1. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + \frac{1}{2}=0$.
(1)当$b=a+1$时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,请写出一组满足条件的$a,b$的值,并求出此时方程的根.

(1)解:$\Delta=b^2 -4× a× \frac{1}{2}=b^2 -2a$,
$\because b=a+1,\therefore \Delta=(a+1)^2 -2a=a^2+1＞0,\therefore$一元二次方程有两个不相等的实数根.
(2)$\because$方程有两个相等的实数根,$\therefore b^2 -2a=0$,即$b^2=2a$,取$a=2,b=2$,则方程$2x^2 +2x+\frac{1}{2}=0$,解得$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$.($a,b$的取值不唯一,答案正确即可)

2.已知关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2-(m+2)x+4=0$.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)如果$m$为正整数,且方程的两个根为不相等的正整数,求$m$的值.

(1)证明:$\because \Delta=[-(m+2)]^2 -4×4(m-2)=m^2 -12m+36=(m-6)^2≥0,\therefore$方程总有两个实数根.
(2)解:解方程$(m-2)x^2 -(m+2)x+4=0$,得$x_1=\frac{4}{m-2},x_2=1$.$\because m$为正整数,且方程的两个根为不相等的正整数,$\therefore m=3$或$4$.

3.(新考法)已知方程$x^2 + px + q = 0$的两个根是$x_1,x_2$，那么$x_1 + x_2 = -p$，$x_1x_2 = q$；反过来，如果$x_1 + x_2 = -p$，$x_1x_2 = q$，那么以$x_1$，$x_2$为两根的一元二次方程是$x^2 + px + q = 0$。请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知关于$x$的方程$x^2 -4x +2 =0$，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
(2)已知实数$a,b$满足$a^2 -15a -5 =0$，$b^2 -15b -5 =0$，求$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的值。

(1)解:设方程$x^2 -4x +2 =0$的两根为$x_1,x_2$.则$x_1 +x_2=4,x_1x_2=2$.
$\therefore$所求新方程的两根为$\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}$.$\because \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{4}{2}=2,\frac{1}{x_1}·\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{2}$.$\therefore$所求的方程为$y^2 -2y+\frac{1}{2}=0$.即$2y^2 -4y +1=0$.
(2)从$a,b$满足的同一种关系可知:
①当$a≠ b$时,$a,b$是一元二次方程$x^2 -15x -5 =0$的两根,$\therefore a +b=15,ab=-5$.$\therefore \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2 +b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2 -2ab}{ab}=\frac{15^2 -2×(-5)}{-5}=-47$;
②当$a=b$时,$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1+1=2$.综上,$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值为$-47$或$2$.