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4.设 $ x_1, x_2 $ 是方程 $ x^2 - x - 2024 = 0 $ 的两个实数根，试求 $ x_1^3 + 2025x_2 - 2024 $ 的值.
答案
解:$\because x_1,x_2$是方程$x^2 -x -2024=0$的两个实数根,$\therefore x_1 +x_2=1,x_1^2 -x_1 -2024=0$.$\therefore x_1^2 =x_1 +2024$. $\therefore$原式$=x_1(x_1 +2024)+2025x_2 -2024=x_1^2 +2024x_1 +2025x_2 -2024=x_1 +2024 +2024x_1 +2025x_2 -2024=2025(x_1 +x_2)=2025$.
5. 已知关于$x$的一元二次方程为$x^2 -2x -3m^2=0$.
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为$α,β$,且$α+2β=5$,求$m$的值.
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为$α,β$,且$α+2β=5$,求$m$的值.
答案
(1)证明:$\Delta=b^2 -4ac=(-2)^2 -4×(-3m^2)=4+12m^2$.$\because 12m^2≥0,\therefore 4+12m^2＞0$,$\therefore$该方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because$方程的两个实数根分别为$α,β$,由根与系数的关系可知,$α+β=2$,$αβ=-3m^2$.$\because α+2β=5$,$\therefore α=5-2β$,$\therefore 5-2β+β=2$,解得$β=3$,$\therefore α=5-2×3=-1$,$\therefore -3m^2=-1×3=-3$,解得$m=\pm1$.
(2)解:$\because$方程的两个实数根分别为$α,β$,由根与系数的关系可知,$α+β=2$,$αβ=-3m^2$.$\because α+2β=5$,$\therefore α=5-2β$,$\therefore 5-2β+β=2$,解得$β=3$,$\therefore α=5-2×3=-1$,$\therefore -3m^2=-1×3=-3$,解得$m=\pm1$.
6.已知关于$x$的一元二次方程$x^2=2(1-m)x - m^2$的两实数根为$x_1,x_2$。
(1)求$m$的取值范围；
(2)设$y=x_1+x_2$，当$y$取得最小值时，求相应$m$的值，并求出最小值。
(1)求$m$的取值范围；
(2)设$y=x_1+x_2$，当$y$取得最小值时，求相应$m$的值，并求出最小值。
答案
(1)解:将原方程整理为$x^2 +2(m-1)x +m^2=0$.$\because$原方程有两个实数根,$\therefore \Delta=[2(m-1)]^2 -4m^2=-8m+4≥0$,解得$m≤\frac{1}{2}$.
(2)$\because x_1,x_2$为$x^2 +2(m-1)x +m^2=0$的两根,$\therefore x_1 +x_2=-2m+2$,$\therefore y=x_1 +x_2=-2m+2$,由一次函数的性质知$y$随$m$的增大而减小,又$\because m≤\frac{1}{2}$,故当$m=\frac{1}{2}$时,$y$取得最小值为$1$.
(2)$\because x_1,x_2$为$x^2 +2(m-1)x +m^2=0$的两根,$\therefore x_1 +x_2=-2m+2$,$\therefore y=x_1 +x_2=-2m+2$,由一次函数的性质知$y$随$m$的增大而减小,又$\because m≤\frac{1}{2}$,故当$m=\frac{1}{2}$时,$y$取得最小值为$1$.
7.设$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，关于$x$的方程$x^2 + 2\sqrt{b}x + 2c - a = 0$有两个相等的实数根，方程$3cx + 2b = 2a$的根为0.
(1)求证：$△ ABC$为等边三角形；
(2)若$a,b$为方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两根，求$m$的值.
(1)求证：$△ ABC$为等边三角形；
(2)若$a,b$为方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两根，求$m$的值.
答案
(1)证明:$\because$关于$x$的方程$x^2 + 2\sqrt{b}x + 2c - a = 0$有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=(2\sqrt{b})^2 -4×(2c -a)=0$,可得$a +b=2c$.$\because$方程$3cx +2b=2a$的根为$0$,$\therefore 2b=2a$,$\therefore a=b$,$\therefore 2a=2c$,$\therefore a=c$,$\therefore a=b=c$,故$△ ABC$为等边三角形.
(2)解:由(1)知$a=b$,$\therefore$方程$x^2 +mx -3m=0$有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=m^2 -4×1×(-3m)=m^2 +12m=0$,$\therefore m(m+12)=0$,$\therefore m=0$或$-12$.当$m=0$时,$a=b=0$(不合题意,舍去),$\therefore m=-12$.
(2)解:由(1)知$a=b$,$\therefore$方程$x^2 +mx -3m=0$有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=m^2 -4×1×(-3m)=m^2 +12m=0$,$\therefore m(m+12)=0$,$\therefore m=0$或$-12$.当$m=0$时,$a=b=0$(不合题意,舍去),$\therefore m=-12$.
