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1.抛物线$y=x^2$的顶点坐标是(
A.(1,0)
B.(0,1)
C.(0,0)
D.(1,1)
C
).A.(1,0)
B.(0,1)
C.(0,0)
D.(1,1)
答案
1.C
解析
【分析】
要确定抛物线$y=x^2$的顶点坐标，我们可以按照以下思路思考：首先回忆二次函数顶点坐标的求解方法，第一种是利用二次函数一般式对应的顶点坐标公式，先找出题目中抛物线的各项系数，再代入公式计算即可；第二种是直接回忆形如$y=ax^2$这类特殊二次函数的图象特征，直接得到顶点坐标。
【解析】
方法一：利用顶点坐标公式计算
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
在抛物线$y=x^2$中，$a=1$，$b=0$，$c=0$，代入公式计算：
横坐标：$-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$
纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×0 - 0^2}{4×1}=0$
因此顶点坐标为$(0,0)$。
方法二：根据特殊二次函数的图象特征判断
形如$y=ax^2(a≠0)$的二次函数，图象是开口向上或向下的抛物线，顶点均为坐标原点$(0,0)$，本题抛物线为$y=x^2$，符合该形式，因此顶点坐标为$(0,0)$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标计算
2. 特殊二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数图象与性质相关的基础题型，解题的核心是掌握二次函数顶点坐标的求解方法，熟记常见特殊形式二次函数的图象特点可提升解题效率。
【难度系数】
0.9
要确定抛物线$y=x^2$的顶点坐标，我们可以按照以下思路思考：首先回忆二次函数顶点坐标的求解方法，第一种是利用二次函数一般式对应的顶点坐标公式，先找出题目中抛物线的各项系数，再代入公式计算即可；第二种是直接回忆形如$y=ax^2$这类特殊二次函数的图象特征，直接得到顶点坐标。
【解析】
方法一：利用顶点坐标公式计算
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
在抛物线$y=x^2$中，$a=1$，$b=0$，$c=0$，代入公式计算：
横坐标：$-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$
纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×0 - 0^2}{4×1}=0$
因此顶点坐标为$(0,0)$。
方法二：根据特殊二次函数的图象特征判断
形如$y=ax^2(a≠0)$的二次函数，图象是开口向上或向下的抛物线，顶点均为坐标原点$(0,0)$，本题抛物线为$y=x^2$，符合该形式，因此顶点坐标为$(0,0)$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标计算
2. 特殊二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数图象与性质相关的基础题型，解题的核心是掌握二次函数顶点坐标的求解方法，熟记常见特殊形式二次函数的图象特点可提升解题效率。
【难度系数】
0.9
2.已知二次函数$y=□ x^2$的图象的开口向下，则“$□$”可能是（
A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
A
）.A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
答案
2.A
解析
【分析】
解决本题需结合二次函数的定义和图象性质思考：首先，二次函数的二次项系数不能为0，否则函数就不是二次函数；其次，二次函数$y=ax^2$的图象开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下。我们只需从选项中选出满足“不为0且小于0”的数即可。
【解析】
第一步：由函数是二次函数可知，二次项系数$□≠0$，因此排除B选项；
第二步：已知二次函数图象开口向下，因此二次项系数$□＜0$，选项C的$\frac{1}{2}$、选项D的2都是正数，不符合要求，只有选项A的$-1$满足$□＜0$的条件。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数开口方向与系数的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握二次项系数对二次函数开口方向的影响，解题时注意不要遗漏二次项系数不为0的前提，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解决本题需结合二次函数的定义和图象性质思考：首先，二次函数的二次项系数不能为0，否则函数就不是二次函数；其次，二次函数$y=ax^2$的图象开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下。我们只需从选项中选出满足“不为0且小于0”的数即可。
【解析】
第一步：由函数是二次函数可知，二次项系数$□≠0$，因此排除B选项；
第二步：已知二次函数图象开口向下，因此二次项系数$□＜0$，选项C的$\frac{1}{2}$、选项D的2都是正数，不符合要求，只有选项A的$-1$满足$□＜0$的条件。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数开口方向与系数的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握二次项系数对二次函数开口方向的影响，解题时注意不要遗漏二次项系数不为0的前提，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
3.在下列抛物线中，开口最小的是（
A.$y=-\dfrac{1}{4}x^2$
B.$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
C.$y=x^2$
D.$y=\dfrac{3}{2}x^2$
D
）.A.$y=-\dfrac{1}{4}x^2$
B.$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
C.$y=x^2$
D.$y=\dfrac{3}{2}x^2$
答案
3.D
解析
【分析】
要判断抛物线开口大小，首先明确二次函数$y=ax^2$的开口规律：二次项系数$a$的绝对值越大，抛物线的开口越小。解题时先提取四个选项的二次项系数，计算各自的绝对值，再比较绝对值的大小，绝对值最大的对应抛物线开口最小。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，开口大小由$|a|$决定：$|a|$越大，抛物线开口越小。
分别计算各选项二次项系数的绝对值：
A选项：$a=-\dfrac{1}{4}$，$|a|=\dfrac{1}{4}=0.25$；
B选项：$a=-\dfrac{1}{2}$，$|a|=\dfrac{1}{2}=0.5$；
C选项：$a=1$，$|a|=1$；
D选项：$a=\dfrac{3}{2}$，$|a|=\dfrac{3}{2}=1.5$。
比较大小可得$1.5＞1＞0.5＞0.25$，D选项的$|a|$最大，因此对应抛物线开口最小。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，绝对值比较大小
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考察二次项系数和抛物线开口大小的对应关系，牢记相关规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线开口大小，首先明确二次函数$y=ax^2$的开口规律：二次项系数$a$的绝对值越大，抛物线的开口越小。解题时先提取四个选项的二次项系数，计算各自的绝对值，再比较绝对值的大小，绝对值最大的对应抛物线开口最小。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，开口大小由$|a|$决定：$|a|$越大，抛物线开口越小。
分别计算各选项二次项系数的绝对值：
A选项：$a=-\dfrac{1}{4}$，$|a|=\dfrac{1}{4}=0.25$；
B选项：$a=-\dfrac{1}{2}$，$|a|=\dfrac{1}{2}=0.5$；
C选项：$a=1$，$|a|=1$；
D选项：$a=\dfrac{3}{2}$，$|a|=\dfrac{3}{2}=1.5$。
比较大小可得$1.5＞1＞0.5＞0.25$，D选项的$|a|$最大，因此对应抛物线开口最小。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，绝对值比较大小
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考察二次项系数和抛物线开口大小的对应关系，牢记相关规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.在二次函数$y=x^2$中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(
A.$x＞0$
B.$x＜0$
C.$x＜-2$
D.$x＞-2$
A
).A.$x＞0$
B.$x＜0$
C.$x＜-2$
D.$x＞-2$
答案
4.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆二次函数$y=x^2$的图象特征与增减性规律：第一步先判断二次函数的开口方向，第二步确定它的对称轴，第三步结合开口方向判断函数的增减区间，即可得到y随x增大而增大时x的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 开口向上的抛物线，在对称轴右侧的区域y随x的增大而增大，也就是当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
因此符合要求的x的取值范围是$x＞0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆二次函数$y=x^2$的图象特征与增减性规律：第一步先判断二次函数的开口方向，第二步确定它的对称轴，第三步结合开口方向判断函数的增减区间，即可得到y随x增大而增大时x的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 开口向上的抛物线，在对称轴右侧的区域y随x的增大而增大，也就是当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
因此符合要求的x的取值范围是$x＞0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
5.已知点$(a,8)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，求$a$的值。
答案
5.由题意得$8=a · a^2$,解得 $a=2$.
解析
【分析】
解题时首先明确：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数的解析式。本题中已知点$(a,8)$在二次函数$y=ax^2$上，因此可将点的横坐标$a$替换解析式中的$x$，纵坐标$8$替换解析式中的$y$，得到关于$a$的方程，再解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：
∵点$(a,8)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，
∴把$x=a$，$y=8$代入$y=ax^2$，可得：
$8 = a · a^2$，
即$a^3=8$，
解得$a=2$。
【答案】
$a=2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；立方根的计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，代入法是求解这类问题的常用方法，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数的解析式。本题中已知点$(a,8)$在二次函数$y=ax^2$上，因此可将点的横坐标$a$替换解析式中的$x$，纵坐标$8$替换解析式中的$y$，得到关于$a$的方程，再解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：
∵点$(a,8)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，
∴把$x=a$，$y=8$代入$y=ax^2$，可得：
$8 = a · a^2$，
即$a^3=8$，
解得$a=2$。
【答案】
$a=2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；立方根的计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，代入法是求解这类问题的常用方法，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
6.在同一平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2$，$y=bx^2$，$y=cx^2$的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是(
A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$b＞c＞a$
D.$c＞a＞b$
A
).A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$b＞c＞a$
D.$c＞a＞b$
答案
6.A
解析
【分析】
要判断a、b、c的大小关系，可结合二次函数$y=ax^2$的图象性质分析：首先根据开口方向确定三个系数的符号，再根据开口宽度判断二次项系数绝对值的大小，最后结合负数比较大小的规则得到三者的大小关系。
【解析】
解：①判断系数符号：三个二次函数的图象均开口向下，因此$a＜0$，$b＜0$，$c＜0$；
②判断绝对值大小：对于二次函数$y=kx^2$，$|k|$越小，抛物线的开口越宽。观察图象可知，$y=ax^2$开口最宽，$y=cx^2$开口最窄，因此$|a| ＜ |b| ＜ |c|$；
③比较大小：负数比较大小时，绝对值越小的数越大，因此可得$a ＞ b ＞ c$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题核心考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，解题关键是牢记“开口方向由a的符号决定，开口大小由$|a|$决定，$|a|$越小开口越宽”的规律，解题时要注意当系数为负数时，绝对值越小对应数本身越大，避免大小关系判断颠倒。
【难度系数】
0.7
要判断a、b、c的大小关系，可结合二次函数$y=ax^2$的图象性质分析：首先根据开口方向确定三个系数的符号，再根据开口宽度判断二次项系数绝对值的大小，最后结合负数比较大小的规则得到三者的大小关系。
【解析】
解：①判断系数符号：三个二次函数的图象均开口向下，因此$a＜0$，$b＜0$，$c＜0$；
②判断绝对值大小：对于二次函数$y=kx^2$，$|k|$越小，抛物线的开口越宽。观察图象可知，$y=ax^2$开口最宽，$y=cx^2$开口最窄，因此$|a| ＜ |b| ＜ |c|$；
③比较大小：负数比较大小时，绝对值越小的数越大，因此可得$a ＞ b ＞ c$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题核心考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，解题关键是牢记“开口方向由a的符号决定，开口大小由$|a|$决定，$|a|$越小开口越宽”的规律，解题时要注意当系数为负数时，绝对值越小对应数本身越大，避免大小关系判断颠倒。
【难度系数】
0.7
7.在同一平面直角坐标系中，函数$y=x+a$与函数$y=ax^2$的图象可能是(
B
).答案
7.B
解析
【分析】
解题思路：先根据一次函数的解析式确定其斜率特征，排除不符合的选项，再结合参数a的正负，分别判断一次函数的截距和二次函数的开口方向是否一致，最终选出正确选项。
第一步：一次函数$y=x+a$的一次项系数为$1＞0$，因此直线是从左下向右上倾斜的递增直线，据此可直接排除直线递减的C、D选项。
第二步：分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论剩余A、B选项：
①若$a＞0$：一次函数与y轴交点为$(0,a)$，在y轴正半轴，此时二次函数$y=ax^2$的二次项系数$a＞0$，开口应向上，对比A、B选项均不符合此情况。
②若$a＜0$：一次函数与y轴交点在y轴负半轴，此时二次函数$y=ax^2$的二次项系数$a＜0$，开口向下，验证得A中一次函数交点在y轴正半轴，矛盾；B中一次函数交点在y轴负半轴，二次函数开口向下，二者$a$的符号一致，符合要求。
【解析】
1. 分析一次函数图象特征：一次函数$y=x+a$的一次项系数为$1＞0$，因此直线呈上升趋势（从左下到右上），选项C、D的直线为下降趋势，直接排除C、D。
2. 分析参数$a$的符号对两个函数图象的影响：
若$a＞0$：一次函数与$y$轴交于正半轴，二次函数$y=ax^2$开口向上，剩余选项A、B中二次函数均开口向下，不符合该情况。
若$a＜0$：一次函数与$y$轴交于负半轴，二次函数$y=ax^2$开口向下：
A选项中一次函数与$y$轴交于正半轴，说明$a＞0$，和二次函数开口向下（$a＜0$）矛盾，排除A；
B选项中一次函数与$y$轴交于负半轴（$a＜0$），二次函数开口向下（$a＜0$），二者参数符号一致，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；含参函数图象判断
【点评】
本题是典型的同参数函数图象判断题，解题关键是抓住公共参数的一致性，先通过固定的系数特征排除部分选项，再结合参数正负验证剩余选项，能有效考查对函数性质的掌握程度和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
解题思路：先根据一次函数的解析式确定其斜率特征，排除不符合的选项，再结合参数a的正负，分别判断一次函数的截距和二次函数的开口方向是否一致，最终选出正确选项。
第一步：一次函数$y=x+a$的一次项系数为$1＞0$，因此直线是从左下向右上倾斜的递增直线，据此可直接排除直线递减的C、D选项。
第二步：分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论剩余A、B选项：
①若$a＞0$：一次函数与y轴交点为$(0,a)$，在y轴正半轴，此时二次函数$y=ax^2$的二次项系数$a＞0$，开口应向上，对比A、B选项均不符合此情况。
②若$a＜0$：一次函数与y轴交点在y轴负半轴，此时二次函数$y=ax^2$的二次项系数$a＜0$，开口向下，验证得A中一次函数交点在y轴正半轴，矛盾；B中一次函数交点在y轴负半轴，二次函数开口向下，二者$a$的符号一致，符合要求。
【解析】
1. 分析一次函数图象特征：一次函数$y=x+a$的一次项系数为$1＞0$，因此直线呈上升趋势（从左下到右上），选项C、D的直线为下降趋势，直接排除C、D。
2. 分析参数$a$的符号对两个函数图象的影响：
若$a＞0$：一次函数与$y$轴交于正半轴，二次函数$y=ax^2$开口向上，剩余选项A、B中二次函数均开口向下，不符合该情况。
若$a＜0$：一次函数与$y$轴交于负半轴，二次函数$y=ax^2$开口向下：
A选项中一次函数与$y$轴交于正半轴，说明$a＞0$，和二次函数开口向下（$a＜0$）矛盾，排除A；
B选项中一次函数与$y$轴交于负半轴（$a＜0$），二次函数开口向下（$a＜0$），二者参数符号一致，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；含参函数图象判断
【点评】
本题是典型的同参数函数图象判断题，解题关键是抓住公共参数的一致性，先通过固定的系数特征排除部分选项，再结合参数正负验证剩余选项，能有效考查对函数性质的掌握程度和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
