1.如图，点A，B，C均在$\odot O$上，若$∠ AOB=60°$，则$∠ ACB$的度数是。

$30°$

【分析】
解题时首先观察图形，明确∠AOB是圆心O处对应弧AB的圆心角，∠ACB是圆周上的点C处、同样对应弧AB的圆周角，回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需用已知的∠AOB的度数除以2即可得到∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB和∠ACB都对应弧AB，其中∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ACB是弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=60°$，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，直接考查圆周角定理的应用，解题关键是准确判断两个角对应同一段弧，区分清楚圆心角和圆周角，是圆的有关性质部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.9

2.如图,在$\odot O$中,$OA⊥ BC$,$∠ ADC=29°$,则$∠ AOB$的度数是.

$58°$

【分析】
解题时先结合已知条件OA⊥BC，联想垂径定理，可得到OA平分弦BC所对的弧，即弧AB=弧AC；再观察∠ADC是弧AC所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理，等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可代入数值计算出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$OA⊥BC$，
∴由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∵$∠ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴$∠AOB=2∠ADC$，
又
∵$∠ADC=29°$，
∴$∠AOB=2×29°=58°$。
【答案】
$58°$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，通过垂径定理得到等弧是解题的突破口，整体计算量小，掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3.如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ CAB=40°$，则$∠ ADC$的度数是.

$50°$

【分析】
解题时首先回忆圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，因此先连接BC构造直角三角形。先在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数，再根据“同弧所对的圆周角相等”，即可得到∠ADC与∠ABC相等，从而求出∠ADC的度数。
【解析】
解：连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ACB中，∠CAB=40°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°，
又
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC=50°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
$50°$
【知识点】
直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，核心考查圆周角定理及其推论的应用，解题的关键是熟练掌握圆中常见的角度转化规律，通过构造直径对应的直角三角形快速完成角度推导。
【难度系数】
0.8

4.如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D是$\odot O$上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ D$的度数为________.

$45°$

【分析】
解题时可从已知条件逐步推导：首先AB是圆的直径，直径将圆分为两个度数为180°的半圆，且直径所对的圆周角为直角；其次已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，说明两段弧度数相等，各占半圆的一半；最后所求的∠D是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，结合圆周角定理即可求出∠D的度数，也可通过构造等腰直角三角形，利用同弧所对圆周角相等求解。
【解析】
方法1：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数$=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∵$∠ D$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴$∠ D=\frac{1}{2}×90°=45°$。
方法2：
连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$AC=BC$（等弧对等弦），即$△ ABC$为等腰直角三角形，
∴$∠ ABC=45°$，
∵$∠ D$和$∠ ABC$都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
∴$∠ D=∠ ABC=45°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
$45°$
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，等弧的性质
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题核心是结合直径、等弧的性质推导所求角对应的弧的度数或者相等的角，熟练掌握圆的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.如图，AB为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$∠ A=53°$，则$∠ B$的度数是。

$37°$

【分析】
解题时先观察已知条件：AB是$\odot O$的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，因此连接BC构造直角三角形；已知$∠ CAB=53°$，可先在直角三角形中求出$∠ ABC$的度数；再结合$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可知要求的$∠ B$（即$∠ ABD$）与$∠ ABC$相等，代入数值即可得到结果。
【解析】
连接$BC$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ CAB=53°$，
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-53°=37°$，
又$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ABC$（同圆中，相等的弧所对的圆周角相等），
$\therefore ∠ ABD=37°$，即$∠ B$的度数为$37°$。
【答案】
$37°$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；等弧对等圆周角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题的关键是正确构造辅助线，将圆的性质与直角三角形的角度计算结合起来，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

6.如图，AB是$\odot O$的弦，点C是$\odot O$上的点，且$∠ ACB=60°$，$OD⊥ AB$于点E，交$\odot O$于点D。若$\odot O$的半径为6，则弦AB的长为。

$6\sqrt{3}$

【分析】
解题思路如下：①首先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，由已知的圆周角∠ACB的度数求出对应的圆心角∠AOB的度数；②再结合OD⊥AB的条件，利用垂径定理可得AB被E点平分，且OD平分∠AOB，得到特殊角∠AOE=60°；③最后在Rt△AOE中利用三角函数求出AE的长度，乘以2即可得到弦AB的长。
【解析】
连接OB，
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ AOB=2∠ ACB=2×60°=120°$，
∵$OD⊥ AB$，且OD是$\odot O$的半径，
∴根据垂径定理，$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，且$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
在Rt△AOE中，$OA=6$，$∠ AOE=60°$，
∴$AE=OA·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
∴$AB=2AE=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练运用圆周角定理完成圆周角和圆心角的转化，再结合垂径定理构造直角三角形求解弦长，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7

7.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AC为$\odot O$的直径,若DB平分$∠ ADC$,$AB=\sqrt{2}$,$AD=1$,求$∠ ADB$的度数及线段CD的长.

$\because DB$ 平分 $∠ ADC,\therefore ∠ ADB=∠ BDC,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC},\therefore AB=BC$,
$\because AC$ 为直径,$\therefore ∠ ABC=90°=∠ ADC$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形,得 $AC=\sqrt{2}AB=2,∠ ACB=45°$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=45°$.
$\because AD=1,\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{3}$.

【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 先利用角平分线的性质得到相等的圆周角，结合圆周角定理可得对应弧相等，进一步推出弦AB=BC；2. 由AC是直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得到△ABC和△ADC都是直角三角形；3. 先判定△ABC为等腰直角三角形，求出AC的长度，再根据“同弧所对的圆周角相等”得到∠ADB的度数，最后在Rt△ADC中用勾股定理计算CD的长度即可。
【解析】
解：$\because DB$ 平分 $∠ ADC$，
$\therefore ∠ ADB=∠ BDC$，
根据相等的圆周角所对的弧相等，可得 $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AB=BC$。
$\because AC$ 为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABC=90°=∠ ADC$（直径所对的圆周角是直角），
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，$∠ ACB=45°$。
$\because ∠ADB$和$∠ACB$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=45°$。
在$Rt△ADC$中，$AD=1$，$AC=2$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
$∠ADB=45°$，$CD=\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，弧弦角关系
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是熟练运用圆周角相关性质得到边、角的等量关系，再结合直角三角形的性质和勾股定理计算，是圆的有关性质章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.6