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11. 新趋势·过程性学习 已知$A=(x+2)^2 + x(1-x)-9$，化简$A$时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明的解题过程（如图所示），他最开始出现错误的是（
A.①
B.②
C.③
D.④
A
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
A $A = (x + 2)^2 + x(1 - x) - 9 = x^2 + 4x + 4 + x - x^2 - 9 = 5x - 5.$
12. 一题多解 计算$(-a + 2b)^2 - (-a - 2b)^2$的值为（
A.$-8ab$
B.$-4ab$
C.$8ab$
D.$4ab$
A
）A.$-8ab$
B.$-4ab$
C.$8ab$
D.$4ab$
答案
A
通解 $(-a + 2b)^2 - (-a - 2b)^2 = (a^2 - 4ab + 4b^2) - (a^2 + 4ab + 4b^2) = a^2 - 4ab + 4b^2 - a^2 - 4ab - 4b^2 = -8ab.$
另解 $(-a + 2b)^2 - (-a - 2b)^2 = [(-a + 2b) + (-a - 2b)][(-a + 2b) - (-a - 2b)] = -2a · 4b = -8ab.$
通解 $(-a + 2b)^2 - (-a - 2b)^2 = (a^2 - 4ab + 4b^2) - (a^2 + 4ab + 4b^2) = a^2 - 4ab + 4b^2 - a^2 - 4ab - 4b^2 = -8ab.$
另解 $(-a + 2b)^2 - (-a - 2b)^2 = [(-a + 2b) + (-a - 2b)][(-a + 2b) - (-a - 2b)] = -2a · 4b = -8ab.$
13. 教材P39 思考变式|数形结合思想 [2025 德阳旌阳区期末]
我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式. 给出以下4组图形及相应的代数恒等式: ①$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；②$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$；③$(a + b) · (a - b) = a^2 - b^2$；④$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$. 其中,图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式. 给出以下4组图形及相应的代数恒等式: ①$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；②$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$；③$(a + b) · (a - b) = a^2 - b^2$；④$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$. 其中,图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有 (
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
14. 易错题 小天在用两数和(差)的平方公式计算时，结果“$=4x^2\blacksquare +25y^2$”中的一项(用“■”表示)看不清了，则该项是
±20xy
。答案
±20xy $\because 4x^2 = (2x)^2, 25y^2 = (5y)^2, (2x \pm 5y)^2 = 4x^2 \pm 20xy + 25y^2$(两数和或两数差都可以,不要漏情况),
∴该项是$\pm 20xy.$
∴该项是$\pm 20xy.$
15. 小明在计算$(2a + b - 1)^2$时，先将$(2a + b - 1)^2$转化为$[2a + (b - 1)]^2$，再利用两数和（差）的平方公式进行计算.
(1) 根据小明的方法计算$(2a + b - 1)^2$；
(2) 请写出一种与小明不同的转化方式，并写出求解过程.
(1) 根据小明的方法计算$(2a + b - 1)^2$；
(2) 请写出一种与小明不同的转化方式，并写出求解过程.
答案
解:(1)$(2a + b - 1)^2$
$=[2a + (b - 1)]^2$[把$(b - 1)$看作一个整体,将三项式转化成可以利用两数和(差)的平方公式的二项式]
$=(2a)^2 + 2 · 2a · (b - 1) + (b - 1)^2$
$=4a^2 + 4ab - 4a + b^2 - 2b + 1.$
(2)不同的转化方式为$[(2a + b) - 1]^2$.(答案不唯一)
$(2a + b - 1)^2$
$=[(2a + b) - 1]^2$
$=(2a + b)^2 - 2 · (2a + b) · 1 + 1$
$=(2a)^2 + 2 · 2a · b + b^2 - 4a - 2b + 1$
$=4a^2 + 4ab + b^2 - 4a - 2b + 1.$
$=[2a + (b - 1)]^2$[把$(b - 1)$看作一个整体,将三项式转化成可以利用两数和(差)的平方公式的二项式]
$=(2a)^2 + 2 · 2a · (b - 1) + (b - 1)^2$
$=4a^2 + 4ab - 4a + b^2 - 2b + 1.$
(2)不同的转化方式为$[(2a + b) - 1]^2$.(答案不唯一)
$(2a + b - 1)^2$
$=[(2a + b) - 1]^2$
$=(2a + b)^2 - 2 · (2a + b) · 1 + 1$
$=(2a)^2 + 2 · 2a · b + b^2 - 4a - 2b + 1$
$=4a^2 + 4ab + b^2 - 4a - 2b + 1.$
16. 教材P44 习题T7 变式|运算能力 观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中的数据，用两种方法表示图中两个阴影图形的面积之和.(只列式，不化简)
(2)在(1)的条件下，你能得到怎样的等量关系？(用等式表示)
(3)若 $a + b = 9$，$ab = 14$，$a ＞ b ＞ 0$，求 $a^2 + b^2$ 的值.
(1)根据图中的数据，用两种方法表示图中两个阴影图形的面积之和.(只列式，不化简)
(2)在(1)的条件下，你能得到怎样的等量关系？(用等式表示)
(3)若 $a + b = 9$，$ab = 14$，$a ＞ b ＞ 0$，求 $a^2 + b^2$ 的值.
答案
解:(1)方法一:
题图中两个阴影图形的面积分别为$a^2,b^2$,
∴两个阴影图形的面积之和为$a^2 + b^2$.
方法二:
题图中大正方形的面积为$(a + b)^2$,空白部分的面积为$ab + ab = 2ab$,
∴题图中两个阴影图形的面积之和为$(a + b)^2 - 2ab$.
(2)$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$.
(3)$\because a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab,a + b = 9,ab = 14$,
$\therefore a^2 + b^2 = 9^2 - 2 × 14 = 53.$
题图中两个阴影图形的面积分别为$a^2,b^2$,
∴两个阴影图形的面积之和为$a^2 + b^2$.
方法二:
题图中大正方形的面积为$(a + b)^2$,空白部分的面积为$ab + ab = 2ab$,
∴题图中两个阴影图形的面积之和为$(a + b)^2 - 2ab$.
(2)$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$.
(3)$\because a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab,a + b = 9,ab = 14$,
$\therefore a^2 + b^2 = 9^2 - 2 × 14 = 53.$
