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11.如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=2√3，点C在OB上，且OC=AC.延长CB到D，使CD=CA.以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为
$3\sqrt{3}-π$
（结果保留π）。答案
11.$3\sqrt{3}-π$
解析
【分析】
本题求解不规则阴影部分的面积，可采用割补法转化为规则图形面积的和差计算。首先根据等腰三角形性质推导△OAC的内角，再通过作高用勾股定理求出AC的长度；接着分别计算平行四边形ACDE的面积、△OAC的面积和扇形AOB的面积；最后根据图形面积的和差关系求出阴影面积。
【解析】
过点A作AH⊥OB于点H。
1. 求线段AC的长度：
∵ OC=AC，∠AOB=30°，
∴ ∠OAC=∠AOB=30°，
∴ ∠ACO=180°-30°-30°=120°，∠ACD=60°。
在Rt△AOH中，OA=2√3，
∴ AH=OA·sin30°=2√3×1/2=√3，
OH=OA·cos30°=2√3×(√3/2)=3。
设AC=OC=x，则CH=OH-OC=3-x，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：
$AH^2 + CH^2 = AC^2$，即$(\sqrt{3})^2 + (3-x)^2 = x^2$，
解得$x=2$，即$AC=OC=CD=2$。
2. 计算各规则图形面积：
平行四边形ACDE的面积：$S_{\mathrm{平行四边形}ACDE}=CD × AH=2 × \sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
△OAC的面积：$S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × OC × AH=\frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3}=\sqrt{3}$，
扇形AOB的面积：$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30π × (2\sqrt{3})^2}{360}=π$。
3. 计算阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{平行四边形}ACDE} + S_{△ OAC} - S_{\mathrm{扇形}AOB}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}-π=3\sqrt{3}-π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算，平行四边形性质，勾股定理
【点评】
本题属于不规则面积计算的常考题型，解题关键是合理运用割补法，将未知的阴影面积转化为熟悉的平行四边形、三角形、扇形的面积和差，求解过程中需要熟练掌握等腰三角形性质、解直角三角形和各类面积公式。
【难度系数】
0.6
本题求解不规则阴影部分的面积，可采用割补法转化为规则图形面积的和差计算。首先根据等腰三角形性质推导△OAC的内角，再通过作高用勾股定理求出AC的长度；接着分别计算平行四边形ACDE的面积、△OAC的面积和扇形AOB的面积；最后根据图形面积的和差关系求出阴影面积。
【解析】
过点A作AH⊥OB于点H。
1. 求线段AC的长度：
∵ OC=AC，∠AOB=30°，
∴ ∠OAC=∠AOB=30°，
∴ ∠ACO=180°-30°-30°=120°，∠ACD=60°。
在Rt△AOH中，OA=2√3，
∴ AH=OA·sin30°=2√3×1/2=√3，
OH=OA·cos30°=2√3×(√3/2)=3。
设AC=OC=x，则CH=OH-OC=3-x，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：
$AH^2 + CH^2 = AC^2$，即$(\sqrt{3})^2 + (3-x)^2 = x^2$，
解得$x=2$，即$AC=OC=CD=2$。
2. 计算各规则图形面积：
平行四边形ACDE的面积：$S_{\mathrm{平行四边形}ACDE}=CD × AH=2 × \sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
△OAC的面积：$S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × OC × AH=\frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3}=\sqrt{3}$，
扇形AOB的面积：$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30π × (2\sqrt{3})^2}{360}=π$。
3. 计算阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{平行四边形}ACDE} + S_{△ OAC} - S_{\mathrm{扇形}AOB}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}-π=3\sqrt{3}-π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算，平行四边形性质，勾股定理
【点评】
本题属于不规则面积计算的常考题型，解题关键是合理运用割补法，将未知的阴影面积转化为熟悉的平行四边形、三角形、扇形的面积和差，求解过程中需要熟练掌握等腰三角形性质、解直角三角形和各类面积公式。
【难度系数】
0.6
12.如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O'处,得到扇形A'O'B'.若∠O=90°,OA=2,求阴影部分的面积.
答案
12.记$O'A'$与$\overset{\frown}{AB}$的交点为点C,连接OC.
由平移和扇形性质可得$OA=O'A'=OB=O'B'=2,∠ A'O'B'=∠ AOB=90°$.
$\because$点$O'$为$OB$的中点,$\therefore OO'=\frac{1}{2}OB=1$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中$OC=2OO',\therefore ∠ O'OC=60°$.
$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=\frac{90×π×2^2}{360}=π$,
$S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$,
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-(S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ OO'C})=π-(\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
由平移和扇形性质可得$OA=O'A'=OB=O'B'=2,∠ A'O'B'=∠ AOB=90°$.
$\because$点$O'$为$OB$的中点,$\therefore OO'=\frac{1}{2}OB=1$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中$OC=2OO',\therefore ∠ O'OC=60°$.
$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=\frac{90×π×2^2}{360}=π$,
$S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$,
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-(S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ OO'C})=π-(\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
本题是平移背景下的不规则阴影面积计算问题，解题思路如下：1. 首先利用平移的性质：平移前后图形的形状、大小完全不变，可知扇形$A'O'B'$与原扇形$AOB$面积相等；2. 阴影面积可转化为扇形$A'O'B'$的面积减去其左下方空白区域的面积，该空白区域为扇形$BOC$减去直角三角形$OO'C$的面积，因此先构造辅助线连接$OC$；3. 结合已知条件，$O'$是$OB$中点可得$OO'=1$，$OC$为原扇形半径等于2，在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中可推出$∠ O'OC=60°$，再分别计算各规则图形的面积，最后通过面积和差求出阴影面积。
【解析】
记$O'A'$与$\overset{\frown}{AB}$的交点为点$C$，连接$OC$。
由平移和扇形的性质可得：$OA=O'A'=OB=O'B'=2$，$∠ A'O'B'=∠ AOB=90°$。
$\because$点$O'$为$OB$的中点，$\therefore OO'=\frac{1}{2}OB=1$。
在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中，$OC=2=2OO'$，$\therefore ∠ O'OC=60°$。
分别计算各规则图形面积：
$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=\frac{90×π×2^2}{360}=π$，
$S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$，
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}× OO'× O'C=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2^2-1^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-(S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ OO'C})=π-(\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\boxed{\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$
【知识点】
平移的性质，扇形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题核心是利用平移前后图形面积不变的性质，将不规则阴影的面积转化为多个规则图形面积的和差，通过合理构造辅助线理清各边长、角度的关系即可求解，是几何面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题是平移背景下的不规则阴影面积计算问题，解题思路如下：1. 首先利用平移的性质：平移前后图形的形状、大小完全不变，可知扇形$A'O'B'$与原扇形$AOB$面积相等；2. 阴影面积可转化为扇形$A'O'B'$的面积减去其左下方空白区域的面积，该空白区域为扇形$BOC$减去直角三角形$OO'C$的面积，因此先构造辅助线连接$OC$；3. 结合已知条件，$O'$是$OB$中点可得$OO'=1$，$OC$为原扇形半径等于2，在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中可推出$∠ O'OC=60°$，再分别计算各规则图形的面积，最后通过面积和差求出阴影面积。
【解析】
记$O'A'$与$\overset{\frown}{AB}$的交点为点$C$，连接$OC$。
由平移和扇形的性质可得：$OA=O'A'=OB=O'B'=2$，$∠ A'O'B'=∠ AOB=90°$。
$\because$点$O'$为$OB$的中点，$\therefore OO'=\frac{1}{2}OB=1$。
在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中，$OC=2=2OO'$，$\therefore ∠ O'OC=60°$。
分别计算各规则图形面积：
$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=\frac{90×π×2^2}{360}=π$，
$S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$，
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}× OO'× O'C=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2^2-1^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-(S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ OO'C})=π-(\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\boxed{\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$
【知识点】
平移的性质，扇形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题核心是利用平移前后图形面积不变的性质，将不规则阴影的面积转化为多个规则图形面积的和差，通过合理构造辅助线理清各边长、角度的关系即可求解，是几何面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
13.如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的一条弦，且$CD⊥ AB$于点E.
(1)求证：$∠ BCO=∠ D$.
(2)若$CD=4\sqrt{3}$，$AE=2$，求阴影部分的面积.
(1)求证：$∠ BCO=∠ D$.
(2)若$CD=4\sqrt{3}$，$AE=2$，求阴影部分的面积.
答案
13.(1)证明:$\because OC=OB,\therefore ∠ BCO=∠ B$,
$\because ∠ B=∠ D,\therefore ∠ BCO=∠ D$.
(2)$\because AB$是$\odot O$的直径,$CD⊥ AB$于点$E$,$\therefore CE=\frac{1}{2}CD$,
$\because CD=4\sqrt{3},\therefore CE=2\sqrt{3}$,
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中$OC^2=CE^2+OE^2$,设$\odot O$的半径为$r$,
则$r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$,解得$r=4$,$\therefore OC=OA=4$,$\therefore OE=2$,
$\because \frac{CE}{OE}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$,$\therefore ∠ AOC=60°$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ COE}=\frac{60π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{8}{3}π-2\sqrt{3}$.
$\because ∠ B=∠ D,\therefore ∠ BCO=∠ D$.
(2)$\because AB$是$\odot O$的直径,$CD⊥ AB$于点$E$,$\therefore CE=\frac{1}{2}CD$,
$\because CD=4\sqrt{3},\therefore CE=2\sqrt{3}$,
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中$OC^2=CE^2+OE^2$,设$\odot O$的半径为$r$,
则$r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$,解得$r=4$,$\therefore OC=OA=4$,$\therefore OE=2$,
$\because \frac{CE}{OE}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$,$\therefore ∠ AOC=60°$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ COE}=\frac{60π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{8}{3}π-2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠BCO=∠D，首先利用同圆半径相等的性质，可得OC=OB，由等边对等角推出∠BCO=∠B；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，因此∠B=∠D，通过等量代换即可完成证明。
(2) 阴影部分为不规则图形，可通过“割补法”转化为扇形AOC的面积减去△COE的面积求解：首先根据垂径定理求出CE的长度，设圆的半径为r，在Rt△OCE中利用勾股定理列方程求出半径，再根据边长关系求出圆心角∠AOC的度数，最后分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ OC、OB都是⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠BCO=∠B（等边对等角）。
∵ ∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠B=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴ ∠BCO=∠D。
(2) 解：
∵ AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴ CE=$\frac{1}{2}$CD（垂径定理）。
已知CD=$4\sqrt{3}$，代入得CE=$2\sqrt{3}$。
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA-AE=r-2。
在Rt△OCE中，由勾股定理得$OC^2=CE^2+OE^2$，代入得：
$r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$
展开化简得$r^2=12+r^2-4r+4$，解得$r=4$。
∴ OC=4，OE=4-2=2，
∵ $\tan∠AOC=\frac{CE}{OE}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴ ∠AOC=60°。
分别计算两部分面积：
$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8}{3}π$，
$S_{△ COE}=\frac{1}{2}× OE× CE=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ COE}=\frac{8}{3}π-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立，$∠ BCO=∠ D$；
(2) 阴影部分的面积为$\boxed{\frac{8}{3}π - 2\sqrt{3}}$。
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题是圆的常规综合题，第一问侧重考察圆的基础性质，推导难度较低；第二问结合了垂径定理、勾股定理、扇形面积计算等知识点，通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，是圆类计算的典型考法，熟练掌握相关性质和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠BCO=∠D，首先利用同圆半径相等的性质，可得OC=OB，由等边对等角推出∠BCO=∠B；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，因此∠B=∠D，通过等量代换即可完成证明。
(2) 阴影部分为不规则图形，可通过“割补法”转化为扇形AOC的面积减去△COE的面积求解：首先根据垂径定理求出CE的长度，设圆的半径为r，在Rt△OCE中利用勾股定理列方程求出半径，再根据边长关系求出圆心角∠AOC的度数，最后分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ OC、OB都是⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠BCO=∠B（等边对等角）。
∵ ∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠B=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴ ∠BCO=∠D。
(2) 解：
∵ AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴ CE=$\frac{1}{2}$CD（垂径定理）。
已知CD=$4\sqrt{3}$，代入得CE=$2\sqrt{3}$。
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA-AE=r-2。
在Rt△OCE中，由勾股定理得$OC^2=CE^2+OE^2$，代入得：
$r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$
展开化简得$r^2=12+r^2-4r+4$，解得$r=4$。
∴ OC=4，OE=4-2=2，
∵ $\tan∠AOC=\frac{CE}{OE}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴ ∠AOC=60°。
分别计算两部分面积：
$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8}{3}π$，
$S_{△ COE}=\frac{1}{2}× OE× CE=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ COE}=\frac{8}{3}π-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立，$∠ BCO=∠ D$；
(2) 阴影部分的面积为$\boxed{\frac{8}{3}π - 2\sqrt{3}}$。
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题是圆的常规综合题，第一问侧重考察圆的基础性质，推导难度较低；第二问结合了垂径定理、勾股定理、扇形面积计算等知识点，通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，是圆类计算的典型考法，熟练掌握相关性质和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
