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1. 下列说法正确的是().
A.直径是圆的对称轴
B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.与圆有两个交点的直线是圆的对称轴
D.与弦垂直的直线是圆的对称轴
A.直径是圆的对称轴
B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.与圆有两个交点的直线是圆的对称轴
D.与弦垂直的直线是圆的对称轴
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：一是对称轴的本质是直线，不是线段；二是圆是轴对称图形，所有对称轴都必须经过圆心。解题思路为：先依据上述两个核心要点，逐一排查每个选项的表述是否符合要求，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
首先明确：圆是轴对称图形，其对称轴为任意一条经过圆心的直线，且对称轴的定义为直线，不是线段。
对各选项逐一分析：
A. 直径是线段，而对称轴是直线，正确表述应为“直径所在的直线是圆的对称轴”，故A错误；
B. 经过圆心的直线，完全符合圆的对称轴的定义，故B正确；
C. 与圆有两个交点的直线是圆的割线，若割线不经过圆心则不是圆的对称轴，故C错误；
D. 只有垂直于弦且经过圆心的直线才是圆的对称轴，仅与弦垂直的直线不一定过圆心，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆的轴对称性
2. 对称轴的定义
3. 垂径定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易混淆直径（线段）和直线的区别，忽略圆的对称轴必须经过圆心的要求，做题时只要紧扣概念逐一验证选项即可准确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心概念：一是对称轴的本质是直线，不是线段；二是圆是轴对称图形，所有对称轴都必须经过圆心。解题思路为：先依据上述两个核心要点，逐一排查每个选项的表述是否符合要求，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
首先明确：圆是轴对称图形，其对称轴为任意一条经过圆心的直线，且对称轴的定义为直线，不是线段。
对各选项逐一分析：
A. 直径是线段，而对称轴是直线，正确表述应为“直径所在的直线是圆的对称轴”，故A错误；
B. 经过圆心的直线，完全符合圆的对称轴的定义，故B正确；
C. 与圆有两个交点的直线是圆的割线，若割线不经过圆心则不是圆的对称轴，故C错误；
D. 只有垂直于弦且经过圆心的直线才是圆的对称轴，仅与弦垂直的直线不一定过圆心，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆的轴对称性
2. 对称轴的定义
3. 垂径定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易混淆直径（线段）和直线的区别，忽略圆的对称轴必须经过圆心的要求，做题时只要紧扣概念逐一验证选项即可准确作答。
【难度系数】
0.8
2. 如图，P是$\odot O$内一点，且$OP=3$，$\odot O$的半径为5，在过点P的所有$\odot O$的弦中，长为整数的弦有()条.
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确过圆内一点的弦的长度最值规律：过圆内一点的最长弦是过该点的直径，最短弦是与该点和圆心连线垂直的弦。先计算出最长和最短弦的长度，确定弦长的取值范围，再找出范围内的整数值，结合圆的对称性计数不同长度的弦的数量即可。
【解析】
1. 求最长弦长：过点P的最长弦为$\odot O$的直径，长度为$2×5=10$，这样的弦只有1条。
2. 求最短弦长：过点P作弦$AB⊥ OP$，连接$OA$。根据垂径定理，$OP$平分$AB$，即$AP=\frac{1}{2}AB$。在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此最短弦长$AB=2AP=8$，这样的弦只有1条。
3. 计数整数弦的数量：过点P的弦长的取值范围是$8≤ l≤10$，其中整数弦长为8、9、10。除了长度为8和10的弦各1条外，长度为9的弦根据圆的对称性，在$OP$的两侧各有1条，共2条。
总共有$1+2+1=4$条符合要求的弦。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的对称性
【点评】
本题的易错点是容易漏算长度为9的弦的数量，解题时要结合圆的对称性分析，除了最长、最短弦各只有1条外，介于两者之间的整数长度的弦都有2条，避免计数错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确过圆内一点的弦的长度最值规律：过圆内一点的最长弦是过该点的直径，最短弦是与该点和圆心连线垂直的弦。先计算出最长和最短弦的长度，确定弦长的取值范围，再找出范围内的整数值，结合圆的对称性计数不同长度的弦的数量即可。
【解析】
1. 求最长弦长：过点P的最长弦为$\odot O$的直径，长度为$2×5=10$，这样的弦只有1条。
2. 求最短弦长：过点P作弦$AB⊥ OP$，连接$OA$。根据垂径定理，$OP$平分$AB$，即$AP=\frac{1}{2}AB$。在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此最短弦长$AB=2AP=8$，这样的弦只有1条。
3. 计数整数弦的数量：过点P的弦长的取值范围是$8≤ l≤10$，其中整数弦长为8、9、10。除了长度为8和10的弦各1条外，长度为9的弦根据圆的对称性，在$OP$的两侧各有1条，共2条。
总共有$1+2+1=4$条符合要求的弦。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的对称性
【点评】
本题的易错点是容易漏算长度为9的弦的数量，解题时要结合圆的对称性分析，除了最长、最短弦各只有1条外，介于两者之间的整数长度的弦都有2条，避免计数错误。
【难度系数】
0.6
3. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB为6 dm，如果再注入一些油后，油面AB上升1 dm，油面宽变为8 dm，截面的直径MN的长为().
A.6 dm
B.8 dm
C.10 dm
D.12 dm
A.6 dm
B.8 dm
C.10 dm
D.12 dm
答案
C
解析
【分析】
这道题考查垂径定理的应用，解题核心是构造由半径、弦长的一半、弦心距组成的直角三角形，结合勾股定理列方程求解。首先过圆心作弦AB的垂线，由垂径定理可得两条弦长度的一半，再结合油面上升的高度表示出两条弦对应的弦心距，利用半径相等列方程求出半径，即可得到直径。
【解析】
设截面圆的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{dm}$。
过点O作$OC⊥ AB$于点C，交上升后的油面（记为弦$EF$，$EF=8\ \mathrm{dm}$）于点D，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{dm}$，$ED=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{dm}$
设$OC=x\ \mathrm{dm}$，因为油面上升了$1\ \mathrm{dm}$，所以$OD=(x-1)\ \mathrm{dm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$，即$r^2=3^2+x^2$ ①
在$\mathrm{Rt}△ OED$中，由勾股定理得：$OE^2=ED^2+OD^2$，即$r^2=4^2+(x-1)^2$ ②
联立①②得：
$9+x^2=16+(x-1)^2$
展开化简得：$9=17-2x$，解得$x=4$。
将$x=4$代入①得：$r^2=9+16=25$，所以$r=5$（半径取正值）。
因此截面直径$MN=2r=10\ \mathrm{dm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的典型应用，通过构造直角三角形、用方程思想求解半径，是解决弦长、弦心距、半径相关计算的常用方法，解题时要注意弦心距的关系不要搞反。
【难度系数】
0.7
这道题考查垂径定理的应用，解题核心是构造由半径、弦长的一半、弦心距组成的直角三角形，结合勾股定理列方程求解。首先过圆心作弦AB的垂线，由垂径定理可得两条弦长度的一半，再结合油面上升的高度表示出两条弦对应的弦心距，利用半径相等列方程求出半径，即可得到直径。
【解析】
设截面圆的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{dm}$。
过点O作$OC⊥ AB$于点C，交上升后的油面（记为弦$EF$，$EF=8\ \mathrm{dm}$）于点D，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{dm}$，$ED=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{dm}$
设$OC=x\ \mathrm{dm}$，因为油面上升了$1\ \mathrm{dm}$，所以$OD=(x-1)\ \mathrm{dm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$，即$r^2=3^2+x^2$ ①
在$\mathrm{Rt}△ OED$中，由勾股定理得：$OE^2=ED^2+OD^2$，即$r^2=4^2+(x-1)^2$ ②
联立①②得：
$9+x^2=16+(x-1)^2$
展开化简得：$9=17-2x$，解得$x=4$。
将$x=4$代入①得：$r^2=9+16=25$，所以$r=5$（半径取正值）。
因此截面直径$MN=2r=10\ \mathrm{dm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的典型应用，通过构造直角三角形、用方程思想求解半径，是解决弦长、弦心距、半径相关计算的常用方法，解题时要注意弦心距的关系不要搞反。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 在$\odot O$中，直径$CD ⊥$弦$AB$于点$E$.
（1）若$AB=8$，$OE=3$，则$\odot O$半径的长为；
（2）若$CD=10$，$DE=2$，则$AB$的长为；
（3）若$\odot O$的半径为$5$，$AB=8$，则$DE$的长为.
4. 在$\odot O$中，直径$CD ⊥$弦$AB$于点$E$.
（1）若$AB=8$，$OE=3$，则$\odot O$半径的长为；
（2）若$CD=10$，$DE=2$，则$AB$的长为；
（3）若$\odot O$的半径为$5$，$AB=8$，则$DE$的长为.
答案
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）$\boldsymbol{8}$；（3）$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
本题考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题核心是利用“垂直于弦的直径平分弦”的性质，得到半弦长，再结合半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，用勾股定理计算未知量。解题步骤：1. 连接半径构造直角三角形；2. 利用垂径定理求出半弦长；3. 结合已知条件求出直角三角形的另外两条边长，用勾股定理求解待求量。
【解析】
（1）连接OA，
∵直径CD⊥弦AB，AB=8，根据垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=4$。
在$Rt△ OAE$中，$OE=3$，$AE=4$，由勾股定理得：$OA=\sqrt{OE^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即$\odot O$的半径为5。
（2）
∵CD是$\odot O$的直径，$CD=10$，
∴半径$OA=OD=5$。
∵$DE=2$，
∴$OE=OD-DE=5-2=3$。
由直径CD⊥弦AB，根据垂径定理得$AB=2AE$，在$Rt△ OAE$中，$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴$AB=2×4=8$。
（3）
∵$\odot O$的半径为5，
∴$OA=OD=5$。
∵直径CD⊥弦AB，$AB=8$，根据垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=4$。
在$Rt△ OAE$中，$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴$DE=OD-OE=5-3=2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）$\boldsymbol{8}$；（3）$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题关键是熟练掌握垂径定理，明确“半径、弦心距、半弦长”构成的直角三角形模型，将圆的计算问题转化为直角三角形的求解问题即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题核心是利用“垂直于弦的直径平分弦”的性质，得到半弦长，再结合半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，用勾股定理计算未知量。解题步骤：1. 连接半径构造直角三角形；2. 利用垂径定理求出半弦长；3. 结合已知条件求出直角三角形的另外两条边长，用勾股定理求解待求量。
【解析】
（1）连接OA，
∵直径CD⊥弦AB，AB=8，根据垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=4$。
在$Rt△ OAE$中，$OE=3$，$AE=4$，由勾股定理得：$OA=\sqrt{OE^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即$\odot O$的半径为5。
（2）
∵CD是$\odot O$的直径，$CD=10$，
∴半径$OA=OD=5$。
∵$DE=2$，
∴$OE=OD-DE=5-2=3$。
由直径CD⊥弦AB，根据垂径定理得$AB=2AE$，在$Rt△ OAE$中，$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴$AB=2×4=8$。
（3）
∵$\odot O$的半径为5，
∴$OA=OD=5$。
∵直径CD⊥弦AB，$AB=8$，根据垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=4$。
在$Rt△ OAE$中，$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴$DE=OD-OE=5-3=2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）$\boldsymbol{8}$；（3）$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题关键是熟练掌握垂径定理，明确“半径、弦心距、半弦长”构成的直角三角形模型，将圆的计算问题转化为直角三角形的求解问题即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$\odot O$的半径$OD⊥$弦$AB$于点$C$，连接$AO$并延长交$\odot O$于点$E$，连接$EB$.若$AB=4$，$CD=1$，则$EB$的长为________.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件$OD⊥$弦$AB$，联想到垂径定理，可得到$AB$被平分的结论；接着设圆的半径为$r$，用含$r$的代数式表示出$Rt△ AOC$的未知边长，利用勾股定理列方程求出半径，进而得到$OC$的长度；最后根据直径的性质判断$OC$是$△ ABE$的中位线，利用中位线性质即可求出$EB$的长度。
【解析】
解：$\because OD⊥ AB$，$OD$是$\odot O$的半径，$AB$是弦
$\therefore$由垂径定理得：$AC=CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
设$\odot O$的半径为$r$，则$AO=OD=r$，$OC=OD-CD=r-1$
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$AO^2=AC^2+OC^2$
代入得$r^2=2^2+(r-1)^2$
展开化简：$r^2=4+r^2-2r+1$，解得$r=2.5$
$\therefore OC=2.5-1=1.5$
$\because AE$是$\odot O$的直径，$\therefore O$是$AE$的中点，又$C$是$AB$的中点
$\therefore OC$是$△ ABE$的中位线
$\therefore EB=2OC=2×1.5=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，需要将圆的性质和三角形定理结合应用，解题核心是通过垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求半径，再结合中位线性质得到结论，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件$OD⊥$弦$AB$，联想到垂径定理，可得到$AB$被平分的结论；接着设圆的半径为$r$，用含$r$的代数式表示出$Rt△ AOC$的未知边长，利用勾股定理列方程求出半径，进而得到$OC$的长度；最后根据直径的性质判断$OC$是$△ ABE$的中位线，利用中位线性质即可求出$EB$的长度。
【解析】
解：$\because OD⊥ AB$，$OD$是$\odot O$的半径，$AB$是弦
$\therefore$由垂径定理得：$AC=CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
设$\odot O$的半径为$r$，则$AO=OD=r$，$OC=OD-CD=r-1$
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$AO^2=AC^2+OC^2$
代入得$r^2=2^2+(r-1)^2$
展开化简：$r^2=4+r^2-2r+1$，解得$r=2.5$
$\therefore OC=2.5-1=1.5$
$\because AE$是$\odot O$的直径，$\therefore O$是$AE$的中点，又$C$是$AB$的中点
$\therefore OC$是$△ ABE$的中位线
$\therefore EB=2OC=2×1.5=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，需要将圆的性质和三角形定理结合应用，解题核心是通过垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求半径，再结合中位线性质得到结论，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 图(1)是老街某处中式圆形门，图(2)是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直弦CD于点B，测得门洞高度AB为1.8 m，门洞下沿CD宽为1.2 m，则该圆形门洞的半径长为。
答案
解：连接OC，设该圆形门洞的半径为r m。
∵ AB过圆心O，AB⊥CD，CD=1.2 m，
∴ 由垂径定理得：$CB = \frac{1}{2}CD = 0.6\ \mathrm{m}$。
∵ OA=OC=r，AB=1.8 m，
∴ OB = AB - OA = $(1.8 - r)\ \mathrm{m}$。
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$OC^2 = OB^2 + CB^2$，
即 $r^2 = (1.8 - r)^2 + 0.6^2$，
整理得：$3.6r = 3.6$，
解得 $r=1$。
故该圆形门洞的半径长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$。
∵ AB过圆心O，AB⊥CD，CD=1.2 m，
∴ 由垂径定理得：$CB = \frac{1}{2}CD = 0.6\ \mathrm{m}$。
∵ OA=OC=r，AB=1.8 m，
∴ OB = AB - OA = $(1.8 - r)\ \mathrm{m}$。
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$OC^2 = OB^2 + CB^2$，
即 $r^2 = (1.8 - r)^2 + 0.6^2$，
整理得：$3.6r = 3.6$，
解得 $r=1$。
故该圆形门洞的半径长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$。
解析
【分析】
本题是圆的实际应用问题，解题时先将实际问题转化为圆的几何模型：要求圆的半径，首先连接半径OC，构造直角三角形；其次利用垂径定理得到弦CD一半的长度，再用含半径r的式子表示出直角三角形另一条直角边OB的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：连接OC，设该圆形门洞的半径为r m。
∵ AB过圆心O，AB⊥CD，CD=1.2 m，
∴ 由垂径定理得：$CB = \frac{1}{2}CD = 0.6\ \mathrm{m}$。
∵ OA=OC=r，AB=1.8 m，
∴ OB = AB - OA = $(1.8 - r)\ \mathrm{m}$。
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$OC^2 = OB^2 + CB^2$，
即 $r^2 = (1.8 - r)^2 + 0.6^2$，
整理得：$3.6r = 3.6$，
解得 $r=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关计算，解题关键是将实际问题转化为几何模型，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
本题是圆的实际应用问题，解题时先将实际问题转化为圆的几何模型：要求圆的半径，首先连接半径OC，构造直角三角形；其次利用垂径定理得到弦CD一半的长度，再用含半径r的式子表示出直角三角形另一条直角边OB的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：连接OC，设该圆形门洞的半径为r m。
∵ AB过圆心O，AB⊥CD，CD=1.2 m，
∴ 由垂径定理得：$CB = \frac{1}{2}CD = 0.6\ \mathrm{m}$。
∵ OA=OC=r，AB=1.8 m，
∴ OB = AB - OA = $(1.8 - r)\ \mathrm{m}$。
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$OC^2 = OB^2 + CB^2$，
即 $r^2 = (1.8 - r)^2 + 0.6^2$，
整理得：$3.6r = 3.6$，
解得 $r=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关计算，解题关键是将实际问题转化为几何模型，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
