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6.关于$x$的一元二次方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$的常数项为0，则$k$的值为（
A.－2
B.2
C.2或－2
D.4或－2
A
）.A.－2
B.2
C.2或－2
D.4或－2
答案
6.A
解析
【分析】
要解这道题，首先明确一元二次方程的核心限制条件：二次项系数不能为0（否则方程就不是一元二次方程），再结合题目给出的“常数项为0”的条件分步求解。先根据常数项为0列方程求出k的所有可能值，再用二次项系数不为0的条件排除不符合要求的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $k-2 ≠ 0$，解得 $k ≠ 2$
又
∵ 方程的常数项为0
∴ $k^2 - 4 = 0$
解该方程得：$k^2=4$，即$k=2$或$k=-2$
结合$k≠2$的限制，最终得$k=-2$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是易错题，很多同学容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选C选项。求解此类题目时，要先满足方程类型的前提要求，再结合其他条件计算，避免遗漏限制条件失分。
【难度系数】
0.6
要解这道题，首先明确一元二次方程的核心限制条件：二次项系数不能为0（否则方程就不是一元二次方程），再结合题目给出的“常数项为0”的条件分步求解。先根据常数项为0列方程求出k的所有可能值，再用二次项系数不为0的条件排除不符合要求的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $k-2 ≠ 0$，解得 $k ≠ 2$
又
∵ 方程的常数项为0
∴ $k^2 - 4 = 0$
解该方程得：$k^2=4$，即$k=2$或$k=-2$
结合$k≠2$的限制，最终得$k=-2$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是易错题，很多同学容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选C选项。求解此类题目时，要先满足方程类型的前提要求，再结合其他条件计算，避免遗漏限制条件失分。
【难度系数】
0.6
7.关于x的一元二次方程$2x^2 - 3x - a = 0$的一个根为1，则$(a,3)$在第
二
象限。答案
7.二
解析
【分析】
解题首先利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=1是方程的根，将x=1代入原方程即可求出a的值；再根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点(a,3)所在的象限即可。
【解析】
1. 把$x=1$代入一元二次方程$2x^2 - 3x - a = 0$，可得：
$\begin{aligned}2×1^2 - 3×1 - a &= 0 \\2 - 3 - a &= 0 \\-1 - a &= 0\end{aligned}$
解得$a=-1$。
2. 点的坐标为$(-1,3)$，其横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征，因此该点在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
一元二次方程的根的定义；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练运用一元二次方程根的定义代入求参数，同时熟记各象限内点的坐标符号特点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题首先利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=1是方程的根，将x=1代入原方程即可求出a的值；再根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点(a,3)所在的象限即可。
【解析】
1. 把$x=1$代入一元二次方程$2x^2 - 3x - a = 0$，可得：
$\begin{aligned}2×1^2 - 3×1 - a &= 0 \\2 - 3 - a &= 0 \\-1 - a &= 0\end{aligned}$
解得$a=-1$。
2. 点的坐标为$(-1,3)$，其横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征，因此该点在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
一元二次方程的根的定义；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练运用一元二次方程根的定义代入求参数，同时熟记各象限内点的坐标符号特点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8.将方程$x(x-1)=-3$化成$ax^2+bx+c=0(a＞0)$的形式，则$a-b-c=$
-1
。答案
8.-1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需将给定方程通过去括号、移项转化为符合要求的一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a＞0)$，确定$a$、$b$、$c$的值时要注意带上各项前面的正负号，最后将三个系数代入$a-b-c$计算即可得到结果。
【解析】
1. 对原方程去括号：
将$x(x-1)=-3$展开，得$x^2 - x = -3$
2. 移项整理为一般形式：
把等号右侧的常数项移到左侧，使右侧为0，得$x^2 - x + 3 = 0$，满足$a＞0$的要求。
3. 确定各项系数：
对照$ax^2+bx+c=0$的形式，可得$a=1$，$b=-1$，$c=3$
4. 代入计算：
$a-b-c = 1 - (-1) - 3 = 1+1-3 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，等式的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程一般形式的化简，解题的易错点是移项时忽略符号变化、确定系数时漏带项前面的正负号，掌握基本的整式化简规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需将给定方程通过去括号、移项转化为符合要求的一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a＞0)$，确定$a$、$b$、$c$的值时要注意带上各项前面的正负号，最后将三个系数代入$a-b-c$计算即可得到结果。
【解析】
1. 对原方程去括号：
将$x(x-1)=-3$展开，得$x^2 - x = -3$
2. 移项整理为一般形式：
把等号右侧的常数项移到左侧，使右侧为0，得$x^2 - x + 3 = 0$，满足$a＞0$的要求。
3. 确定各项系数：
对照$ax^2+bx+c=0$的形式，可得$a=1$，$b=-1$，$c=3$
4. 代入计算：
$a-b-c = 1 - (-1) - 3 = 1+1-3 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，等式的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程一般形式的化简，解题的易错点是移项时忽略符号变化、确定系数时漏带项前面的正负号，掌握基本的整式化简规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
9.已知关于$x$的方程$(m+1)x^{m^2+1}+(m-3)x-4=0$.
(1)当$m$为何值时,它是一元一次方程?
(2)当$m$为何值时,它是一元二次方程,并判断$-1,0,1,2$中哪些数是这个一元二次方程的根.
(1)当$m$为何值时,它是一元一次方程?
(2)当$m$为何值时,它是一元二次方程,并判断$-1,0,1,2$中哪些数是这个一元二次方程的根.
答案
9.(1)当 $ m=-1 $ 或 0 时，它是一元一次方程。
(2)当 $ m=1 $ 时，它是一元二次方程；$-1,2$ 是它的根。
(2)当 $ m=1 $ 时，它是一元二次方程；$-1,2$ 是它的根。
解析
【分析】
本题考查一元一次方程、一元二次方程的定义及方程根的验证方法。解题思路如下：
(1) 一元一次方程的核心是只含1个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0。本题需分两种情况讨论：一是二次项系数为0，剩余项构成一次方程；二是未知数最高次数为1，合并后一次项系数不为0，分别列方程求解即可。
(2) 一元二次方程需满足：未知数最高次数为2、二次项系数不为0，据此列方程和不等式求出m的值，再将方程化简，把给定的4个数分别代入方程，判断左右两边是否相等，即可确定哪些是根。
【解析】
(1) 若方程为一元一次方程，分两种情况讨论：
① 当二次项系数为0时，即$m+1=0$，解得$m=-1$。
代入原方程得：$-4x-4=0$，是一元一次方程，符合要求。
② 当未知数最高次数为1时，即$m^2+1=1$，解得$m=0$。
代入原方程得：$x-3x-4=0$，即$-2x-4=0$，是一元一次方程，符合要求。
综上，$m=-1$或$m=0$时，方程是一元一次方程。
(2) 若方程为一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2+1=2 \\ m+1≠0\end{cases}$
解$m^2+1=2$得$m=\pm1$，结合$m+1≠0$即$m≠-1$，得$m=1$。
将$m=1$代入原方程，得$2x^2-2x-4=0$，化简为$x^2-x-2=0$。
分别代入数值验证：
当$x=-1$时，左边$=(-1)^2-(-1)-2=0=$右边，是根；
当$x=0$时，左边$=0-0-2=-2≠$右边，不是根；
当$x=1$时，左边$=1-1-2=-2≠$右边，不是根；
当$x=2$时，左边$=2^2-2-2=0=$右边，是根。
综上，$m=1$时方程是一元二次方程，$-1,2$是它的根。
【答案】
(1) $m=-1$或$0$；(2) $m=1$，$-1,2$是这个一元二次方程的根。
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义；方程的根的判断
【点评】
本题是整式方程定义的基础应用题型，解题关键是根据定义分类讨论参数的取值，注意不要忽略高次项系数不为0的隐含条件，验证根时直接代入计算即可，掌握定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题考查一元一次方程、一元二次方程的定义及方程根的验证方法。解题思路如下：
(1) 一元一次方程的核心是只含1个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0。本题需分两种情况讨论：一是二次项系数为0，剩余项构成一次方程；二是未知数最高次数为1，合并后一次项系数不为0，分别列方程求解即可。
(2) 一元二次方程需满足：未知数最高次数为2、二次项系数不为0，据此列方程和不等式求出m的值，再将方程化简，把给定的4个数分别代入方程，判断左右两边是否相等，即可确定哪些是根。
【解析】
(1) 若方程为一元一次方程，分两种情况讨论：
① 当二次项系数为0时，即$m+1=0$，解得$m=-1$。
代入原方程得：$-4x-4=0$，是一元一次方程，符合要求。
② 当未知数最高次数为1时，即$m^2+1=1$，解得$m=0$。
代入原方程得：$x-3x-4=0$，即$-2x-4=0$，是一元一次方程，符合要求。
综上，$m=-1$或$m=0$时，方程是一元一次方程。
(2) 若方程为一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2+1=2 \\ m+1≠0\end{cases}$
解$m^2+1=2$得$m=\pm1$，结合$m+1≠0$即$m≠-1$，得$m=1$。
将$m=1$代入原方程，得$2x^2-2x-4=0$，化简为$x^2-x-2=0$。
分别代入数值验证：
当$x=-1$时，左边$=(-1)^2-(-1)-2=0=$右边，是根；
当$x=0$时，左边$=0-0-2=-2≠$右边，不是根；
当$x=1$时，左边$=1-1-2=-2≠$右边，不是根；
当$x=2$时，左边$=2^2-2-2=0=$右边，是根。
综上，$m=1$时方程是一元二次方程，$-1,2$是它的根。
【答案】
(1) $m=-1$或$0$；(2) $m=1$，$-1,2$是这个一元二次方程的根。
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义；方程的根的判断
【点评】
本题是整式方程定义的基础应用题型，解题关键是根据定义分类讨论参数的取值，注意不要忽略高次项系数不为0的隐含条件，验证根时直接代入计算即可，掌握定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
10.定义:方程$cx^2+bx+a=0$是方程$ax^2+bx+c=0$的倒方程(其中$a,b,c$为常数且$a≠0,c≠0$).根据此定义解决下列问题.
(1)一元二次方程$-4x^2+3x+1=0$的倒方程是________.
(2)若$-1$是一元二次方程$x^2-2x+c=0$的倒方程的一个根,求出$c$的值.
(3)若$m$是方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程的一个实数根,则$m^3+m^2-6m+2026$的值为________.
(1)一元二次方程$-4x^2+3x+1=0$的倒方程是________.
(2)若$-1$是一元二次方程$x^2-2x+c=0$的倒方程的一个根,求出$c$的值.
(3)若$m$是方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程的一个实数根,则$m^3+m^2-6m+2026$的值为________.
答案
10.(1)$x^2+3x-4=0$
(2)由条件得倒方程为 $ cx^2-2x+1=0 $，把 $ x=-1 $ 代入方程，得 $ c+2+1=0 $，$ \therefore c=-3 $。
(3)2 026
由题意得方程 $ -6x^2+x+1=0 $ 的倒方程为 $ x^2+x-6=0 $，
$ \because m $ 是方程 $ x^2+x-6=0 $ 的一个实数根，$ \therefore m^2+m-6=0 $，
$ \therefore m^3+m^2-6m+2\ 026=m(m^2+m-6)+2\ 026=2\ 026 $。
(2)由条件得倒方程为 $ cx^2-2x+1=0 $，把 $ x=-1 $ 代入方程，得 $ c+2+1=0 $，$ \therefore c=-3 $。
(3)2 026
由题意得方程 $ -6x^2+x+1=0 $ 的倒方程为 $ x^2+x-6=0 $，
$ \because m $ 是方程 $ x^2+x-6=0 $ 的一个实数根，$ \therefore m^2+m-6=0 $，
$ \therefore m^3+m^2-6m+2\ 026=m(m^2+m-6)+2\ 026=2\ 026 $。
解析
【分析】
解题核心是先准确理解“倒方程”的定义：将原一元二次方程的二次项系数和常数项交换位置，一次项系数保持不变，得到的新方程就是原方程的倒方程。(1)直接套用定义交换对应系数即可求解；(2)先写出原方程的倒方程，再将已知根代入倒方程，得到关于c的一元一次方程，解出c即可；(3)先求出原方程的倒方程，利用方程根的定义得到m满足的等式，再将所求代数式变形，用整体代入法计算，无需单独求m的值，简化运算。
【解析】
(1) 原方程$-4x^2+3x+1=0$的二次项系数为$-4$，一次项系数为$3$，常数项为$1$，根据倒方程定义交换二次项系数和常数项，可得倒方程为$x^2+3x-4=0$。
(2) 原方程$x^2-2x+c=0$的倒方程为$cx^2-2x+1=0$。
$\because -1$是该倒方程的一个根，将$x=-1$代入倒方程：
$c×(-1)^2 -2×(-1)+1=0$
化简得$c+2+1=0$，解得$c=-3$。
(3) 原方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程为$x^2+x-6=0$。
$\because m$是该倒方程的实数根，$\therefore m^2+m-6=0$，即$m^2+m=6$。
对所求代数式变形：
$m^3+m^2-6m+2026=m(m^2+m)-6m+2026$
将$m^2+m=6$代入上式：
原式$=6m-6m+2026=2026$。
【答案】
(1)$x^2+3x-4=0$；(2)$c=-3$；(3)$2026$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的根，整体代入求值
【点评】
本题依托“倒方程”的新定义，既考查对新概念的理解和运用能力，又结合了方程根的性质、代数式变形的技巧，题目梯度设置合理，能有效检验基础知识的掌握情况和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
解题核心是先准确理解“倒方程”的定义：将原一元二次方程的二次项系数和常数项交换位置，一次项系数保持不变，得到的新方程就是原方程的倒方程。(1)直接套用定义交换对应系数即可求解；(2)先写出原方程的倒方程，再将已知根代入倒方程，得到关于c的一元一次方程，解出c即可；(3)先求出原方程的倒方程，利用方程根的定义得到m满足的等式，再将所求代数式变形，用整体代入法计算，无需单独求m的值，简化运算。
【解析】
(1) 原方程$-4x^2+3x+1=0$的二次项系数为$-4$，一次项系数为$3$，常数项为$1$，根据倒方程定义交换二次项系数和常数项，可得倒方程为$x^2+3x-4=0$。
(2) 原方程$x^2-2x+c=0$的倒方程为$cx^2-2x+1=0$。
$\because -1$是该倒方程的一个根，将$x=-1$代入倒方程：
$c×(-1)^2 -2×(-1)+1=0$
化简得$c+2+1=0$，解得$c=-3$。
(3) 原方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程为$x^2+x-6=0$。
$\because m$是该倒方程的实数根，$\therefore m^2+m-6=0$，即$m^2+m=6$。
对所求代数式变形：
$m^3+m^2-6m+2026=m(m^2+m)-6m+2026$
将$m^2+m=6$代入上式：
原式$=6m-6m+2026=2026$。
【答案】
(1)$x^2+3x-4=0$；(2)$c=-3$；(3)$2026$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的根，整体代入求值
【点评】
本题依托“倒方程”的新定义，既考查对新概念的理解和运用能力，又结合了方程根的性质、代数式变形的技巧，题目梯度设置合理，能有效检验基础知识的掌握情况和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
