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三、解答题
7. 如图，反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$与一次函数$y=k_2x+b$的图象交于$A(1,8)$，$B(-4,m)$两点.
(1) 求$k_1$，$k_2$，$b$的值；
(2) 求$△ AOB$的面积；
(3) 若$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$是反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$图象上的两点，且$x_1 ＜ x_2$，$y_1 ＜ y_2$，指出点$M$，$N$各位于哪个象限，并简要说明理由.
7. 如图，反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$与一次函数$y=k_2x+b$的图象交于$A(1,8)$，$B(-4,m)$两点.
(1) 求$k_1$，$k_2$，$b$的值；
(2) 求$△ AOB$的面积；
(3) 若$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$是反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$图象上的两点，且$x_1 ＜ x_2$，$y_1 ＜ y_2$，指出点$M$，$N$各位于哪个象限，并简要说明理由.
答案
解：
(1) 把$A(1,8)$代入$y=\frac{k_1}{x}$，得$8=\frac{k_1}{1}$，解得$k_1=8$。
将$B(-4,m)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$m=\frac{8}{-4}=-2$，即$B(-4,-2)$。
把$A(1,8)$、$B(-4,-2)$代入$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases}k_2 + b = 8 \\ -4k_2 + b = -2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=2 \\ b=6\end{cases}$。
因此$k_1=8$，$k_2=2$，$b=6$。
(2) 设直线$y=2x+6$与$x$轴交于点$C$，令$y=0$，则$2x+6=0$，解得$x=-3$，即$C(-3,0)$，$OC=3$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}× OC× |y_A| + \frac{1}{2}× OC× |y_B|\\&=\frac{1}{2}× 3× 8 + \frac{1}{2}× 3× 2\\&=15\end{aligned}$
(3) 点$M$在第三象限，点$N$在第一象限。
理由：反比例函数$y=\frac{8}{x}$中$k_1=8＞0$，图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
若$x_1＜x_2$且$y_1＜y_2$，说明两点不在同一象限，因此$x_1＜0＜x_2$，故$M(x_1,y_1)$在第三象限，$N(x_2,y_2)$在第一象限。
(1) 把$A(1,8)$代入$y=\frac{k_1}{x}$，得$8=\frac{k_1}{1}$，解得$k_1=8$。
将$B(-4,m)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$m=\frac{8}{-4}=-2$，即$B(-4,-2)$。
把$A(1,8)$、$B(-4,-2)$代入$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases}k_2 + b = 8 \\ -4k_2 + b = -2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=2 \\ b=6\end{cases}$。
因此$k_1=8$，$k_2=2$，$b=6$。
(2) 设直线$y=2x+6$与$x$轴交于点$C$，令$y=0$，则$2x+6=0$，解得$x=-3$，即$C(-3,0)$，$OC=3$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}× OC× |y_A| + \frac{1}{2}× OC× |y_B|\\&=\frac{1}{2}× 3× 8 + \frac{1}{2}× 3× 2\\&=15\end{aligned}$
(3) 点$M$在第三象限，点$N$在第一象限。
理由：反比例函数$y=\frac{8}{x}$中$k_1=8＞0$，图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
若$x_1＜x_2$且$y_1＜y_2$，说明两点不在同一象限，因此$x_1＜0＜x_2$，故$M(x_1,y_1)$在第三象限，$N(x_2,y_2)$在第一象限。
解析
【分析】
(1) 求$k_1$可直接将点$A$坐标代入反比例函数解析式；得到$k_1$后确定反比例函数解析式，再将$B$点横坐标代入求出$m$，得到$B$点完整坐标，最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到$k_2$、$b$的值。
(2) 求$△ AOB$的面积时，可先找到一次函数与$x$轴的交点$C$，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$两个三角形，两个三角形均以$OC$为底，分别以$A$、$B$两点的纵坐标绝对值为高，分别计算面积后求和即可。
(3) 先根据$k_1$的正负判断反比例函数的图象分布和增减性，已知$x_1＜x_2$时$y_1＜y_2$，若两点在同一象限，由反比例函数增减性可知$y$应随$x$增大而减小，与已知条件矛盾，因此两点不在同一象限，即可判断两点所在象限。
【解析】
(1) 把$A(1,8)$代入$y=\frac{k_1}{x}$，得$8=\frac{k_1}{1}$，解得$k_1=8$。
将$B(-4,m)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$m=\frac{8}{-4}=-2$，即$B(-4,-2)$。
把$A(1,8)$、$B(-4,-2)$代入$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases}k_2 + b = 8 \\ -4k_2 + b = -2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=2 \\ b=6\end{cases}$。
因此$k_1=8$，$k_2=2$，$b=6$。
(2) 设直线$y=2x+6$与$x$轴交于点$C$，令$y=0$，则$2x+6=0$，解得$x=-3$，即$C(-3,0)$，$OC=3$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}× OC× |y_A| + \frac{1}{2}× OC× |y_B|\\&=\frac{1}{2}× 3× 8 + \frac{1}{2}× 3× 2\\&=15\end{aligned}$
(3) 点$M$在第三象限，点$N$在第一象限。
理由：反比例函数$y=\frac{8}{x}$中$k_1=8＞0$，图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
若$x_1＜x_2$且$y_1＜y_2$，说明两点不在同一象限，因此$x_1＜0＜x_2$，故$M(x_1,y_1)$在第三象限，$N(x_2,y_2)$在第一象限。
【答案】
(1) $k_1=8$，$k_2=2$，$b=6$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{15}$；
(3) 点$M$在第三象限，点$N$在第一象限。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 反比例函数的图象与性质
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，考查了待定系数法求解析式、割补法求坐标系中图形面积、反比例函数增减性的应用，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免忽略前提导致判断错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求$k_1$可直接将点$A$坐标代入反比例函数解析式；得到$k_1$后确定反比例函数解析式，再将$B$点横坐标代入求出$m$，得到$B$点完整坐标，最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到$k_2$、$b$的值。
(2) 求$△ AOB$的面积时，可先找到一次函数与$x$轴的交点$C$，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$两个三角形，两个三角形均以$OC$为底，分别以$A$、$B$两点的纵坐标绝对值为高，分别计算面积后求和即可。
(3) 先根据$k_1$的正负判断反比例函数的图象分布和增减性，已知$x_1＜x_2$时$y_1＜y_2$，若两点在同一象限，由反比例函数增减性可知$y$应随$x$增大而减小，与已知条件矛盾，因此两点不在同一象限，即可判断两点所在象限。
【解析】
(1) 把$A(1,8)$代入$y=\frac{k_1}{x}$，得$8=\frac{k_1}{1}$，解得$k_1=8$。
将$B(-4,m)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$m=\frac{8}{-4}=-2$，即$B(-4,-2)$。
把$A(1,8)$、$B(-4,-2)$代入$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases}k_2 + b = 8 \\ -4k_2 + b = -2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=2 \\ b=6\end{cases}$。
因此$k_1=8$，$k_2=2$，$b=6$。
(2) 设直线$y=2x+6$与$x$轴交于点$C$，令$y=0$，则$2x+6=0$，解得$x=-3$，即$C(-3,0)$，$OC=3$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}× OC× |y_A| + \frac{1}{2}× OC× |y_B|\\&=\frac{1}{2}× 3× 8 + \frac{1}{2}× 3× 2\\&=15\end{aligned}$
(3) 点$M$在第三象限，点$N$在第一象限。
理由：反比例函数$y=\frac{8}{x}$中$k_1=8＞0$，图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
若$x_1＜x_2$且$y_1＜y_2$，说明两点不在同一象限，因此$x_1＜0＜x_2$，故$M(x_1,y_1)$在第三象限，$N(x_2,y_2)$在第一象限。
【答案】
(1) $k_1=8$，$k_2=2$，$b=6$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{15}$；
(3) 点$M$在第三象限，点$N$在第一象限。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 反比例函数的图象与性质
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，考查了待定系数法求解析式、割补法求坐标系中图形面积、反比例函数增减性的应用，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免忽略前提导致判断错误。
【难度系数】
0.7
8. 某种原料需要达到$60°\mathrm{C}$及以上才能进行零件加工，下图表示原料的温度$y$与时间$x$之间的关系，其中线段$AB$表示原料加热阶段；线段$BC // x$轴，表示原料的恒温阶段；曲线$CD$是双曲线$y=\frac{2100}{x}$的一部分，表示原料的降温阶段。根据图象回答下列问题：
(1) $a$的值为；
(2) 求线段$AB$对应的函数表达式；
(3) 求可进行零件加工的时间长度。
(1) $a$的值为；
(2) 求线段$AB$对应的函数表达式；
(3) 求可进行零件加工的时间长度。
答案
解：
(1) 由题意可知点$C(a,100)$在双曲线$y=\frac{2100}{x}$上，将$y=100$代入得：
$100=\frac{2100}{a}$，解得$a=21$。
故答案为：$\boldsymbol{21}$。
(2) 设线段$AB$对应的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$，$0≤x≤10$），
将$A(0,20)$、$B(10,100)$代入表达式：
把$x=0,y=20$代入得$b=20$，
把$x=10,y=100$、$b=20$代入得$10k+20=100$，解得$k=8$，
所以线段$AB$对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=8x+20\ (0≤x≤10)}$。
(3) 令加热阶段$y=60$，代入$y=8x+20$得：
$8x+20=60$，解得$x=5$。
令降温阶段$y=60$，代入$y=\frac{2100}{x}$得：
$60=\frac{2100}{x}$，解得$x=35$。
可进行零件加工的时间长度为$35-5=30$（min）。
答：可进行零件加工的时间长度为30分钟。
(1) 由题意可知点$C(a,100)$在双曲线$y=\frac{2100}{x}$上，将$y=100$代入得：
$100=\frac{2100}{a}$，解得$a=21$。
故答案为：$\boldsymbol{21}$。
(2) 设线段$AB$对应的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$，$0≤x≤10$），
将$A(0,20)$、$B(10,100)$代入表达式：
把$x=0,y=20$代入得$b=20$，
把$x=10,y=100$、$b=20$代入得$10k+20=100$，解得$k=8$，
所以线段$AB$对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=8x+20\ (0≤x≤10)}$。
(3) 令加热阶段$y=60$，代入$y=8x+20$得：
$8x+20=60$，解得$x=5$。
令降温阶段$y=60$，代入$y=\frac{2100}{x}$得：
$60=\frac{2100}{x}$，解得$x=35$。
可进行零件加工的时间长度为$35-5=30$（min）。
答：可进行零件加工的时间长度为30分钟。
解析
【分析】
解题时先结合图象明确各阶段对应的函数类型：①降温阶段CD是反比例函数，点C坐标为(a,100)，代入反比例函数解析式即可求出a的值；②线段AB是一次函数，已知A、B两点坐标，用待定系数法即可求出AB对应的函数表达式；③要求可加工的时间长度，需要分别求出加热阶段温度第一次达到60℃的时间，和降温阶段温度降到60℃的时间，两个时间的差值就是符合要求的加工时长。
【解析】
(1) 由题意可知点C(a,100)在双曲线$y=\frac{2100}{x}$上，将$y=100$代入反比例函数解析式得：
$100=\frac{2100}{a}$，解得$a=21$。
(2) 设线段AB对应的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$，$0≤x≤10$），
由图象可知A点坐标为(0,20)，B点坐标为(10,100)，
将$x=0,y=20$代入得$b=20$，
将$x=10,y=100$、$b=20$代入得$10k+20=100$，解得$k=8$，
因此线段AB对应的函数表达式为$y=8x+20\ (0≤x≤10)$。
(3) 先求加热阶段温度达到60℃的时间：令$y=60$，代入$y=8x+20$，
得$8x+20=60$，解得$x=5$。
再求降温阶段温度降到60℃的时间：令$y=60$，代入$y=\frac{2100}{x}$，
得$60=\frac{2100}{x}$，解得$x=35$。
可进行零件加工的时间长度为$35-5=30$（min）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{21}$
(2) $\boldsymbol{y=8x+20\ (0≤x≤10)}$
(3) $\boldsymbol{30\ \mathrm{min}}$
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 一次函数的实际应用
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题结合实际生产场景考查函数的综合应用，需要学生准确理解函数图象各段的实际意义，能熟练运用待定系数法求函数解析式，结合函数性质解决实际问题，重点考查识图能力和基本计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合图象明确各阶段对应的函数类型：①降温阶段CD是反比例函数，点C坐标为(a,100)，代入反比例函数解析式即可求出a的值；②线段AB是一次函数，已知A、B两点坐标，用待定系数法即可求出AB对应的函数表达式；③要求可加工的时间长度，需要分别求出加热阶段温度第一次达到60℃的时间，和降温阶段温度降到60℃的时间，两个时间的差值就是符合要求的加工时长。
【解析】
(1) 由题意可知点C(a,100)在双曲线$y=\frac{2100}{x}$上，将$y=100$代入反比例函数解析式得：
$100=\frac{2100}{a}$，解得$a=21$。
(2) 设线段AB对应的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$，$0≤x≤10$），
由图象可知A点坐标为(0,20)，B点坐标为(10,100)，
将$x=0,y=20$代入得$b=20$，
将$x=10,y=100$、$b=20$代入得$10k+20=100$，解得$k=8$，
因此线段AB对应的函数表达式为$y=8x+20\ (0≤x≤10)$。
(3) 先求加热阶段温度达到60℃的时间：令$y=60$，代入$y=8x+20$，
得$8x+20=60$，解得$x=5$。
再求降温阶段温度降到60℃的时间：令$y=60$，代入$y=\frac{2100}{x}$，
得$60=\frac{2100}{x}$，解得$x=35$。
可进行零件加工的时间长度为$35-5=30$（min）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{21}$
(2) $\boldsymbol{y=8x+20\ (0≤x≤10)}$
(3) $\boldsymbol{30\ \mathrm{min}}$
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 一次函数的实际应用
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题结合实际生产场景考查函数的综合应用，需要学生准确理解函数图象各段的实际意义，能熟练运用待定系数法求函数解析式，结合函数性质解决实际问题，重点考查识图能力和基本计算能力。
【难度系数】
0.7
