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一、选择题
1. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=kx - k$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象可能是().
1. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=kx - k$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象可能是().
答案
A
解析
【分析】
要判断两个函数图象是否匹配，需结合参数$k$的正负分类讨论：先明确反比例函数、一次函数的图象特征和参数$k$的对应关系，分$k＞0$、$k＜0$两种情况，逐一验证每个选项中两个函数的图象是否对应同一$k$的取值范围，排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$的斜率$k＞0$，图象呈上升趋势，截距为$-k＜0$，因此图象过第一、三、四象限。观察选项，C中一次函数图象呈下降趋势，D中一次函数与$y$轴交于正半轴，均不符合要求，排除C、D。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx-k$的斜率$k＜0$，图象呈下降趋势，截距为$-k＞0$，因此图象过第一、二、四象限。观察选项，B中一次函数图象呈上升趋势，不符合要求，排除B；A中两个函数的图象均符合$k＜0$的特征，符合要求。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的基础常考题型，解题核心是掌握函数系数与图象特征的对应关系，通过分类讨论参数取值即可快速筛选正确选项，考察学生对函数性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数图象是否匹配，需结合参数$k$的正负分类讨论：先明确反比例函数、一次函数的图象特征和参数$k$的对应关系，分$k＞0$、$k＜0$两种情况，逐一验证每个选项中两个函数的图象是否对应同一$k$的取值范围，排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$的斜率$k＞0$，图象呈上升趋势，截距为$-k＜0$，因此图象过第一、三、四象限。观察选项，C中一次函数图象呈下降趋势，D中一次函数与$y$轴交于正半轴，均不符合要求，排除C、D。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx-k$的斜率$k＜0$，图象呈下降趋势，截距为$-k＞0$，因此图象过第一、二、四象限。观察选项，B中一次函数图象呈上升趋势，不符合要求，排除B；A中两个函数的图象均符合$k＜0$的特征，符合要求。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的基础常考题型，解题核心是掌握函数系数与图象特征的对应关系，通过分类讨论参数取值即可快速筛选正确选项，考察学生对函数性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图，反比例函数 $ y_1 = \frac{k_1}{x} $ 和正比例函数 $ y_2 = k_2 x $ 的图象交于 $ A(-1, -3) $，$ B(1, 3) $ 两点.若 $ \frac{k_1}{x} ＞ k_2 x $，则 $ x $ 的取值范围是().
A.$ -1 ＜ x ＜ 0 $
B.$ -1 ＜ x ＜ 1 $
C.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $
A.$ -1 ＜ x ＜ 0 $
B.$ -1 ＜ x ＜ 1 $
C.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $
答案
C
解析
【分析】
要解不等式$\frac{k_1}{x} ＞ k_2x$，可转化为寻找反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象在正比例函数$y_2=k_2x$图象上方时对应的x的取值范围。由于反比例函数自变量$x≠0$，需要分$x＜0$和$x＞0$两个区间结合图象分析：先参考负半轴的交点$A(-1,-3)$判断负半轴上符合条件的区间，再参考正半轴的交点$B(1,3)$判断正半轴上符合条件的区间，最后合并区间即可得到结果。
【解析】
不等式$\frac{k_1}{x} ＞ k_2x$的几何意义是反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象位于正比例函数$y_2=k_2x$图象的上方：
1. 当$x＜0$时，两函数交点为$A(-1,-3)$，观察图象可知，当$x ＜ -1$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，满足$\frac{k_1}{x} ＞ k_2x$；
2. 当$x＞0$时，两函数交点为$B(1,3)$，观察图象可知，当$0 ＜ x ＜ 1$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，满足$\frac{k_1}{x} ＞ k_2x$。
综上，x的取值范围是$x ＜ -1$或$0 ＜ x ＜ 1$。
【答案】
C
【知识点】
反比例与一次函数交点；函数值比较；数形结合
【点评】
本题核心考查利用函数图象比较函数值大小，解题的关键是将不等式关系转化为函数图象的上下位置关系，解题时注意反比例函数自变量不为0，需分正负区间讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解不等式$\frac{k_1}{x} ＞ k_2x$，可转化为寻找反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象在正比例函数$y_2=k_2x$图象上方时对应的x的取值范围。由于反比例函数自变量$x≠0$，需要分$x＜0$和$x＞0$两个区间结合图象分析：先参考负半轴的交点$A(-1,-3)$判断负半轴上符合条件的区间，再参考正半轴的交点$B(1,3)$判断正半轴上符合条件的区间，最后合并区间即可得到结果。
【解析】
不等式$\frac{k_1}{x} ＞ k_2x$的几何意义是反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象位于正比例函数$y_2=k_2x$图象的上方：
1. 当$x＜0$时，两函数交点为$A(-1,-3)$，观察图象可知，当$x ＜ -1$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，满足$\frac{k_1}{x} ＞ k_2x$；
2. 当$x＞0$时，两函数交点为$B(1,3)$，观察图象可知，当$0 ＜ x ＜ 1$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，满足$\frac{k_1}{x} ＞ k_2x$。
综上，x的取值范围是$x ＜ -1$或$0 ＜ x ＜ 1$。
【答案】
C
【知识点】
反比例与一次函数交点；函数值比较；数形结合
【点评】
本题核心考查利用函数图象比较函数值大小，解题的关键是将不等式关系转化为函数图象的上下位置关系，解题时注意反比例函数自变量不为0，需分正负区间讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数$y=\frac{k^2 + 2k + 1}{x}$的图象上. 若点A的坐标为$(-2, -2)$，则k的值为().
A.1
B.$-3$
C.4
D.1或$-3$
A.1
B.$-3$
C.4
D.1或$-3$
答案
D
解析
【分析】
解题思路：首先根据矩形边平行于坐标轴、已知点A的坐标，设出B、D、C三点的坐标；再利用对角线BD过原点，即B、O、D三点在同一条正比例函数图象上，推导得出点C横、纵坐标的乘积；最后结合反比例函数图象上点的坐标特征（横纵坐标乘积等于比例系数）列方程求解即可。
【解析】
∵矩形ABCD的边分别平行于坐标轴，点A的坐标为$(-2,-2)$
∴可设点$B(-2,b)$，点$D(d,-2)$，则点C的坐标为$(d,b)$
∵对角线BD经过坐标原点，即B、O、D三点共线，在正比例函数图象上
∴点B、D满足正比例函数关系，即$\frac{b}{-2}=\frac{-2}{d}$（两点与原点连线的斜率相等），整理得$bd=4$
又
∵点$C(d,b)$在反比例函数$y=\frac{k^2 + 2k + 1}{x}$的图象上
∴将C点坐标代入反比例函数得：$b=\frac{k^2 + 2k + 1}{d}$，即$bd=k^2 + 2k + 1$
结合$bd=4$，可得方程：$k^2 + 2k + 1=4$
整理得$(k+1)^2=4$，解得$k+1=2$或$k+1=-2$，即$k=1$或$k=-3$
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；解一元二次方程
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常考题型，解题核心是利用共线特征推导目标点横纵坐标的乘积，再结合反比例函数的性质列方程求解，注意解一元二次方程时不要漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先根据矩形边平行于坐标轴、已知点A的坐标，设出B、D、C三点的坐标；再利用对角线BD过原点，即B、O、D三点在同一条正比例函数图象上，推导得出点C横、纵坐标的乘积；最后结合反比例函数图象上点的坐标特征（横纵坐标乘积等于比例系数）列方程求解即可。
【解析】
∵矩形ABCD的边分别平行于坐标轴，点A的坐标为$(-2,-2)$
∴可设点$B(-2,b)$，点$D(d,-2)$，则点C的坐标为$(d,b)$
∵对角线BD经过坐标原点，即B、O、D三点共线，在正比例函数图象上
∴点B、D满足正比例函数关系，即$\frac{b}{-2}=\frac{-2}{d}$（两点与原点连线的斜率相等），整理得$bd=4$
又
∵点$C(d,b)$在反比例函数$y=\frac{k^2 + 2k + 1}{x}$的图象上
∴将C点坐标代入反比例函数得：$b=\frac{k^2 + 2k + 1}{d}$，即$bd=k^2 + 2k + 1$
结合$bd=4$，可得方程：$k^2 + 2k + 1=4$
整理得$(k+1)^2=4$，解得$k+1=2$或$k+1=-2$，即$k=1$或$k=-3$
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；解一元二次方程
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常考题型，解题核心是利用共线特征推导目标点横纵坐标的乘积，再结合反比例函数的性质列方程求解，注意解一元二次方程时不要漏解。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 过反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$图象上一点A，分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C.如果$△ ABC$的面积为3，则k的值为.
4. 过反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$图象上一点A，分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C.如果$△ ABC$的面积为3，则k的值为.
答案
$\boldsymbol{\pm6}$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的基本性质，过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，该点与两垂足围成的直角三角形的两条直角边长度等于该点横、纵坐标的绝对值；再结合点在反比例函数上横纵坐标乘积等于k的特点，利用三角形面积公式列关于|k|的方程，最后求解时注意k可正可负，不要漏解。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
由题意可知，$AB⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，x轴与y轴互相垂直，因此$∠ BAC=90°$，
其中$AC=|x|$，$AB=|y|$。
根据直角三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}· AC· AB=\dfrac{1}{2}· |x|· |y|=\dfrac{1}{2}|xy|=\dfrac{1}{2}|k|$
已知$△ ABC$的面积为3，因此：
$\dfrac{1}{2}|k|=3$
解得$|k|=6$，即$k=\pm6$。
【答案】
$\boldsymbol{\pm6}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积公式，绝对值运算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查对反比例函数中k的几何意义的理解，解题时需注意k的符号有两种情况，避免漏写负号。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数的基本性质，过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，该点与两垂足围成的直角三角形的两条直角边长度等于该点横、纵坐标的绝对值；再结合点在反比例函数上横纵坐标乘积等于k的特点，利用三角形面积公式列关于|k|的方程，最后求解时注意k可正可负，不要漏解。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
由题意可知，$AB⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，x轴与y轴互相垂直，因此$∠ BAC=90°$，
其中$AC=|x|$，$AB=|y|$。
根据直角三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}· AC· AB=\dfrac{1}{2}· |x|· |y|=\dfrac{1}{2}|xy|=\dfrac{1}{2}|k|$
已知$△ ABC$的面积为3，因此：
$\dfrac{1}{2}|k|=3$
解得$|k|=6$，即$k=\pm6$。
【答案】
$\boldsymbol{\pm6}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积公式，绝对值运算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查对反比例函数中k的几何意义的理解，解题时需注意k的符号有两种情况，避免漏写负号。
【难度系数】
0.7
5. 设函数$y=\frac{2}{x}$与$y=x-1$的图象的交点坐标为$(a,b)$，则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值为________。
y
3
M
$y=kx-b$
y
3
M
$y=kx-b$
答案
$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
首先明确函数交点坐标的含义：交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可将交点$(a,b)$代入两个函数表达式，得到$ab$与$b-a$的值；再将所求的代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分变形为含$ab$和$b-a$的形式，最后整体代入计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
∵ 点$(a,b)$是函数$y=\frac{2}{x}$与$y=x-1$的图象的交点，
∴ 将$(a,b)$代入两个函数解析式，可得：
$b=\frac{2}{a}$，整理得$ab=2$；
$b=a-1$，整理得$b-a=-1$。
对所求代数式通分变形：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$。
将$ab=2$，$b-a=-1$代入上式，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
函数交点的意义；分式化简；整体代入求值
【点评】
本题是反比例函数与一次函数结合的基础题型，解题关键是理解交点坐标的性质，灵活运用代数式变形和整体代入的方法简化计算，避免求解参数的具体值，减少计算量。
【难度系数】
0.7
首先明确函数交点坐标的含义：交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可将交点$(a,b)$代入两个函数表达式，得到$ab$与$b-a$的值；再将所求的代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分变形为含$ab$和$b-a$的形式，最后整体代入计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
∵ 点$(a,b)$是函数$y=\frac{2}{x}$与$y=x-1$的图象的交点，
∴ 将$(a,b)$代入两个函数解析式，可得：
$b=\frac{2}{a}$，整理得$ab=2$；
$b=a-1$，整理得$b-a=-1$。
对所求代数式通分变形：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$。
将$ab=2$，$b-a=-1$代入上式，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
函数交点的意义；分式化简；整体代入求值
【点评】
本题是反比例函数与一次函数结合的基础题型，解题关键是理解交点坐标的性质，灵活运用代数式变形和整体代入的方法简化计算，避免求解参数的具体值，减少计算量。
【难度系数】
0.7
6. 如图，反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象与一次函数$y=kx - b$的图象交于点M，N.已知点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为－1.根据图象信息可得关于x的方程$\frac{m}{x}=kx - b$的解为.
答案
解：
∵点$M(1,3)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴将$M(1,3)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{1}$，
解得$m=3$，即反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
∵点$N$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，且点$N$的纵坐标为$-1$，
∴令$y=-1$，则$-1=\frac{3}{x}$，
解得$x=-3$，即点$N$的坐标为$(-3,-1)$。
∵方程$\frac{m}{x}=kx-b$的解就是反比例函数$y=\frac{m}{x}$与一次函数$y=kx-b$图象交点的横坐标，
∴该方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$。
∵点$M(1,3)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴将$M(1,3)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{1}$，
解得$m=3$，即反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
∵点$N$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，且点$N$的纵坐标为$-1$，
∴令$y=-1$，则$-1=\frac{3}{x}$，
解得$x=-3$，即点$N$的坐标为$(-3,-1)$。
∵方程$\frac{m}{x}=kx-b$的解就是反比例函数$y=\frac{m}{x}$与一次函数$y=kx-b$图象交点的横坐标，
∴该方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$。
解析
【分析】
要解关于x的方程$\frac{m}{x}=kx - b$，其解本质是反比例函数$y=\frac{m}{x}$和一次函数$y=kx-b$图象交点的横坐标。我们已知其中一个交点M的坐标，可先代入反比例函数求出m的值，确定反比例函数解析式；再结合点N的纵坐标，代入反比例函数求出点N的横坐标，最终得到两个交点的横坐标就是方程的解。
【解析】
∵点$M(1,3)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴将$M(1,3)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{1}$，
解得$m=3$，即反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
∵点$N$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，且点$N$的纵坐标为$-1$，
∴令$y=-1$，则$-1=\frac{3}{x}$，
解得$x=-3$，即点$N$的坐标为$(-3,-1)$。
∵方程$\frac{m}{x}=kx-b$的解就是反比例函数$y=\frac{m}{x}$与一次函数$y=kx-b$图象交点的横坐标，
∴该方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=1$，$x_2=-3$
【知识点】
反比例函数解析式求解；函数与方程的关系；一次函数与反比例函数交点
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是明确两个函数图象交点的横坐标就是对应方程的解，先确定反比例函数解析式，再求解另一个交点坐标即可得到答案。
【难度系数】
0.7
要解关于x的方程$\frac{m}{x}=kx - b$，其解本质是反比例函数$y=\frac{m}{x}$和一次函数$y=kx-b$图象交点的横坐标。我们已知其中一个交点M的坐标，可先代入反比例函数求出m的值，确定反比例函数解析式；再结合点N的纵坐标，代入反比例函数求出点N的横坐标，最终得到两个交点的横坐标就是方程的解。
【解析】
∵点$M(1,3)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴将$M(1,3)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{1}$，
解得$m=3$，即反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
∵点$N$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，且点$N$的纵坐标为$-1$，
∴令$y=-1$，则$-1=\frac{3}{x}$，
解得$x=-3$，即点$N$的坐标为$(-3,-1)$。
∵方程$\frac{m}{x}=kx-b$的解就是反比例函数$y=\frac{m}{x}$与一次函数$y=kx-b$图象交点的横坐标，
∴该方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=1$，$x_2=-3$
【知识点】
反比例函数解析式求解；函数与方程的关系；一次函数与反比例函数交点
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是明确两个函数图象交点的横坐标就是对应方程的解，先确定反比例函数解析式，再求解另一个交点坐标即可得到答案。
【难度系数】
0.7
