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1. 根据两数和(差)的平方公式填空.
(1) $(x+1)^2 = (\quad)^2 + 2 × (\quad) × (\quad) + (\quad)^2 = \_\_\_\_\_\_;$
(2) $(-x+1)^2 = (\quad)^2 + 2 × (\quad) × (\quad) + (\quad)^2 = \_\_\_\_\_\_;$
(3) $(-2a - b)^2 = (\quad)^2 - 2 × (\quad) × (\quad) + (\quad)^2 = \_\_\_\_\_\_.$
(1) $(x+1)^2 = (\quad)^2 + 2 × (\quad) × (\quad) + (\quad)^2 = \_\_\_\_\_\_;$
(2) $(-x+1)^2 = (\quad)^2 + 2 × (\quad) × (\quad) + (\quad)^2 = \_\_\_\_\_\_;$
(3) $(-2a - b)^2 = (\quad)^2 - 2 × (\quad) × (\quad) + (\quad)^2 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
(1)$x$ $x$ $1$ $1$ $x^2 + 2x + 1$;(2) $-x$ $-x$ $1$ $1$ $x^2 - 2x + 1$;(3) $-2a$ $-2a$ $b$ $b$ $4a^2 + 4ab + b^2$
2. 教材P38 试一试变式|数形结合思想 如
，大正方形的边长为$a$，若沿大正方形相邻的两边各剪去一个宽为$b(a ＞ b)$的长方形，则剩下的正方形的边长为
，大正方形的边长为$a$，若沿大正方形相邻的两边各剪去一个宽为$b(a ＞ b)$的长方形，则剩下的正方形的边长为$a-b$
，此时该正方形的面积可表示为$(a-b)^2$
；由于剪去的两个长方形的面积分别是$ab$和$b(a - b)=ab - b^2$，此时剩下的正方形的面积可表示为$a^2 - 2ab + b^2$
（填合并同类项后的式子）。根据上面两种正方形面积的表示方法，可得等式$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
。答案
$a-b$ $(a-b)^2$ $a^2 - 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. 计算:$(x+2y)^2=$ (
A.$x^2 + 4xy + 4y^2$
B.$x^2 + 2xy + 4y^2$
C.$x^2 + 4xy + 2y^2$
D.$x^2 + 4y^2$
A
)A.$x^2 + 4xy + 4y^2$
B.$x^2 + 2xy + 4y^2$
C.$x^2 + 4xy + 2y^2$
D.$x^2 + 4y^2$
答案
A
4. ▶教材P40例5变式 下列各式计算正确的是（
A.$(x+3)^2 = x^2 +9$
B.$(-2a + b)^2 =4a^2 +4ab +b^2$
C.$(a -2b)^2 =a^2 -2ab +4b^2$
D.$(\dfrac{1}{2} -x)^2 =x^2 -x +\dfrac{1}{4}$
D
）A.$(x+3)^2 = x^2 +9$
B.$(-2a + b)^2 =4a^2 +4ab +b^2$
C.$(a -2b)^2 =a^2 -2ab +4b^2$
D.$(\dfrac{1}{2} -x)^2 =x^2 -x +\dfrac{1}{4}$
答案
D 选项A,$(x+3)^2 = x^2 +6x +9$;选项B,$(-2a + b)^2 =4a^2 -4ab +b^2$;选项C,$(a -2b)^2 =a^2 -4ab +4b^2$.
5. [2025 漳州龙文一中期中]若$(x + k)^2 = x^2 + 2kx + 4$,则k的值为
±2
.答案
±2 $\because (x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2 = x^2 + 2kx + 4, \therefore k^2 = 4, \therefore k = \pm 2.$
6.若$(a+b)^2=10,a^2+b^2=6$,则$ab$的值为
2
.答案
2 $\because (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 6 + 2ab = 10, \therefore 2ab = 4, \therefore ab = 2.$
7. [2026大庆肇源质检] 先化简,再求值:$(x + y)^2 + x(x - 2y)$.其中$x = 1,y = -2.$
答案
解:$(x + y)^2 + x(x - 2y) = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy = 2x^2 + y^2$.
当$x = 1,y = -2$时,原式$=2 × 1^2 + (-2)^2 = 2 + 4 = 6.$
当$x = 1,y = -2$时,原式$=2 × 1^2 + (-2)^2 = 2 + 4 = 6.$
8. 利用两数和(差)的平方公式计算：
(1)$102^2$；
(2)$999^2$.
(1)$102^2$；
(2)$999^2$.
答案
解:(1)$102^2 = (100 + 2)^2 = 100^2 + 2 × 100 × 2 + 2^2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.$
(2)$999^2 = (1 000 - 1)^2 = 1 000^2 - 2 × 1 000 × 1 + 1 = 1 000 000 - 2 000 + 1 = 998 001.$
(2)$999^2 = (1 000 - 1)^2 = 1 000^2 - 2 × 1 000 × 1 + 1 = 1 000 000 - 2 000 + 1 = 998 001.$
9. [2025保定期末]将一个边长为$(a + 1)\mathrm{m}$的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形广场的边长比原来多$a(a ＞ 0)\mathrm{m}$，则扩建后广场的面积增大了$\mathrm{\_\_\_\_\_\_}\mathrm{m}^2$
答案
$(3a^2 + 2a)$ 根据题意,得扩建后广场的面积增大了$(a + 1 + a)^2 - (a + 1)^2 = (2a + 1)^2 - (a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1 - (a^2 + 2a + 1) = 4a^2 + 4a + 1 - a^2 - 2a - 1 = (3a^2 + 2a)(\mathrm{m}^2).$
10. 如图,某社区有两块相连的长方形空地,其中一块的长为$(3a + 2b)\mathrm{m}$、宽为$(2a + b)\mathrm{m}$,另一块的长为$(a + b)\mathrm{m}$、宽为$(a - b)\mathrm{m}$.现将这两块空地进行改造,即在中间边长为$(a - b)\mathrm{m}$的正方形(阴影部分)中种花,其余部分种植草坪.
(1)求种植草坪的面积;
(2)若$a = 30,b = 10$,求种植草坪的面积.
(1)求种植草坪的面积;
(2)若$a = 30,b = 10$,求种植草坪的面积.
答案
解:(1)种植草坪的面积为$(3a + 2b)(2a + b) + (a + b)·(a - b) - (a - b)^2 = 6a^2 + 3ab + 4ab + 2b^2 + a^2 - b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = (6a^2 + 9ab)(\mathrm{m}^2).$
(2)当$a = 30,b = 10$时,
种植草坪的面积为$6a^2 + 9ab = 6 × 30^2 + 9 × 30 × 10 = 8 100(\mathrm{m}^2).$
(2)当$a = 30,b = 10$时,
种植草坪的面积为$6a^2 + 9ab = 6 × 30^2 + 9 × 30 × 10 = 8 100(\mathrm{m}^2).$
