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1. 求两数的差 已知$(x+y)^2=81$，$xy=8$，则$x-y$的值为
±7
。答案
±7 $\because (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 81 - 4 × 8 = 81 - 32 = 49, \therefore x - y = \pm 7.$
2. 求两数的平方的和 一个长方形的长为a、宽为b，面积为6，周长为12，则$a^2 + b^2 =$
24
。答案
24 根据题意,得$ab = 6,2(a + b) = 12, \therefore a + b = 6, \therefore a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 6^2 - 2 × 6 = 24.$
3. 求两数的积 已知$(a + b)^2 = 7$，$(a - b)^2 = 9$，求$a^2 + b^2$及$ab$的值。
答案
解:$\because (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 7,(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 9$,
$\therefore 2(a^2 + b^2) = 16,4ab = -2, \therefore a^2 + b^2 = 8,ab = -\dfrac{1}{2}.$
$\therefore 2(a^2 + b^2) = 16,4ab = -2, \therefore a^2 + b^2 = 8,ab = -\dfrac{1}{2}.$
4. 求两个互为倒数的数的平方的和 若$a+\frac{1}{a}=5$，求$a^2+\frac{1}{a^2}$的值。
答案
解:$\because a + \dfrac{1}{a} = 5, \therefore (a + \dfrac{1}{a})^2 = 5^2$,
$\therefore a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} = 25, \therefore a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 23.$
$\therefore a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} = 25, \therefore a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 23.$
5. 求多项式的值 若实数$m$满足$(m - 2025)^2 + (2026 - m)^2 = 2027$，求$(m - 2025)·(2026 - m)$的值。
答案
解:$\because (m - 2 025)^2 + (2 026 - m)^2 = 2 027$,
$\therefore 2(m - 2 025)(2 026 - m) = [(m - 2 025) + (2 026 - m)]^2 - [(m - 2 025)^2 + (2 026 - m)^2] = 1 - 2 027 = -2 026$,
$\therefore (m - 2 025)(2 026 - m) = -1 013.$
$\therefore 2(m - 2 025)(2 026 - m) = [(m - 2 025) + (2 026 - m)]^2 - [(m - 2 025)^2 + (2 026 - m)^2] = 1 - 2 027 = -2 026$,
$\therefore (m - 2 025)(2 026 - m) = -1 013.$
1. [2025 漯河模拟]若 $ k $ 为任意整数，则 $ (2k + 3)^2 - 4k^2 $ 的值总能 (
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
B
)A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
答案
B $(2k + 3)^2 - 4k^2 = 4k^2 + 12k + 9 - 4k^2 = 12k + 9 = 3(4k + 3). \because 3(4k + 3)$能被3整除,$\therefore (2k + 3)^2 - 4k^2$的值总能被3整除.
2. 已知一个长方形的长为$ a $ cm，宽为$ b $ cm，其中$ a ＞ b $，将原长方形的长和宽各增加3 cm，得到的新长方形的面积记为$ S_1 $；将原长方形的长和宽各减少2 cm，得到的新长方形的面积记为$ S_2 $。若$ a $，$ b $均为正整数，试说明：$ S_1 $与$ S_2 $的差是5的倍数。
答案
解:根据题意,得
$S_1 = (a + 3)(b + 3) = ab + 3a + 3b + 9$,
$S_2 = (a - 2)(b - 2) = ab - 2a - 2b + 4$,
$\therefore S_1 - S_2 = ab + 3a + 3b + 9 - (ab - 2a - 2b + 4) = 5a + 5b + 5 = 5(a + b + 1).$
$\because a,b$均为正整数,
$\therefore 5(a + b + 1)$是5的倍数,即$S_1$与$S_2$的差是5的倍数.
$S_1 = (a + 3)(b + 3) = ab + 3a + 3b + 9$,
$S_2 = (a - 2)(b - 2) = ab - 2a - 2b + 4$,
$\therefore S_1 - S_2 = ab + 3a + 3b + 9 - (ab - 2a - 2b + 4) = 5a + 5b + 5 = 5(a + b + 1).$
$\because a,b$均为正整数,
$\therefore 5(a + b + 1)$是5的倍数,即$S_1$与$S_2$的差是5的倍数.
3. 教材P44习题T6变式 任意三个连续偶数的平方和是4的倍数.
(1)$2^2 + 4^2 + 6^2$的结果是4的几倍?
(2)设三个连续偶数的中间一个为$2n$($n$是整数),写出它们的平方和,并说明是4的倍数.
(3)设三个连续奇数的中间一个为$2n + 1$($n$是整数),写出它们的平方和,它是12的倍数吗?若是,说明理由;若不是,写出被12除的余数是多少.
(1)$2^2 + 4^2 + 6^2$的结果是4的几倍?
(2)设三个连续偶数的中间一个为$2n$($n$是整数),写出它们的平方和,并说明是4的倍数.
(3)设三个连续奇数的中间一个为$2n + 1$($n$是整数),写出它们的平方和,它是12的倍数吗?若是,说明理由;若不是,写出被12除的余数是多少.
答案
解:(1)$\because 2^2 + 4^2 + 6^2 = 4 + 16 + 36 = 56,56 ÷ 4 = 14$,
$\therefore 2^2 + 4^2 + 6^2$的结果是4的14倍.
(2)这三个连续偶数分别为$2n - 2,2n,2n + 2$(其中$n$是整数),
则$(2n - 2)^2 + (2n)^2 + (2n + 2)^2 = 4n^2 - 8n + 4 + 4n^2 + 4n^2 + 8n + 4 = 12n^2 + 8 = 4(3n^2 + 2).$
$\because n$是整数,$\therefore 4(3n^2 + 2)$是4的倍数,
$\therefore$三个连续偶数的平方和是4的倍数.
(3)三个连续奇数的平方和不是12的倍数,它被12除的余数是11.理由如下:
这三个连续奇数分别为$2n - 1,2n + 1,2n + 3$(其中$n$是整数),
则$(2n - 1)^2 + (2n + 1)^2 + (2n + 3)^2$
$=4n^2 - 4n + 1 + 4n^2 + 4n + 1 + 4n^2 + 12n + 9$
$=12n^2 + 12n + 11 = 12(n^2 + n) + 11.$
$\because n$是整数,$\therefore 12(n^2 + n) + 11$不是12的倍数,
$\therefore$三个连续奇数的平方和不是12的倍数,被12除的余数是11.
$\therefore 2^2 + 4^2 + 6^2$的结果是4的14倍.
(2)这三个连续偶数分别为$2n - 2,2n,2n + 2$(其中$n$是整数),
则$(2n - 2)^2 + (2n)^2 + (2n + 2)^2 = 4n^2 - 8n + 4 + 4n^2 + 4n^2 + 8n + 4 = 12n^2 + 8 = 4(3n^2 + 2).$
$\because n$是整数,$\therefore 4(3n^2 + 2)$是4的倍数,
$\therefore$三个连续偶数的平方和是4的倍数.
(3)三个连续奇数的平方和不是12的倍数,它被12除的余数是11.理由如下:
这三个连续奇数分别为$2n - 1,2n + 1,2n + 3$(其中$n$是整数),
则$(2n - 1)^2 + (2n + 1)^2 + (2n + 3)^2$
$=4n^2 - 4n + 1 + 4n^2 + 4n + 1 + 4n^2 + 12n + 9$
$=12n^2 + 12n + 11 = 12(n^2 + n) + 11.$
$\because n$是整数,$\therefore 12(n^2 + n) + 11$不是12的倍数,
$\therefore$三个连续奇数的平方和不是12的倍数,被12除的余数是11.
