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6.关于$x$的一元二次方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$的常数项为0，则$k$的值为（
A.－2
B.2
C.2或－2
D.4或－2
A
）.A.－2
B.2
C.2或－2
D.4或－2
答案
6.A
解析
【分析】
本题需结合一元二次方程的定义和常数项为0的要求求解，解题思路如下：首先，题目明确该方程是一元二次方程，隐含限制条件为二次项系数不能为0，这是容易遗漏的关键点；其次，常数项是方程中不含未知数的项，令常数项等于0可列出关于k的方程，求解后再排除使二次项系数为0的k值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 关于x的方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k-2 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$
又
∵ 该方程的常数项为0
∴ $k^2 - 4 = 0$
解得$k = 2$或$k = -2$
结合$k ≠ 2$的限制，最终得$k = -2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是一元二次方程概念类的典型易错题，易错点是容易忽略"一元二次方程二次项系数不为0"的隐含前提，直接根据常数项为0求出$k=\pm2$而误选C。解题时要先明确方程类型对应的限制条件，再结合题意计算，避免掉入题目陷阱。
【难度系数】
0.6
本题需结合一元二次方程的定义和常数项为0的要求求解，解题思路如下：首先，题目明确该方程是一元二次方程，隐含限制条件为二次项系数不能为0，这是容易遗漏的关键点；其次，常数项是方程中不含未知数的项，令常数项等于0可列出关于k的方程，求解后再排除使二次项系数为0的k值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 关于x的方程$(k-2)x^2+3x+k^2-4=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k-2 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$
又
∵ 该方程的常数项为0
∴ $k^2 - 4 = 0$
解得$k = 2$或$k = -2$
结合$k ≠ 2$的限制，最终得$k = -2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是一元二次方程概念类的典型易错题，易错点是容易忽略"一元二次方程二次项系数不为0"的隐含前提，直接根据常数项为0求出$k=\pm2$而误选C。解题时要先明确方程类型对应的限制条件，再结合题意计算，避免掉入题目陷阱。
【难度系数】
0.6
7.关于x的一元二次方程$2x^2 - 3x - a = 0$的一个根为1，则$(a,3)$在第
二
象限。答案
7.二
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知的根x=1代入方程，即可求出参数a的值；第二步，根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，判断点(a,3)所在的象限。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$2x^2 - 3x - a = 0$的根，
∴将x=1代入方程得：
$2×1^2 - 3×1 - a = 0$
计算得：$2 - 3 - a = 0$，即$-1 -a = 0$，
解得：$a = -1$。
∴点的坐标为$(-1,3)$，
∵横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限，
∴该点在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
一元二次方程的根的定义；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对一元二次方程根的定义的理解和应用，以及对平面直角坐标系中象限坐标符号规律的掌握，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知的根x=1代入方程，即可求出参数a的值；第二步，根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，判断点(a,3)所在的象限。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$2x^2 - 3x - a = 0$的根，
∴将x=1代入方程得：
$2×1^2 - 3×1 - a = 0$
计算得：$2 - 3 - a = 0$，即$-1 -a = 0$，
解得：$a = -1$。
∴点的坐标为$(-1,3)$，
∵横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限，
∴该点在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
一元二次方程的根的定义；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对一元二次方程根的定义的理解和应用，以及对平面直角坐标系中象限坐标符号规律的掌握，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8.将方程$x(x-1)=-3$化成$ax^2+bx+c=0(a＞0)$的形式，则$a-b-c=$
-1
。答案
8.-1
解析
【分析】
本题需要先将给定方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a＞0)$，再代入代数式求值。解题思路如下：第一步先用单项式乘多项式的法则去掉方程左边的括号，第二步通过移项把所有项移到等号左侧，合并同类项得到符合要求的标准形式，注意移项要变号；第三步对照标准形式确定$a$、$b$、$c$的取值，尤其要注意各项的符号；最后将$a$、$b$、$c$的值代入$a-b-c$计算即可得到结果。
【解析】
解：对原方程$x(x-1)=-3$去括号，得：
$x^2 - x = -3$
移项，将常数项移到方程左侧，整理为$ax^2+bx+c=0(a＞0)$的形式：
$x^2 - x + 3 = 0$
对照标准形式可得：$a=1$，$b=-1$，$c=3$
将$a$、$b$、$c$代入$a-b-c$计算：
$a-b-c=1 - (-1) - 3 = 1 + 1 - 3 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.代数式求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程一般形式的化简，解题的易错点是确定$a$、$b$、$c$的取值时忽略对应项的符号，导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题需要先将给定方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a＞0)$，再代入代数式求值。解题思路如下：第一步先用单项式乘多项式的法则去掉方程左边的括号，第二步通过移项把所有项移到等号左侧，合并同类项得到符合要求的标准形式，注意移项要变号；第三步对照标准形式确定$a$、$b$、$c$的取值，尤其要注意各项的符号；最后将$a$、$b$、$c$的值代入$a-b-c$计算即可得到结果。
【解析】
解：对原方程$x(x-1)=-3$去括号，得：
$x^2 - x = -3$
移项，将常数项移到方程左侧，整理为$ax^2+bx+c=0(a＞0)$的形式：
$x^2 - x + 3 = 0$
对照标准形式可得：$a=1$，$b=-1$，$c=3$
将$a$、$b$、$c$代入$a-b-c$计算：
$a-b-c=1 - (-1) - 3 = 1 + 1 - 3 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.代数式求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程一般形式的化简，解题的易错点是确定$a$、$b$、$c$的取值时忽略对应项的符号，导致计算错误。
【难度系数】
0.8
9.已知关于$x$的方程$(m+1)x^{m^2+1}+(m-3)x-4=0$.
(1)当$m$为何值时,它是一元一次方程?
(2)当$m$为何值时,它是一元二次方程,并判断$-1,0,1,2$中哪些数是这个一元二次方程的根.
(1)当$m$为何值时,它是一元一次方程?
(2)当$m$为何值时,它是一元二次方程,并判断$-1,0,1,2$中哪些数是这个一元二次方程的根.
答案
9.(1)当 $ m=-1 $ 或 0 时，它是一元一次方程。
(2)当 $ m=1 $ 时，它是一元二次方程；$-1,2$ 是它的根。
(2)当 $ m=1 $ 时，它是一元二次方程；$-1,2$ 是它的根。
解析
【分析】
解决本题需紧扣一元一次方程、一元二次方程的定义分类讨论：
(1)一元一次方程要求仅含1个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0，分两种情况分析：一是二次项系数为0，原方程退化为一次方程；二是最高次项次数为1，合并后一次项系数不为0。
(2)一元二次方程要求仅含1个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0，先据此求出m值，再代入得到具体方程，最后将待验证的数代入方程，若左右两边相等则为方程的根。
【解析】
(1)分两种情况讨论：
①当二次项系数为0时，即$m+1=0$，解得$m=-1$，
代入原方程得：$-4x-4=0$，是一元一次方程，符合要求；
②当最高次项次数为1时，即$m^2+1=1$，解得$m=0$，
代入原方程得：$x-3x-4=0$，即$-2x-4=0$，是一元一次方程，符合要求。
综上，$m=-1$或$m=0$时，方程是一元一次方程。
(2)若方程为一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2+1=2 \\ m+1≠0\end{cases}$
解$m^2+1=2$得$m=\pm1$，结合$m+1≠0$即$m≠-1$，得$m=1$。
将$m=1$代入原方程，化简得：$2x^2-2x-4=0$，即$x^2-x-2=0$。
分别代入数值验证：
代入$x=-1$：左边$=(-1)^2-(-1)-2=0=$右边，是方程的根；
代入$x=0$：左边$=0-0-2=-2≠$右边，不是方程的根；
代入$x=1$：左边$=1-1-2=-2≠$右边，不是方程的根；
代入$x=2$：左边$=2^2-2-2=0=$右边，是方程的根。
【答案】
(1)当 $ m=-1 $ 或 0 时，它是一元一次方程。
(2)当 $ m=1 $ 时，它是一元二次方程；$-1,2$ 是它的根。
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义；方程的根的判定
【点评】
本题重点考察整式方程的分类概念，解题时要注意不要遗漏“最高次项系数不为0”的隐含条件，验证根时直接代入计算即可，分类讨论是解决本题的关键思路。
【难度系数】
0.7
解决本题需紧扣一元一次方程、一元二次方程的定义分类讨论：
(1)一元一次方程要求仅含1个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0，分两种情况分析：一是二次项系数为0，原方程退化为一次方程；二是最高次项次数为1，合并后一次项系数不为0。
(2)一元二次方程要求仅含1个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0，先据此求出m值，再代入得到具体方程，最后将待验证的数代入方程，若左右两边相等则为方程的根。
【解析】
(1)分两种情况讨论：
①当二次项系数为0时，即$m+1=0$，解得$m=-1$，
代入原方程得：$-4x-4=0$，是一元一次方程，符合要求；
②当最高次项次数为1时，即$m^2+1=1$，解得$m=0$，
代入原方程得：$x-3x-4=0$，即$-2x-4=0$，是一元一次方程，符合要求。
综上，$m=-1$或$m=0$时，方程是一元一次方程。
(2)若方程为一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2+1=2 \\ m+1≠0\end{cases}$
解$m^2+1=2$得$m=\pm1$，结合$m+1≠0$即$m≠-1$，得$m=1$。
将$m=1$代入原方程，化简得：$2x^2-2x-4=0$，即$x^2-x-2=0$。
分别代入数值验证：
代入$x=-1$：左边$=(-1)^2-(-1)-2=0=$右边，是方程的根；
代入$x=0$：左边$=0-0-2=-2≠$右边，不是方程的根；
代入$x=1$：左边$=1-1-2=-2≠$右边，不是方程的根；
代入$x=2$：左边$=2^2-2-2=0=$右边，是方程的根。
【答案】
(1)当 $ m=-1 $ 或 0 时，它是一元一次方程。
(2)当 $ m=1 $ 时，它是一元二次方程；$-1,2$ 是它的根。
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义；方程的根的判定
【点评】
本题重点考察整式方程的分类概念，解题时要注意不要遗漏“最高次项系数不为0”的隐含条件，验证根时直接代入计算即可，分类讨论是解决本题的关键思路。
【难度系数】
0.7
10.定义:方程$cx^2+bx+a=0$是方程$ax^2+bx+c=0$的倒方程(其中$a,b,c$为常数且$a≠0,c≠0$).根据此定义解决下列问题.
(1)一元二次方程$-4x^2+3x+1=0$的倒方程是________.
(2)若$-1$是一元二次方程$x^2-2x+c=0$的倒方程的一个根,求出$c$的值.
(3)若$m$是方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程的一个实数根,则$m^3+m^2-6m+2026$的值为________.
(1)一元二次方程$-4x^2+3x+1=0$的倒方程是________.
(2)若$-1$是一元二次方程$x^2-2x+c=0$的倒方程的一个根,求出$c$的值.
(3)若$m$是方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程的一个实数根,则$m^3+m^2-6m+2026$的值为________.
答案
10.(1)$x^2+3x-4=0$
(2)由条件得倒方程为 $ cx^2-2x+1=0 $，把 $ x=-1 $ 代入方程，得 $ c+2+1=0 $，$ \therefore c=-3 $。
(3)2 026
由题意得方程 $ -6x^2+x+1=0 $ 的倒方程为 $ x^2+x-6=0 $，
$ \because m $ 是方程 $ x^2+x-6=0 $ 的一个实数根，$ \therefore m^2+m-6=0 $，
$ \therefore m^3+m^2-6m+2\ 026=m(m^2+m-6)+2\ 026=2\ 026 $。
(2)由条件得倒方程为 $ cx^2-2x+1=0 $，把 $ x=-1 $ 代入方程，得 $ c+2+1=0 $，$ \therefore c=-3 $。
(3)2 026
由题意得方程 $ -6x^2+x+1=0 $ 的倒方程为 $ x^2+x-6=0 $，
$ \because m $ 是方程 $ x^2+x-6=0 $ 的一个实数根，$ \therefore m^2+m-6=0 $，
$ \therefore m^3+m^2-6m+2\ 026=m(m^2+m-6)+2\ 026=2\ 026 $。
解析
【分析】
首先明确倒方程的定义：将原方程的二次项系数与常数项互换位置，一次项系数保持不变，即可得到对应倒方程。
(1) 直接根据倒方程定义，交换原方程二次项系数和常数项的位置，整理即可得到结果；
(2) 先写出原方程的倒方程，再根据方程根的定义，把x=-1代入倒方程，得到关于c的一元一次方程，求解即可得到c的值；
(3) 先求出原方程的倒方程，再根据m是倒方程的根，得到整式关系m²+m-6=0，将所求代数式变形为含有m²+m-6的形式，整体代入计算即可，无需算出m的具体值，简化运算。
【解析】
(1) 原方程为$-4x^2+3x+1=0$，根据倒方程定义，交换二次项系数$-4$和常数项$1$的位置，可得倒方程为$x^2+3x-4=0$。
(2) 一元二次方程$x^2-2x+c=0$的倒方程为$cx^2-2x+1=0$，
把$x=-1$代入倒方程得：$c×(-1)^2 + (-2)×(-1) +1=0$，
即$c+2+1=0$，解得$c=-3$。
(3) 方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程为$x^2+x-6=0$，
$\because m$是该倒方程的实数根，$\therefore m^2+m-6=0$，
对所求代数式变形：
$m^3+m^2-6m+2026=m(m^2+m-6)+2026$，
将$m^2+m-6=0$代入得：原式$=m×0 +2026=2026$。
【答案】
(1)$x^2+3x-4=0$；(2)$c=-3$；(3)$2026$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的根，整体代入求值
【点评】
本题以新定义“倒方程”为背景，考查一元二次方程的相关性质，解题核心是准确理解倒方程的定义，灵活运用方程根的意义，第三问用整体代入思想避免求解m的具体值，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
首先明确倒方程的定义：将原方程的二次项系数与常数项互换位置，一次项系数保持不变，即可得到对应倒方程。
(1) 直接根据倒方程定义，交换原方程二次项系数和常数项的位置，整理即可得到结果；
(2) 先写出原方程的倒方程，再根据方程根的定义，把x=-1代入倒方程，得到关于c的一元一次方程，求解即可得到c的值；
(3) 先求出原方程的倒方程，再根据m是倒方程的根，得到整式关系m²+m-6=0，将所求代数式变形为含有m²+m-6的形式，整体代入计算即可，无需算出m的具体值，简化运算。
【解析】
(1) 原方程为$-4x^2+3x+1=0$，根据倒方程定义，交换二次项系数$-4$和常数项$1$的位置，可得倒方程为$x^2+3x-4=0$。
(2) 一元二次方程$x^2-2x+c=0$的倒方程为$cx^2-2x+1=0$，
把$x=-1$代入倒方程得：$c×(-1)^2 + (-2)×(-1) +1=0$，
即$c+2+1=0$，解得$c=-3$。
(3) 方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程为$x^2+x-6=0$，
$\because m$是该倒方程的实数根，$\therefore m^2+m-6=0$，
对所求代数式变形：
$m^3+m^2-6m+2026=m(m^2+m-6)+2026$，
将$m^2+m-6=0$代入得：原式$=m×0 +2026=2026$。
【答案】
(1)$x^2+3x-4=0$；(2)$c=-3$；(3)$2026$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的根，整体代入求值
【点评】
本题以新定义“倒方程”为背景，考查一元二次方程的相关性质，解题核心是准确理解倒方程的定义，灵活运用方程根的意义，第三问用整体代入思想避免求解m的具体值，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
