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11.已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程$2x^2 + kx +7=0$的两个根，且这个直角三角形斜边上的中线长是$\frac{3}{2}$，则k的值是（
A.8
B.$-8$
C.8或$-8$
D.4或$-4$
B
）A.8
B.$-8$
C.8或$-8$
D.4或$-4$
答案
11.B
12.已知$a,b$是方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的两根，则代数式$2a^3 - 6a^2 + b^2 + 7b + 1$的值是
36
.答案
12.36
13.若实数$a,b$满足$a^2 + 3a = 2$，$b^2 + 3b = 2$，且$a≠b$，则$a,b$可以看作是关于$x$的一元二次方程
$x^2 + 3x - 2 = 0$
的两根。答案
13.$x^2 + 3x - 2 = 0$
14. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + k + 1 = 0$的实数根是$x_1$和$x_2$.
(1)求$k$的取值范围；
(2)如果$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ -1$，且$k$为整数，求$k$的值.
(1)求$k$的取值范围；
(2)如果$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ -1$，且$k$为整数，求$k$的值.
答案
14. (1)解:由题意,得 $\Delta=4-4(k+1)≥0$,解得 $k≤0$.
(2)由根与系数的关系,得 $x_1 + x_2 = -2$,$x_1x_2 = k+1$,$\therefore -2-(k+1)＜-1$,解得 $k＞-2$. 又$\because k≤0$,且 $k$ 为整数,$\therefore k=-1$ 或 0.
(2)由根与系数的关系,得 $x_1 + x_2 = -2$,$x_1x_2 = k+1$,$\therefore -2-(k+1)＜-1$,解得 $k＞-2$. 又$\because k≤0$,且 $k$ 为整数,$\therefore k=-1$ 或 0.
15.(核心素养·运算能力)我们定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.
(1)请说明方程$x^2-3x+2=0$是“倍根方程”;
(2)若$(x-2)(mx+n)=0$是“倍根方程”,则$m,n$具有怎样的关系?
(3)若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(b^2-4ac≥0)$是“倍根方程”,请直接写出$a,b,c$的等量关系.
(1)请说明方程$x^2-3x+2=0$是“倍根方程”;
(2)若$(x-2)(mx+n)=0$是“倍根方程”,则$m,n$具有怎样的关系?
(3)若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(b^2-4ac≥0)$是“倍根方程”,请直接写出$a,b,c$的等量关系.
答案
15. (1)解:因式分解,得$(x-2)(x-1)=0$,于是得 $x-2=0$ 或 $x-1=0$,$\therefore x_1=2$,$x_2=1$,$\therefore$ 方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$ 是“倍根方程”.
(2)$\because (x-2)(mx+n)=0$,$\therefore x-2=0$ 或 $mx+n=0$,$\therefore x_1=2$,$x_2 = -\frac{n}{m}$. 当 $-\frac{n}{m}=2×2=4$ 时,$n=-4m$,即 $4m+n=0$;当 $-\frac{n}{m}=\frac{1}{2}×2=1$ 时,$n=-m$,即 $m+n=0$. 综上所述,$m,n$ 的关系式为 $4m+n=0$ 或 $m+n=0$.
(3)$\because$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(b^2-4ac≥0)$ 是“倍根方程”,$\therefore$ 设方程的两根分别为 $t,2t$,根据根与系数的关系,得 $t+2t=-\frac{b}{a}$,$t·2t=\frac{c}{a}$,$\therefore t=-\frac{b}{3a}$,$\therefore 2·(-\frac{b}{3a})·(-\frac{b}{3a})=\frac{c}{a}$,$\therefore 2b^2=9ac$.
(2)$\because (x-2)(mx+n)=0$,$\therefore x-2=0$ 或 $mx+n=0$,$\therefore x_1=2$,$x_2 = -\frac{n}{m}$. 当 $-\frac{n}{m}=2×2=4$ 时,$n=-4m$,即 $4m+n=0$;当 $-\frac{n}{m}=\frac{1}{2}×2=1$ 时,$n=-m$,即 $m+n=0$. 综上所述,$m,n$ 的关系式为 $4m+n=0$ 或 $m+n=0$.
(3)$\because$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(b^2-4ac≥0)$ 是“倍根方程”,$\therefore$ 设方程的两根分别为 $t,2t$,根据根与系数的关系,得 $t+2t=-\frac{b}{a}$,$t·2t=\frac{c}{a}$,$\therefore t=-\frac{b}{3a}$,$\therefore 2·(-\frac{b}{3a})·(-\frac{b}{3a})=\frac{c}{a}$,$\therefore 2b^2=9ac$.
