绝对值和算术平方根都是非负数，取值均大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有每个非负数都等于0才能满足等式，因此我们可以据此列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值后，代入计算ab的乘积即可。
【解析】
解：$\because |a - 2| ≥ 0$，$\sqrt{a + b} ≥ 0$，且$|a - 2| + \sqrt{a + b} = 0$
$\therefore$ 两个非负项均为0，即：
$\begin{cases}a - 2 = 0 \\ a + b = 0\end{cases}$
解第一个方程得：$a = 2$
将$a = 2$代入第二个方程：$2 + b = 0$，解得$b = -2$
$\therefore ab = 2 × (-2) = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
绝对值的非负性；二次根式的非负性；非负数的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查非负数性质的应用，解题的关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”这一规律，熟练掌握绝对值和二次根式的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆非负数的相关性质：绝对值和算术平方根都是非负数，取值均大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有每个非负数都等于0才能满足等式，因此我们可以据此列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值后，代入计算ab的乘积即可。
【解析】
解：$\because |a - 2| ≥ 0$，$\sqrt{a + b} ≥ 0$，且$|a - 2| + \sqrt{a + b} = 0$
$\therefore$ 两个非负项均为0，即：
$\begin{cases}a - 2 = 0 \\ a + b = 0\end{cases}$
解第一个方程得：$a = 2$
将$a = 2$代入第二个方程：$2 + b = 0$，解得$b = -2$
$\therefore ab = 2 × (-2) = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
绝对值的非负性；二次根式的非负性；非负数的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查非负数性质的应用，解题的关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”这一规律，熟练掌握绝对值和二次根式的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6. 已知$a$为等腰三角形的腰长，$b$为等腰三角形的底边长，且$b = 3 + \sqrt{4 - a} + \sqrt{a - 4}$，求该等腰三角形的周长。
答案
6. 解:已知$b=3+\sqrt{4-a}+\sqrt{a-4}$,
根据二次根式有意义的条件,
得$\begin{cases}4-a≥0,\\a-4≥0,\end{cases}$解得$a=4$,$\therefore b=3$,
∴该等腰三角形的周长为$4+4+3=11$。
根据二次根式有意义的条件,
得$\begin{cases}4-a≥0,\\a-4≥0,\end{cases}$解得$a=4$,$\therefore b=3$,
∴该等腰三角形的周长为$4+4+3=11$。
解析
【分析】
要计算等腰三角形的周长，首先需要确定腰长a和底边长b的值。观察b的表达式中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，因此可以列出关于a的不等式组求出a的取值，再代入表达式得到b的值，最后结合a是腰长、b是底边长的条件，计算三角形周长即可，同时注意验证三边是否满足三角形构成条件。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，可得：
$\begin{cases}4-a≥0 \\ a-4≥0\end{cases}$
解不等式组得$a=4$，
将$a=4$代入$b = 3 + \sqrt{4 - a} + \sqrt{a - 4}$，得$b=3+0+0=3$。
已知a为等腰三角形的腰长，b为底边长，因此三角形三边长为4、4、3，满足任意两边之和大于第三边，可构成三角形。
则该等腰三角形的周长为$4+4+3=11$。
【答案】
11
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是二次根式性质与等腰三角形周长计算的综合基础题，解题的突破口是利用二次根式被开方数的非负性求出a的取值，本题已明确腰和底的对应关系，无需额外分类讨论，只要掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.75
要计算等腰三角形的周长，首先需要确定腰长a和底边长b的值。观察b的表达式中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，因此可以列出关于a的不等式组求出a的取值，再代入表达式得到b的值，最后结合a是腰长、b是底边长的条件，计算三角形周长即可，同时注意验证三边是否满足三角形构成条件。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，可得：
$\begin{cases}4-a≥0 \\ a-4≥0\end{cases}$
解不等式组得$a=4$，
将$a=4$代入$b = 3 + \sqrt{4 - a} + \sqrt{a - 4}$，得$b=3+0+0=3$。
已知a为等腰三角形的腰长，b为底边长，因此三角形三边长为4、4、3，满足任意两边之和大于第三边，可构成三角形。
则该等腰三角形的周长为$4+4+3=11$。
【答案】
11
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是二次根式性质与等腰三角形周长计算的综合基础题，解题的突破口是利用二次根式被开方数的非负性求出a的取值，本题已明确腰和底的对应关系，无需额外分类讨论，只要掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.75
7. 计算:
(1)$(-\sqrt{7})^2$；(2)$(-\sqrt{\frac{9}{5}})^2$；(3)$(\frac{5}{7}\sqrt{\frac{7}{5}})^2$.
(1)$(-\sqrt{7})^2$；(2)$(-\sqrt{\frac{9}{5}})^2$；(3)$(\frac{5}{7}\sqrt{\frac{7}{5}})^2$.
答案
7. 解:
(1)$(-\sqrt{7})^2=(\sqrt{7})^2=7$.
(2)$(-\sqrt{\frac{9}{5}})^2=(\sqrt{\frac{9}{5}})^2=\frac{9}{5}$.
(3)$(\frac{5}{7}\sqrt{\frac{7}{5}})^2=(\frac{5}{7})^2×(\sqrt{\frac{7}{5}})^2=\frac{25}{49}×\frac{7}{5}=\frac{5}{7}$.
(1)$(-\sqrt{7})^2=(\sqrt{7})^2=7$.
(2)$(-\sqrt{\frac{9}{5}})^2=(\sqrt{\frac{9}{5}})^2=\frac{9}{5}$.
(3)$(\frac{5}{7}\sqrt{\frac{7}{5}})^2=(\frac{5}{7})^2×(\sqrt{\frac{7}{5}})^2=\frac{25}{49}×\frac{7}{5}=\frac{5}{7}$.
解析
【分析】
解题时先观察式子结构：首先，平方属于偶次运算，负数的偶次幂为正，因此可先消除负号；其次，若式子是系数与二次根式相乘的形式，利用积的乘方运算法则，分别对系数和二次根式进行平方运算；最后运用二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算，结果能约分的要约分为最简形式。
【解析】
(1) 先处理负号的平方，再利用二次根式性质计算：
$(-\sqrt{7})^2=(\sqrt{7})^2=7$
(2) 同理先消去负号，再计算：
$(-\sqrt{\frac{9}{5}})^2=(\sqrt{\frac{9}{5}})^2=\frac{9}{5}$
(3) 利用积的乘方法则拆分后分别计算，最后约分：
$(\frac{5}{7}\sqrt{\frac{7}{5}})^2=(\frac{5}{7})^2×(\sqrt{\frac{7}{5}})^2=\frac{25}{49}×\frac{7}{5}=\frac{5}{7}$
【答案】
(1)$7$；(2)$\frac{9}{5}$；(3)$\frac{5}{7}$
【知识点】
二次根式的性质，积的乘方运算，乘方运算规则
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，重点考察二次根式平方性质的应用，解题时注意带系数的二次根式平方不要漏算系数的平方，计算时及时约分可降低失误率。
【难度系数】
0.9
解题时先观察式子结构：首先，平方属于偶次运算，负数的偶次幂为正，因此可先消除负号；其次，若式子是系数与二次根式相乘的形式，利用积的乘方运算法则，分别对系数和二次根式进行平方运算；最后运用二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算，结果能约分的要约分为最简形式。
【解析】
(1) 先处理负号的平方，再利用二次根式性质计算：
$(-\sqrt{7})^2=(\sqrt{7})^2=7$
(2) 同理先消去负号，再计算：
$(-\sqrt{\frac{9}{5}})^2=(\sqrt{\frac{9}{5}})^2=\frac{9}{5}$
(3) 利用积的乘方法则拆分后分别计算，最后约分：
$(\frac{5}{7}\sqrt{\frac{7}{5}})^2=(\frac{5}{7})^2×(\sqrt{\frac{7}{5}})^2=\frac{25}{49}×\frac{7}{5}=\frac{5}{7}$
【答案】
(1)$7$；(2)$\frac{9}{5}$；(3)$\frac{5}{7}$
【知识点】
二次根式的性质，积的乘方运算，乘方运算规则
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，重点考察二次根式平方性质的应用，解题时注意带系数的二次根式平方不要漏算系数的平方，计算时及时约分可降低失误率。
【难度系数】
0.9
8. [2025长春中考]先化简,再求值:$(1+x)^2 -2x$,其中$x=\sqrt{3}$.
答案
8. 解:$(1+x)^2 -2x=1+2x+x^2-2x=x^2+1$.
当$x=\sqrt{3}$时,原式$=(\sqrt{3})^2+1=3+1=4$.
当$x=\sqrt{3}$时,原式$=(\sqrt{3})^2+1=3+1=4$.
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先对原式进行化简，利用完全平方公式展开$(1+x)^2$，再合并同类项得到最简整式，可避免直接代入带来的复杂计算，减少出错概率；第二步将$x=\sqrt{3}$代入化简后的最简式，结合二次根式的平方运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
解：利用完全平方公式展开原式：
$\begin{aligned}(1+x)^2 -2x&=1+2x+x^2-2x\\&=x^2+1\end{aligned}$
将$x=\sqrt{3}$代入化简后的式子：
原式$=(\sqrt{3})^2+1=3+1=4$
【答案】
$4$
【知识点】
完全平方公式；整式化简；二次根式运算
【点评】
本题是基础的代数运算题，侧重考查基础公式的掌握程度和基本运算能力，化简过程中同类项抵消是简化计算的关键，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先对原式进行化简，利用完全平方公式展开$(1+x)^2$，再合并同类项得到最简整式，可避免直接代入带来的复杂计算，减少出错概率；第二步将$x=\sqrt{3}$代入化简后的最简式，结合二次根式的平方运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
解：利用完全平方公式展开原式：
$\begin{aligned}(1+x)^2 -2x&=1+2x+x^2-2x\\&=x^2+1\end{aligned}$
将$x=\sqrt{3}$代入化简后的式子：
原式$=(\sqrt{3})^2+1=3+1=4$
【答案】
$4$
【知识点】
完全平方公式；整式化简；二次根式运算
【点评】
本题是基础的代数运算题，侧重考查基础公式的掌握程度和基本运算能力，化简过程中同类项抵消是简化计算的关键，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
9. 若用一个$x$的值说明“$\sqrt{x^2}=x$”是错误的，则该$x$的值可以为 （
A.2
B.0
C.$-1$
D.1
C
）A.2
B.0
C.$-1$
D.1
答案
9.C 当$x≥0$时,$\sqrt{x^2}=x$;当$x＜0$时,$\sqrt{x^2}=-x$. 要说明“$\sqrt{x^2}=x$”是错误的,只要满足$x＜0$即可,比如$x=-1$.
解析
【分析】
要判断“$\sqrt{x^2}=x$”是错误的，首先需明确二次根式的性质：$\sqrt{a}$的运算结果一定是非负数，因此$\sqrt{x^2}=|x|$。等式$\sqrt{x^2}=x$成立的条件是$x≥0$，只要找到一个小于0的$x$代入，使左右两边不相等，就能证明该命题错误。
【解析】
根据二次根式的性质可得$\sqrt{x^2}=|x|$，分情况讨论：
1. 当$x≥0$时，$|x|=x$，此时$\sqrt{x^2}=x$成立；
2. 当$x＜0$时，$|x|=-x$，此时$\sqrt{x^2}=-x≠ x$，即可证明原命题错误。
对选项逐一验证：
A选项：$x=2＞0$，$\sqrt{2^2}=2=x$，等式成立，不符合要求；
B选项：$x=0$，$\sqrt{0^2}=0=x$，等式成立，不符合要求；
C选项：$x=-1＜0$，$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$，而$x=-1$，$1≠-1$，等式不成立，符合要求；
D选项：$x=1＞0$，$\sqrt{1^2}=1=x$，等式成立，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，解题关键是牢记$\sqrt{x^2}$的化简结果为非负数，要结合绝对值的性质分正负情况讨论，避免忽略x为负数的特殊情况。
【难度系数】
0.8
要判断“$\sqrt{x^2}=x$”是错误的，首先需明确二次根式的性质：$\sqrt{a}$的运算结果一定是非负数，因此$\sqrt{x^2}=|x|$。等式$\sqrt{x^2}=x$成立的条件是$x≥0$，只要找到一个小于0的$x$代入，使左右两边不相等，就能证明该命题错误。
【解析】
根据二次根式的性质可得$\sqrt{x^2}=|x|$，分情况讨论：
1. 当$x≥0$时，$|x|=x$，此时$\sqrt{x^2}=x$成立；
2. 当$x＜0$时，$|x|=-x$，此时$\sqrt{x^2}=-x≠ x$，即可证明原命题错误。
对选项逐一验证：
A选项：$x=2＞0$，$\sqrt{2^2}=2=x$，等式成立，不符合要求；
B选项：$x=0$，$\sqrt{0^2}=0=x$，等式成立，不符合要求；
C选项：$x=-1＜0$，$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$，而$x=-1$，$1≠-1$，等式不成立，符合要求；
D选项：$x=1＞0$，$\sqrt{1^2}=1=x$，等式成立，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，解题关键是牢记$\sqrt{x^2}$的化简结果为非负数，要结合绝对值的性质分正负情况讨论，避免忽略x为负数的特殊情况。
【难度系数】
0.8
10. 在 $-\sqrt{2^2}, (-\sqrt{2})^2, -(\sqrt{2})^2, 0$ 四个数中，最大的数是（
A.$-\sqrt{2^2}$
B.$(-\sqrt{2})^2$
C.$-(\sqrt{2})^2$
D.$0$
B
）A.$-\sqrt{2^2}$
B.$(-\sqrt{2})^2$
C.$-(\sqrt{2})^2$
D.$0$
答案
10.B $\because -\sqrt{2^2}=-2,(-\sqrt{2})^2=2,-(\sqrt{2})^2=-2,-2＜0＜2$,$\therefore$ 题中最大的数是$(-\sqrt{2})^2$.
解析
【分析】
要找出四个数中最大的数，首先需要分别化简每个含二次根式的式子，得到每个数的具体数值，再根据实数大小比较的规则排序，即可确定最大的数。化简时要注意运算顺序、负号的位置以及平方运算对符号的影响，避免计算错误。
【解析】
先分别计算四个数的值：
1. 计算$-\sqrt{2^2}$：先算根号内的乘方$2^2=4$，再开方得$\sqrt{4}=2$，加上负号后结果为$-2$；
2. 计算$(-\sqrt{2})^2$：根据乘方的性质，平方后负号消去，即$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$；
3. 计算$-(\sqrt{2})^2$：先算乘方$(\sqrt{2})^2=2$，加上负号后结果为$-2$；
4. 第四个数为$0$。
将四个数按从小到大排序：$-2 ＜ 0 ＜ 2$，因此最大的数是$(-\sqrt{2})^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式运算，实数大小比较，乘方运算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确计算每个含二次根式式子的结果，计算时要注意区分负号在括号内和括号外的运算差异，避免因符号判断失误导致错误。
【难度系数】
0.8
要找出四个数中最大的数，首先需要分别化简每个含二次根式的式子，得到每个数的具体数值，再根据实数大小比较的规则排序，即可确定最大的数。化简时要注意运算顺序、负号的位置以及平方运算对符号的影响，避免计算错误。
【解析】
先分别计算四个数的值：
1. 计算$-\sqrt{2^2}$：先算根号内的乘方$2^2=4$，再开方得$\sqrt{4}=2$，加上负号后结果为$-2$；
2. 计算$(-\sqrt{2})^2$：根据乘方的性质，平方后负号消去，即$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$；
3. 计算$-(\sqrt{2})^2$：先算乘方$(\sqrt{2})^2=2$，加上负号后结果为$-2$；
4. 第四个数为$0$。
将四个数按从小到大排序：$-2 ＜ 0 ＜ 2$，因此最大的数是$(-\sqrt{2})^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式运算，实数大小比较，乘方运算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确计算每个含二次根式式子的结果，计算时要注意区分负号在括号内和括号外的运算差异，避免因符号判断失误导致错误。
【难度系数】
0.8
11. [2026 清远清新区期中]若 $ x ≤ 3 $，则 $ \sqrt{x^2 - 6x + 9} $ 的化简结果是
3-x
。答案
11.$3-x$ $\because x≤3$,$\therefore x-3≤0$,$\therefore \sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|=3-x$.
解析
【分析】
解题时首先观察根号内的二次三项式，优先用完全平方公式进行因式分解；再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为绝对值形式；最后根据题目给出的$x≤3$的取值范围，去掉绝对值符号即可得到化简结果。
【解析】
先对根号内的代数式因式分解：
$x^2-6x+9=(x-3)^2$
因此原式可化为$\sqrt{(x-3)^2}$。
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$
已知$x≤3$，则$x-3≤0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|x-3|=3-x$
【答案】
$3-x$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题，解题核心是明确$\sqrt{a^2}$的化简结果为非负数，必须结合字母的取值范围去绝对值，避免忽略限制条件直接得到错误结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察根号内的二次三项式，优先用完全平方公式进行因式分解；再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为绝对值形式；最后根据题目给出的$x≤3$的取值范围，去掉绝对值符号即可得到化简结果。
【解析】
先对根号内的代数式因式分解：
$x^2-6x+9=(x-3)^2$
因此原式可化为$\sqrt{(x-3)^2}$。
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$
已知$x≤3$，则$x-3≤0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|x-3|=3-x$
【答案】
$3-x$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题，解题核心是明确$\sqrt{a^2}$的化简结果为非负数，必须结合字母的取值范围去绝对值，避免忽略限制条件直接得到错误结果。
【难度系数】
0.8
12. 计算:
(1) $-\sqrt{(-6)^2}$;(2) $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$;(3) $\sqrt{9×10^{-2}}$.
(1) $-\sqrt{(-6)^2}$;(2) $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$;(3) $\sqrt{9×10^{-2}}$.
答案
12. 解:
(1) $-\sqrt{(-6)^2}=-|-6|=-6$.
(2) $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$.
(3) $\sqrt{9×10^{-2}}=\sqrt{(3×10^{-1})^2}=3×10^{-1}=0.3$.
(1) $-\sqrt{(-6)^2}=-|-6|=-6$.
(2) $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$.
(3) $\sqrt{9×10^{-2}}=\sqrt{(3×10^{-1})^2}=3×10^{-1}=0.3$.
解析
【分析】
解决这组题的核心是运用二次根式的重要性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合绝对值的代数意义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）化简即可。解题思路如下：
(1) 先计算根号内$(-6)^2$的结果，再套用上述性质开方，最后结合前面的负号得到结果；
(2) 开方后得到$|\sqrt{3}-2|$，先判断$\sqrt{3}$和2的大小：$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，因此$\sqrt{3}-2＜0$，去绝对值时要变号；
(3) 先将根号内的$9×10^{-2}$变形为完全平方的形式，再套用性质开方，计算最终结果即可。
【解析】
(1) $-\sqrt{(-6)^2}=-|-6|=-6$
(2) $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$
(3) $\sqrt{9×10^{-2}}=\sqrt{(3×10^{-1})^2}=|3×10^{-1}|=3×10^{-1}=0.3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$；(3) $\boldsymbol{0.3}$
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简 3.负整数指数幂运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查对$\sqrt{a^2}=|a|$这一核心性质的掌握，易错点是开方后忽略绝对值直接写结果，或去绝对值时未判断内部代数式的正负，掌握性质和绝对值化简规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这组题的核心是运用二次根式的重要性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合绝对值的代数意义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）化简即可。解题思路如下：
(1) 先计算根号内$(-6)^2$的结果，再套用上述性质开方，最后结合前面的负号得到结果；
(2) 开方后得到$|\sqrt{3}-2|$，先判断$\sqrt{3}$和2的大小：$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，因此$\sqrt{3}-2＜0$，去绝对值时要变号；
(3) 先将根号内的$9×10^{-2}$变形为完全平方的形式，再套用性质开方，计算最终结果即可。
【解析】
(1) $-\sqrt{(-6)^2}=-|-6|=-6$
(2) $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$
(3) $\sqrt{9×10^{-2}}=\sqrt{(3×10^{-1})^2}=|3×10^{-1}|=3×10^{-1}=0.3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$；(3) $\boldsymbol{0.3}$
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简 3.负整数指数幂运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查对$\sqrt{a^2}=|a|$这一核心性质的掌握，易错点是开方后忽略绝对值直接写结果，或去绝对值时未判断内部代数式的正负，掌握性质和绝对值化简规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13. 教材习题变式 若$\sqrt{x-1} + \sqrt{9-x}$有意义，求代数式$|x-1| + \sqrt{(x-9)^2}$的值。
答案
13. 解:$\because \sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}$有意义,$\therefore x-1≥0,9-x≥0$,
$\therefore |x-1|+\sqrt{(x-9)^2}=x-1+9-x=8$.
$\therefore |x-1|+\sqrt{(x-9)^2}=x-1+9-x=8$.
解析
【分析】
要计算代数式的值，首先需要确定x的取值范围：题目中给出的两个二次根式有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，据此可列出不等式组求出x的范围；再根据x的范围判断绝对值和二次根式内式子的正负性，利用绝对值和二次根式的性质化简代数式，最后计算结果即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}$有意义，
∴二次根式的被开方数非负，即$\begin{cases}x-1≥0 \\9-x≥0 \end{cases}$，
解得$1≤ x≤9$，
∴$x-1≥0$，$x-9≤0$，
结合绝对值的性质和二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$可得：
$|x-1| + \sqrt{(x-9)^2}$
$=|x-1| + |x-9|$
$=(x-1)+(9-x)$
$=8$
【答案】
8
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的化简；二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式性质的基础应用题型，解题的核心是先通过二次根式有意义的条件确定未知字母的取值范围，再结合绝对值的性质化简计算，熟练掌握相关基本概念和性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要计算代数式的值，首先需要确定x的取值范围：题目中给出的两个二次根式有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，据此可列出不等式组求出x的范围；再根据x的范围判断绝对值和二次根式内式子的正负性，利用绝对值和二次根式的性质化简代数式，最后计算结果即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}$有意义，
∴二次根式的被开方数非负，即$\begin{cases}x-1≥0 \\9-x≥0 \end{cases}$，
解得$1≤ x≤9$，
∴$x-1≥0$，$x-9≤0$，
结合绝对值的性质和二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$可得：
$|x-1| + \sqrt{(x-9)^2}$
$=|x-1| + |x-9|$
$=(x-1)+(9-x)$
$=8$
【答案】
8
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的化简；二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式性质的基础应用题型，解题的核心是先通过二次根式有意义的条件确定未知字母的取值范围，再结合绝对值的性质化简计算，熟练掌握相关基本概念和性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
