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11.如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=2√3，点C在OB上，且OC=AC.延长CB到D，使CD=CA.以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为
$3\sqrt{3}-π$
（结果保留π）。答案
11.$3\sqrt{3}-π$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可将其转化为平行四边形ACDE的面积减去“扇形AOB与△OAC的面积差”。解题思路如下：1.先利用等腰三角形性质、勾股定理求出AC的长度，同时求出点A到OB的距离（即平行四边形的高、△OAC的高）；2.分别计算平行四边形ACDE的面积、扇形AOB的面积、△OAC的面积；3.根据面积的和差关系代入计算即可得到阴影面积。
【解析】
过点A作AF⊥OB于点F。
1. 求线段长度：
在Rt△AOF中，∠AOB=30°，OA=2√3，
∴ AF = OA·sin30° = 2√3 × 1/2 = √3，
OF = OA·cos30° = 2√3 × √3/2 = 3。
设OC=AC=x，则CF=OF-OC=3-x，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC² = AF² + CF²，
即x² = (√3)² + (3-x)²，
解得x=2，故AC=OC=CD=2。
2. 计算各规则图形面积：
① △OAC的面积：$S_{△ OAC} = \frac{1}{2} × OC × AF = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \sqrt{3}$；
② 平行四边形ACDE的面积：CD为底，AF为高，$S_{□ ACDE} = CD × AF = 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$；
③ 扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB} = \frac{30°}{360°} × π × OA^2 = \frac{1}{12} × π × (2\sqrt{3})^2 = π$。
3. 计算阴影面积：
阴影部分面积 = $S_{□ ACDE} - (S_{扇形AOB} - S_{△ OAC})$
= $2\sqrt{3} - (π - \sqrt{3})$
= $3\sqrt{3} - π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算；平行四边形面积计算；等腰三角形性质
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的典型题，核心是通过割补法将不规则阴影面积转化为多个规则图形面积的和差，解题时要注意结合已知条件准确求解各规则图形的相关边长、角度，熟练运用对应面积公式计算即可。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察图形可将其转化为平行四边形ACDE的面积减去“扇形AOB与△OAC的面积差”。解题思路如下：1.先利用等腰三角形性质、勾股定理求出AC的长度，同时求出点A到OB的距离（即平行四边形的高、△OAC的高）；2.分别计算平行四边形ACDE的面积、扇形AOB的面积、△OAC的面积；3.根据面积的和差关系代入计算即可得到阴影面积。
【解析】
过点A作AF⊥OB于点F。
1. 求线段长度：
在Rt△AOF中，∠AOB=30°，OA=2√3，
∴ AF = OA·sin30° = 2√3 × 1/2 = √3，
OF = OA·cos30° = 2√3 × √3/2 = 3。
设OC=AC=x，则CF=OF-OC=3-x，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC² = AF² + CF²，
即x² = (√3)² + (3-x)²，
解得x=2，故AC=OC=CD=2。
2. 计算各规则图形面积：
① △OAC的面积：$S_{△ OAC} = \frac{1}{2} × OC × AF = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \sqrt{3}$；
② 平行四边形ACDE的面积：CD为底，AF为高，$S_{□ ACDE} = CD × AF = 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$；
③ 扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB} = \frac{30°}{360°} × π × OA^2 = \frac{1}{12} × π × (2\sqrt{3})^2 = π$。
3. 计算阴影面积：
阴影部分面积 = $S_{□ ACDE} - (S_{扇形AOB} - S_{△ OAC})$
= $2\sqrt{3} - (π - \sqrt{3})$
= $3\sqrt{3} - π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算；平行四边形面积计算；等腰三角形性质
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的典型题，核心是通过割补法将不规则阴影面积转化为多个规则图形面积的和差，解题时要注意结合已知条件准确求解各规则图形的相关边长、角度，熟练运用对应面积公式计算即可。
【难度系数】
0.6
12.如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O'处,得到扇形A'O'B'.若∠O=90°,OA=2,求阴影部分的面积.
答案
12.记$O'A'$与$\overset{\frown}{AB}$的交点为点C,连接OC.
由平移和扇形性质可得$OA=O'A'=OB=O'B'=2,∠ A'O'B'=∠ AOB=90°$.
$\because$点$O'$为$OB$的中点,$\therefore OO'=\frac{1}{2}OB=1$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中$OC=2OO',\therefore ∠ O'OC=60°$.
$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=\frac{90×π×2^2}{360}=π$,
$S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$,
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-(S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ OO'C})=π-(\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
由平移和扇形性质可得$OA=O'A'=OB=O'B'=2,∠ A'O'B'=∠ AOB=90°$.
$\because$点$O'$为$OB$的中点,$\therefore OO'=\frac{1}{2}OB=1$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中$OC=2OO',\therefore ∠ O'OC=60°$.
$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=\frac{90×π×2^2}{360}=π$,
$S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$,
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-(S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ OO'C})=π-(\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，我们可以利用平移的性质：平移前后图形的面积不变，即扇形$A'O'B'$的面积与扇形$AOB$的面积相等，因此可通过割补法将阴影面积转化为规则图形面积的和差来求解。首先连接$OC$，先确定相关线段长度和角度，再分别计算扇形$A'O'B'$、扇形$BOC$、三角形$OO'C$的面积，最后通过面积差求出阴影部分面积即可。
【解析】
记$O'A'$与$\overset{\frown}{AB}$的交点为点$C$，连接$OC$。
由平移和扇形的性质可得：$OA=O'A'=OB=O'B'=2$，$∠ A'O'B'=∠ AOB=90°$。
$\because$点$O'$为$OB$的中点，$\therefore OO'=\frac{1}{2}OB=1$。
在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中，斜边$OC=2$，$OO'=1$，即$OC=2OO'$，$\therefore ∠ O'OC=60°$。
分别计算各规则图形面积：
$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=\frac{90×π×2^2}{360}=π$，
$S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$，
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}× OO'× O'C=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2^2-1^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
阴影部分面积为扇形$A'O'B'$的面积减去其内部空白部分的面积，内部空白部分面积为$S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ OO'C}$，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-(S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ OO'C})=π-(\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1.平移的性质
2.扇形面积计算
3.直角三角形性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题核心是利用平移的性质和割补法，将不规则阴影面积转化为扇形、三角形等规则图形的面积和差，需要熟练掌握扇形面积公式以及直角三角形中边角、边长的相关计算。
【难度系数】
0.6
阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，我们可以利用平移的性质：平移前后图形的面积不变，即扇形$A'O'B'$的面积与扇形$AOB$的面积相等，因此可通过割补法将阴影面积转化为规则图形面积的和差来求解。首先连接$OC$，先确定相关线段长度和角度，再分别计算扇形$A'O'B'$、扇形$BOC$、三角形$OO'C$的面积，最后通过面积差求出阴影部分面积即可。
【解析】
记$O'A'$与$\overset{\frown}{AB}$的交点为点$C$，连接$OC$。
由平移和扇形的性质可得：$OA=O'A'=OB=O'B'=2$，$∠ A'O'B'=∠ AOB=90°$。
$\because$点$O'$为$OB$的中点，$\therefore OO'=\frac{1}{2}OB=1$。
在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中，斜边$OC=2$，$OO'=1$，即$OC=2OO'$，$\therefore ∠ O'OC=60°$。
分别计算各规则图形面积：
$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=\frac{90×π×2^2}{360}=π$，
$S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$，
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}× OO'× O'C=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2^2-1^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
阴影部分面积为扇形$A'O'B'$的面积减去其内部空白部分的面积，内部空白部分面积为$S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ OO'C}$，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-(S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ OO'C})=π-(\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1.平移的性质
2.扇形面积计算
3.直角三角形性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题核心是利用平移的性质和割补法，将不规则阴影面积转化为扇形、三角形等规则图形的面积和差，需要熟练掌握扇形面积公式以及直角三角形中边角、边长的相关计算。
【难度系数】
0.6
13.如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的一条弦，且$CD⊥ AB$于点E.
(1)求证：$∠ BCO=∠ D$.
(2)若$CD=4\sqrt{3}$，$AE=2$，求阴影部分的面积.
(1)求证：$∠ BCO=∠ D$.
(2)若$CD=4\sqrt{3}$，$AE=2$，求阴影部分的面积.
答案
13.(1)证明:$\because OC=OB,\therefore ∠ BCO=∠ B$,
$\because ∠ B=∠ D,\therefore ∠ BCO=∠ D$.
(2)$\because AB$是$\odot O$的直径,$CD⊥ AB$于点$E$,$\therefore CE=\frac{1}{2}CD$,
$\because CD=4\sqrt{3},\therefore CE=2\sqrt{3}$,
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中$OC^2=CE^2+OE^2$,设$\odot O$的半径为$r$,
则$r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$,解得$r=4$,$\therefore OC=OA=4$,$\therefore OE=2$,
$\because \frac{CE}{OE}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$,$\therefore ∠ AOC=60°$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ COE}=\frac{60π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{8}{3}π-2\sqrt{3}$.
$\because ∠ B=∠ D,\therefore ∠ BCO=∠ D$.
(2)$\because AB$是$\odot O$的直径,$CD⊥ AB$于点$E$,$\therefore CE=\frac{1}{2}CD$,
$\because CD=4\sqrt{3},\therefore CE=2\sqrt{3}$,
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中$OC^2=CE^2+OE^2$,设$\odot O$的半径为$r$,
则$r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$,解得$r=4$,$\therefore OC=OA=4$,$\therefore OE=2$,
$\because \frac{CE}{OE}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$,$\therefore ∠ AOC=60°$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ COE}=\frac{60π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{8}{3}π-2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1)要证明∠BCO=∠D，首先利用圆半径相等可得△OCB为等腰三角形，推出∠BCO=∠B；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠D，通过等量代换即可完成证明。
(2)阴影部分为不规则图形，可通过割补法转化为扇形AOC的面积减去△COE的面积求解。首先根据垂径定理求出CE的长度，再设圆的半径为r，用r表示OE的长度，在Rt△OCE中利用勾股定理列方程求出半径，进而求出圆心角∠AOC的度数，最后分别代入扇形和三角形面积公式计算，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1)证明：$\because OC=OB$（圆的半径相等），$\therefore ∠ BCO=∠ B$（等腰三角形两底角相等），
$\because ∠ B$和$∠ D$均为弧$AC$所对的圆周角，$\therefore ∠ B=∠ D$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore ∠ BCO=∠ D$。
(2)解：$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$于点$E$，
$\therefore CE=\frac{1}{2}CD$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），
$\because CD=4\sqrt{3}$，$\therefore CE=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OA=r$，$OE=OA-AE=r-2$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得$OC^2=CE^2+OE^2$，
代入得：$r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$，
化简计算：$r^2=12+r^2-4r+4$，解得$r=4$，
$\therefore OC=4$，$OE=4-2=2$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$\frac{CE}{OE}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$\therefore ∠ AOC=60°$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ COE}=\frac{60π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{8}{3}π-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)证明成立，$\boldsymbol{∠ BCO=∠ D}$；
(2)阴影部分的面积为$\boldsymbol{\frac{8}{3}π - 2\sqrt{3}}$。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，既考查了圆的基本性质、等腰三角形性质、勾股定理等核心知识点，也考查了用割补法求解不规则图形面积的常用方法，解题的关键是灵活运用方程思想求出圆的半径，熟练掌握扇形面积的计算公式。
【难度系数】
0.65
(1)要证明∠BCO=∠D，首先利用圆半径相等可得△OCB为等腰三角形，推出∠BCO=∠B；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠D，通过等量代换即可完成证明。
(2)阴影部分为不规则图形，可通过割补法转化为扇形AOC的面积减去△COE的面积求解。首先根据垂径定理求出CE的长度，再设圆的半径为r，用r表示OE的长度，在Rt△OCE中利用勾股定理列方程求出半径，进而求出圆心角∠AOC的度数，最后分别代入扇形和三角形面积公式计算，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1)证明：$\because OC=OB$（圆的半径相等），$\therefore ∠ BCO=∠ B$（等腰三角形两底角相等），
$\because ∠ B$和$∠ D$均为弧$AC$所对的圆周角，$\therefore ∠ B=∠ D$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore ∠ BCO=∠ D$。
(2)解：$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$于点$E$，
$\therefore CE=\frac{1}{2}CD$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），
$\because CD=4\sqrt{3}$，$\therefore CE=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OA=r$，$OE=OA-AE=r-2$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得$OC^2=CE^2+OE^2$，
代入得：$r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$，
化简计算：$r^2=12+r^2-4r+4$，解得$r=4$，
$\therefore OC=4$，$OE=4-2=2$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$\frac{CE}{OE}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$\therefore ∠ AOC=60°$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ COE}=\frac{60π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{8}{3}π-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)证明成立，$\boldsymbol{∠ BCO=∠ D}$；
(2)阴影部分的面积为$\boldsymbol{\frac{8}{3}π - 2\sqrt{3}}$。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，既考查了圆的基本性质、等腰三角形性质、勾股定理等核心知识点，也考查了用割补法求解不规则图形面积的常用方法，解题的关键是灵活运用方程思想求出圆的半径，熟练掌握扇形面积的计算公式。
【难度系数】
0.65
