登录
1.下列关于 $ x $ 的方程中，一定是一元二次方程的有(
①$ 2x - 3 = x^2 + 2x - 3 $；②$ ax^2 + bx + c = 0 $；③$ (x + 2)(x - 2) = (x + 1)^2 $；④$ x + \frac{1}{x} = 1 $；
⑤$ (x + 1)(x + 2) = 2x^2 - 3 $。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)。①$ 2x - 3 = x^2 + 2x - 3 $；②$ ax^2 + bx + c = 0 $；③$ (x + 2)(x - 2) = (x + 1)^2 $；④$ x + \frac{1}{x} = 1 $；
⑤$ (x + 1)(x + 2) = 2x^2 - 3 $。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
解题前首先明确一元二次方程的判定标准，需同时满足三个条件：1.属于整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们需要先将每个方程化简为最简形式，再逐一对照上述三个条件判断是否符合，最后统计符合条件的方程个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断5个方程：
1. 方程①：$2x - 3 = x^2 + 2x - 3$，移项合并同类项得：$-x^2=0$，即$x^2=0$，满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程。
2. 方程②：$ax^2 + bx + c = 0$，未限定$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数小于2，因此不一定是一元二次方程。
3. 方程③：$(x + 2)(x - 2) = (x + 1)^2$，左右分别展开得$x^2-4=x^2+2x+1$，移项合并同类项得：$-2x-5=0$，最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程。
4. 方程④：$x + \frac{1}{x} = 1$，分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程。
5. 方程⑤：$(x + 1)(x + 2) = 2x^2 - 3$，左边展开得$x^2+3x+2=2x^2-3$，移项合并同类项得：$-x^2+3x+5=0$，满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程。
综上，符合条件的一元二次方程有①和⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，整式方程的判定，方程化简
【点评】
本题属于一元二次方程判定的基础题型，易错点在于容易忽略$ax^2+bx+c=0$中$a≠0$的前提条件，或未化简方程就直接判断未知数最高次数，同时要注意分式方程不属于整式方程，不可能是一元二次方程。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确一元二次方程的判定标准，需同时满足三个条件：1.属于整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们需要先将每个方程化简为最简形式，再逐一对照上述三个条件判断是否符合，最后统计符合条件的方程个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断5个方程：
1. 方程①：$2x - 3 = x^2 + 2x - 3$，移项合并同类项得：$-x^2=0$，即$x^2=0$，满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程。
2. 方程②：$ax^2 + bx + c = 0$，未限定$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数小于2，因此不一定是一元二次方程。
3. 方程③：$(x + 2)(x - 2) = (x + 1)^2$，左右分别展开得$x^2-4=x^2+2x+1$，移项合并同类项得：$-2x-5=0$，最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程。
4. 方程④：$x + \frac{1}{x} = 1$，分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程。
5. 方程⑤：$(x + 1)(x + 2) = 2x^2 - 3$，左边展开得$x^2+3x+2=2x^2-3$，移项合并同类项得：$-x^2+3x+5=0$，满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程。
综上，符合条件的一元二次方程有①和⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，整式方程的判定，方程化简
【点评】
本题属于一元二次方程判定的基础题型，易错点在于容易忽略$ax^2+bx+c=0$中$a≠0$的前提条件，或未化简方程就直接判断未知数最高次数，同时要注意分式方程不属于整式方程，不可能是一元二次方程。
【难度系数】
0.7
2.将一元二次方程$2x^2 +7=9x$化成一般形式，它的二次项系数和一次项系数分别为(
A.$2,9$
B.$2,7$
C.$2,-9$
D.$2x^2,-9x^2$
C
).A.$2,9$
B.$2,7$
C.$2,-9$
D.$2x^2,-9x^2$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程一般形式的规定：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先将给定方程通过移项转化为一般形式，移项时注意移动的项要改变符号，再对应找出二次项系数和一次项系数即可。
【解析】
对原方程$2x^2 +7=9x$进行移项，将右侧的$9x$移到左侧，移动的项要变号，整理得：
$2x^2 -9x +7 = 0$
该式就是原方程的一般形式，其中二次项为$2x^2$，系数为2；一次项为$-9x$，系数为$-9$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础考点，核心考查对一元二次方程一般形式的识别，易错点是移项时忽略符号变化，误把一次项系数写为9，确定各项系数时要注意包含项前面的正负号。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确一元二次方程一般形式的规定：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先将给定方程通过移项转化为一般形式，移项时注意移动的项要改变符号，再对应找出二次项系数和一次项系数即可。
【解析】
对原方程$2x^2 +7=9x$进行移项，将右侧的$9x$移到左侧，移动的项要变号，整理得：
$2x^2 -9x +7 = 0$
该式就是原方程的一般形式，其中二次项为$2x^2$，系数为2；一次项为$-9x$，系数为$-9$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础考点，核心考查对一元二次方程一般形式的识别，易错点是移项时忽略符号变化，误把一次项系数写为9，确定各项系数时要注意包含项前面的正负号。
【难度系数】
0.8
3.已知2是关于x的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$的一个根，则实数m的值是（
A.0
B.1
C.2
D.4
D
）.A.0
B.1
C.2
D.4
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知2是题给方程的根，说明当x=2时，方程$x^2-4x+m=0$左右两边相等，因此我们可以将x=2代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=2代入方程$x^2 -4x +m=0$，可得：
$2^2 - 4×2 + m = 0$
计算得：$4 - 8 + m = 0$
合并同类项得：$-4 + m = 0$
解得：$m = 4$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，只需将已知根代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算难度低，掌握相关基础概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知2是题给方程的根，说明当x=2时，方程$x^2-4x+m=0$左右两边相等，因此我们可以将x=2代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=2代入方程$x^2 -4x +m=0$，可得：
$2^2 - 4×2 + m = 0$
计算得：$4 - 8 + m = 0$
合并同类项得：$-4 + m = 0$
解得：$m = 4$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，只需将已知根代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算难度低，掌握相关基础概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
4.根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式.
(1)一个群里共有$ x $个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，共有756条消息，求群里好友的人数.
(2)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14 cm，面积为24 $ \mathrm{cm}^2 $，求它的两条直角边长.
(1)一个群里共有$ x $个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，共有756条消息，求群里好友的人数.
(2)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14 cm，面积为24 $ \mathrm{cm}^2 $，求它的两条直角边长.
答案
4.(1)设有 $ x $ 个好友，根据题意可得 $ x(x-1)=756 $，整理得 $ x^2 -x -756=0 $。
(2)设较短直角边长 $ y $ cm，根据题意可得 $ \frac{1}{2}y(14-y)=24 $，整理得 $ y^2 -14y +48=0 $。
(2)设较短直角边长 $ y $ cm，根据题意可得 $ \frac{1}{2}y(14-y)=24 $，整理得 $ y^2 -14y +48=0 $。
解析
【分析】
(1) 群内共有x个好友，每个好友需要给除自己之外的其余(x-1)个好友各发1条消息，由于A给B发消息和B给A发消息是两条独立的消息，不存在重复计数，因此总消息数=总人数×每人发送的消息数，根据该等量关系列方程后，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
(2) 已知两条直角边的和为14cm，设较短直角边长为y cm，则较长直角边长为(14-y)cm，根据“直角三角形面积=1/2×两条直角边的乘积”这一等量关系列方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
(1) 设群里共有x个好友。
每个好友发送消息的数量为(x-1)条，已知总消息数为756条，据此列方程：
$x(x-1)=756$
展开并移项整理为一般形式：
$x^2 - x - 756 = 0$
(2) 设较短直角边长为y cm，则较长直角边长为(14-y)cm。
根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}y(14-y)=24$
方程两边同时乘2得$y(14-y)=48$，展开并移项整理为一般形式：
$y^2 -14y +48=0$
【答案】
(1) 所列方程为$x(x-1)=756$，一般形式为$\boldsymbol{x^2 -x -756=0}$；
(2) 所列方程为$\frac{1}{2}y(14-y)=24$，一般形式为$\boldsymbol{y^2 -14y +48=0}$。
【知识点】
1. 列一元二次方程解应用题
2. 一元二次方程的一般形式
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用型题目，解题核心是准确挖掘题目中的等量关系，需要注意互发消息类问题属于双向计数，无需除以2，整理一般形式时要注意移项的符号规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.75
(1) 群内共有x个好友，每个好友需要给除自己之外的其余(x-1)个好友各发1条消息，由于A给B发消息和B给A发消息是两条独立的消息，不存在重复计数，因此总消息数=总人数×每人发送的消息数，根据该等量关系列方程后，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
(2) 已知两条直角边的和为14cm，设较短直角边长为y cm，则较长直角边长为(14-y)cm，根据“直角三角形面积=1/2×两条直角边的乘积”这一等量关系列方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
(1) 设群里共有x个好友。
每个好友发送消息的数量为(x-1)条，已知总消息数为756条，据此列方程：
$x(x-1)=756$
展开并移项整理为一般形式：
$x^2 - x - 756 = 0$
(2) 设较短直角边长为y cm，则较长直角边长为(14-y)cm。
根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}y(14-y)=24$
方程两边同时乘2得$y(14-y)=48$，展开并移项整理为一般形式：
$y^2 -14y +48=0$
【答案】
(1) 所列方程为$x(x-1)=756$，一般形式为$\boldsymbol{x^2 -x -756=0}$；
(2) 所列方程为$\frac{1}{2}y(14-y)=24$，一般形式为$\boldsymbol{y^2 -14y +48=0}$。
【知识点】
1. 列一元二次方程解应用题
2. 一元二次方程的一般形式
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用型题目，解题核心是准确挖掘题目中的等量关系，需要注意互发消息类问题属于双向计数，无需除以2，整理一般形式时要注意移项的符号规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.75
5.将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
(1) $2x^2 + 3x = x^2 - 3x - 2$.
(2) $(2x - 1)(3x + 2) = (x - 2)^2 - 2$.
(1) $2x^2 + 3x = x^2 - 3x - 2$.
(2) $(2x - 1)(3x + 2) = (x - 2)^2 - 2$.
答案
5.(1)$x^2+6x+2=0$。
二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2。
(2)$5x^2+5x-4=0$。
二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2。
(2)$5x^2+5x-4=0$。
二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路如下：①对于(1)，直接通过移项将所有项移到等号左侧，右侧化为0，再合并同类项即可得到一般形式，进而对应写出各项系数；②对于(2)，先利用多项式乘法法则、完全平方公式分别展开等号左右两边的式子，再通过移项、合并同类项整理为一般形式，最后确定各项系数，注意系数要包含本身的符号。
【解析】
(1) 对原方程移项，将右侧项全部移到左侧，移项需变号：
$2x^2 + 3x - x^2 + 3x + 2 = 0$
合并同类项得：
$x^2+6x+2=0$
因此二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2。
(2) 先分别展开等号左右两侧的式子：
左侧按多项式乘法法则计算：$(2x - 1)(3x + 2) = 6x^2 + 4x - 3x -2 = 6x^2 +x -2$
右侧按完全平方公式展开计算：$(x - 2)^2 - 2 = x^2 - 4x + 4 - 2 = x^2 -4x +2$
将右侧项全部移到左侧，移项需变号：
$6x^2 +x -2 -x^2 +4x -2 =0$
合并同类项得：
$5x^2+5x-4=0$
因此二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
【答案】
(1) 一般形式为$x^2+6x+2=0$，二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2；
(2) 一般形式为$5x^2+5x-4=0$，二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式乘法运算
3. 完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的掌握，同时涉及整式运算的基础应用。解题时需注意移项要变号，确定各项系数时不要遗漏符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路如下：①对于(1)，直接通过移项将所有项移到等号左侧，右侧化为0，再合并同类项即可得到一般形式，进而对应写出各项系数；②对于(2)，先利用多项式乘法法则、完全平方公式分别展开等号左右两边的式子，再通过移项、合并同类项整理为一般形式，最后确定各项系数，注意系数要包含本身的符号。
【解析】
(1) 对原方程移项，将右侧项全部移到左侧，移项需变号：
$2x^2 + 3x - x^2 + 3x + 2 = 0$
合并同类项得：
$x^2+6x+2=0$
因此二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2。
(2) 先分别展开等号左右两侧的式子：
左侧按多项式乘法法则计算：$(2x - 1)(3x + 2) = 6x^2 + 4x - 3x -2 = 6x^2 +x -2$
右侧按完全平方公式展开计算：$(x - 2)^2 - 2 = x^2 - 4x + 4 - 2 = x^2 -4x +2$
将右侧项全部移到左侧，移项需变号：
$6x^2 +x -2 -x^2 +4x -2 =0$
合并同类项得：
$5x^2+5x-4=0$
因此二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
【答案】
(1) 一般形式为$x^2+6x+2=0$，二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2；
(2) 一般形式为$5x^2+5x-4=0$，二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式乘法运算
3. 完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的掌握，同时涉及整式运算的基础应用。解题时需注意移项要变号，确定各项系数时不要遗漏符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
