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1. (1) 直角三角形两条直角边长的平方和等于，即直角三角形(如图)的两条直角边a,b与斜边c之间满足：。
(2) 如图，图中数字与字母代表正方形的面积，那么A=，B=。
(2) 如图，图中数字与字母代表正方形的面积，那么A=，B=。
答案
(1) 斜边长的平方，$a^2+b^2=c^2$；(2) $\boldsymbol{25}$，$\boldsymbol{144}$。
解析
【分析】
第(1)题考查勾股定理的基础内容，解题时直接回忆勾股定理的定义即可作答：直角三角形三边满足两条直角边的平方和等于斜边的平方。第(2)题考查勾股定理的几何意义，首先明确正方形的面积等于其边长的平方，因此以直角三角形三边为边长的三个正方形的面积，正好对应三角形三边的平方，结合勾股定理“两直角边平方和等于斜边平方”的关系，即可通过已知正方形的面积计算出A、B的数值。
【解析】
(1) 根据勾股定理的内容：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，因此直角边为$a$、$b$，斜边为$c$的直角三角形满足关系$a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 设正方形的边长为$x$，则正方形面积$S=x^2$，因此三个正方形的面积分别对应直角三角形三边的平方。结合勾股定理可得：
A对应斜边的正方形面积，等于两个直角边对应正方形的面积之和，即$A=9+16=25$；
B对应直角边的正方形面积，等于斜边对应正方形面积减去另一个直角边对应正方形的面积，即$B=169-25=144$。
【答案】
(1) 斜边长的平方，$a^2+b^2=c^2$；(2) $\boldsymbol{25}$，$\boldsymbol{144}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础考查题，既涉及对勾股定理核心内容的识记，也考查了勾股定理在几何图形中的简单应用，掌握基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
第(1)题考查勾股定理的基础内容，解题时直接回忆勾股定理的定义即可作答：直角三角形三边满足两条直角边的平方和等于斜边的平方。第(2)题考查勾股定理的几何意义，首先明确正方形的面积等于其边长的平方，因此以直角三角形三边为边长的三个正方形的面积，正好对应三角形三边的平方，结合勾股定理“两直角边平方和等于斜边平方”的关系，即可通过已知正方形的面积计算出A、B的数值。
【解析】
(1) 根据勾股定理的内容：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，因此直角边为$a$、$b$，斜边为$c$的直角三角形满足关系$a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 设正方形的边长为$x$，则正方形面积$S=x^2$，因此三个正方形的面积分别对应直角三角形三边的平方。结合勾股定理可得：
A对应斜边的正方形面积，等于两个直角边对应正方形的面积之和，即$A=9+16=25$；
B对应直角边的正方形面积，等于斜边对应正方形面积减去另一个直角边对应正方形的面积，即$B=169-25=144$。
【答案】
(1) 斜边长的平方，$a^2+b^2=c^2$；(2) $\boldsymbol{25}$，$\boldsymbol{144}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础考查题，既涉及对勾股定理核心内容的识记，也考查了勾股定理在几何图形中的简单应用，掌握基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
2. 求图中直角三角形未知边的长度(阴影部分中的数字表示该阴影部分的面积).
(第2题)
(第2题)答案
解：
1. 求x的值：
由阴影正方形的面积可知，该直角三角形两条直角边的平方分别为25和144，
根据勾股定理得：$x^2 = 25 + 144 = 169$，
∵x＞0，∴$x = \sqrt{169} = 13$。
2. 求y的值：
该直角三角形两条直角边长均为6，
根据勾股定理得：$y^2 = 6^2 + 6^2 = 72$，
∵y＞0，∴$y = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。
3. 求z的值：
该直角三角形斜边长为4，一条直角边长为3，
根据勾股定理得：$z^2 + 3^2 = 4^2$，即$z^2 = 16 - 9 = 7$，
∵z＞0，∴$z = \sqrt{7}$。
综上，$x=13$，$y=6\sqrt{2}$，$z=\sqrt{7}$。
1. 求x的值：
由阴影正方形的面积可知，该直角三角形两条直角边的平方分别为25和144，
根据勾股定理得：$x^2 = 25 + 144 = 169$，
∵x＞0，∴$x = \sqrt{169} = 13$。
2. 求y的值：
该直角三角形两条直角边长均为6，
根据勾股定理得：$y^2 = 6^2 + 6^2 = 72$，
∵y＞0，∴$y = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。
3. 求z的值：
该直角三角形斜边长为4，一条直角边长为3，
根据勾股定理得：$z^2 + 3^2 = 4^2$，即$z^2 = 16 - 9 = 7$，
∵z＞0，∴$z = \sqrt{7}$。
综上，$x=13$，$y=6\sqrt{2}$，$z=\sqrt{7}$。
解析
【分析】
本题可通过勾股定理求解各直角三角形的未知边，解题思路如下：1. 求x时，阴影部分为正方形，其面积等于对应边长的平方，恰好是斜边长为x的直角三角形两条直角边的平方，直接结合勾股定理计算x的平方后开方即可；2. 求y时，已知两条直角边均为6，直接代入勾股定理计算斜边y的平方后开方；3. 求z时，已知斜边长和一条直角边长，将勾股定理变形，用斜边平方减去已知直角边的平方得到z的平方后开方，注意边长为正数，仅取正的平方根。
【解析】
1. 求x的值：
两个阴影正方形的面积分别为25和144，即斜边长为x的直角三角形两条直角边的平方分别为25和144，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$x^2 = 25 + 144 = 169$，
∵x为边长，x＞0，
∴$x = \sqrt{169} = 13$。
2. 求y的值：
该直角三角形两条直角边长均为6，
根据勾股定理得：$y^2 = 6^2 + 6^2 = 36+36=72$，
∵y为边长，y＞0，
∴$y = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。
3. 求z的值：
该直角三角形斜边长为4，一条直角边长为3，
根据勾股定理得：$z^2 + 3^2 = 4^2$，即$z^2 = 16 - 9 = 7$，
∵z为边长，z＞0，
∴$z = \sqrt{7}$。
【答案】
$x=13$，$y=6\sqrt{2}$，$z=\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，算术平方根
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，主要考查学生对勾股定理的掌握情况，以及区分直角三角形直角边和斜边的能力，同时结合正方形面积与边长平方的关系可简化计算，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题可通过勾股定理求解各直角三角形的未知边，解题思路如下：1. 求x时，阴影部分为正方形，其面积等于对应边长的平方，恰好是斜边长为x的直角三角形两条直角边的平方，直接结合勾股定理计算x的平方后开方即可；2. 求y时，已知两条直角边均为6，直接代入勾股定理计算斜边y的平方后开方；3. 求z时，已知斜边长和一条直角边长，将勾股定理变形，用斜边平方减去已知直角边的平方得到z的平方后开方，注意边长为正数，仅取正的平方根。
【解析】
1. 求x的值：
两个阴影正方形的面积分别为25和144，即斜边长为x的直角三角形两条直角边的平方分别为25和144，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$x^2 = 25 + 144 = 169$，
∵x为边长，x＞0，
∴$x = \sqrt{169} = 13$。
2. 求y的值：
该直角三角形两条直角边长均为6，
根据勾股定理得：$y^2 = 6^2 + 6^2 = 36+36=72$，
∵y为边长，y＞0，
∴$y = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。
3. 求z的值：
该直角三角形斜边长为4，一条直角边长为3，
根据勾股定理得：$z^2 + 3^2 = 4^2$，即$z^2 = 16 - 9 = 7$，
∵z为边长，z＞0，
∴$z = \sqrt{7}$。
【答案】
$x=13$，$y=6\sqrt{2}$，$z=\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，算术平方根
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，主要考查学生对勾股定理的掌握情况，以及区分直角三角形直角边和斜边的能力，同时结合正方形面积与边长平方的关系可简化计算，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 在数轴上画出$\sqrt{10}$对应的点.
答案
解：
① 画出数轴，标注原点O、正方向和统一的单位长度；
② 在数轴正半轴上取点A，使OA=3，过点A作数轴的垂线；
③ 在垂线上截取线段AB=1，连接OB，根据勾股定理可得：
$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$；
④ 以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是$\sqrt{10}$对应的点。
① 画出数轴，标注原点O、正方向和统一的单位长度；
② 在数轴正半轴上取点A，使OA=3，过点A作数轴的垂线；
③ 在垂线上截取线段AB=1，连接OB，根据勾股定理可得：
$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$；
④ 以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是$\sqrt{10}$对应的点。
解析
【分析】
要在数轴上表示无理数$\sqrt{10}$，由于无理数无法直接通过单位长度度量得到，因此可借助勾股定理构造直角三角形求解：先找出平方和等于10的两个整数，易得$3^2+1^2=10$，因此直角边为3和1的直角三角形的斜边长就是$\sqrt{10}$，再用圆规将斜边长度转移到数轴上即可得到对应点。
【解析】
1. 画出数轴，标注原点$O$、正方向，确定统一的单位长度；
2. 在数轴正半轴上取点$A$，使$OA=3$个单位长度，过点$A$作数轴的垂线；
3. 在所作垂线上截取线段$AB=1$个单位长度，连接$OB$，根据勾股定理计算$OB$的长度：
$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$；
4. 以原点$O$为圆心，$OB$的长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为$\sqrt{10}$对应的点。
【答案】
解：
① 画出数轴，标注原点O、正方向和统一的单位长度；
② 在数轴正半轴上取点A，使OA=3，过点A作数轴的垂线；
③ 在垂线上截取线段AB=1，连接OB，根据勾股定理可得：
$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$；
④ 以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是$\sqrt{10}$对应的点。
【知识点】
勾股定理；数轴的认识；尺规作图
【点评】
本题考查利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法，核心是将目标无理数转化为直角边长为整数的直角三角形的斜边，再通过尺规作图完成长度的转移，既巩固了勾股定理的应用，也加深了对实数与数轴上的点一一对应关系的理解。
【难度系数】
0.8
要在数轴上表示无理数$\sqrt{10}$，由于无理数无法直接通过单位长度度量得到，因此可借助勾股定理构造直角三角形求解：先找出平方和等于10的两个整数，易得$3^2+1^2=10$，因此直角边为3和1的直角三角形的斜边长就是$\sqrt{10}$，再用圆规将斜边长度转移到数轴上即可得到对应点。
【解析】
1. 画出数轴，标注原点$O$、正方向，确定统一的单位长度；
2. 在数轴正半轴上取点$A$，使$OA=3$个单位长度，过点$A$作数轴的垂线；
3. 在所作垂线上截取线段$AB=1$个单位长度，连接$OB$，根据勾股定理计算$OB$的长度：
$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$；
4. 以原点$O$为圆心，$OB$的长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为$\sqrt{10}$对应的点。
【答案】
解：
① 画出数轴，标注原点O、正方向和统一的单位长度；
② 在数轴正半轴上取点A，使OA=3，过点A作数轴的垂线；
③ 在垂线上截取线段AB=1，连接OB，根据勾股定理可得：
$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$；
④ 以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是$\sqrt{10}$对应的点。
【知识点】
勾股定理；数轴的认识；尺规作图
【点评】
本题考查利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法，核心是将目标无理数转化为直角边长为整数的直角三角形的斜边，再通过尺规作图完成长度的转移，既巩固了勾股定理的应用，也加深了对实数与数轴上的点一一对应关系的理解。
【难度系数】
0.8
4.（1）如图，一竹竿在离地面6 m处折断，竹竿顶部落在离竹竿底部8 m处，则竹竿折断前的高度是m；
（2）如图，一个圆锥的高AO=2.4 cm，底面半径OB=0.7 cm，则AB的长是cm.
（2）如图，一个圆锥的高AO=2.4 cm，底面半径OB=0.7 cm，则AB的长是cm.
答案
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{2.5}$
解析
【分析】
两道题均考查勾股定理的实际应用，解题思路如下：
(1) 竹竿折断后，未折断部分、地面、折断部分恰好构成直角三角形，已知两条直角边的长度分别为6m和8m，先利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的6m即可得到竹竿折断前的总高度。
(2) 圆锥的高垂直于底面半径，因此△AOB是直角三角形，已知两条直角边AO、OB的长度，直接代入勾股定理即可求出斜边AB的长度。
【解析】
(1) 由题意可知，直角三角形的两条直角边长分别为6m、8m，根据勾股定理：
折断部分的长度 = $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$（m）
因此竹竿折断前的高度为：$10 + 6 = 16$（m）
(2)
∵ AO是圆锥的高，
∴ AO⊥OB，即△AOB为直角三角形，
根据勾股定理可得：
$AB = \sqrt{AO^2 + OB^2} = \sqrt{2.4^2 + 0.7^2} = \sqrt{5.76 + 0.49} = \sqrt{6.25} = 2.5$（cm）
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
这两道题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是从实际几何场景中抽象出直角三角形，准确识别直角边与斜边后代入公式计算即可，需要熟练掌握勾股定理的运算方法。
【难度系数】
0.8
两道题均考查勾股定理的实际应用，解题思路如下：
(1) 竹竿折断后，未折断部分、地面、折断部分恰好构成直角三角形，已知两条直角边的长度分别为6m和8m，先利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的6m即可得到竹竿折断前的总高度。
(2) 圆锥的高垂直于底面半径，因此△AOB是直角三角形，已知两条直角边AO、OB的长度，直接代入勾股定理即可求出斜边AB的长度。
【解析】
(1) 由题意可知，直角三角形的两条直角边长分别为6m、8m，根据勾股定理：
折断部分的长度 = $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$（m）
因此竹竿折断前的高度为：$10 + 6 = 16$（m）
(2)
∵ AO是圆锥的高，
∴ AO⊥OB，即△AOB为直角三角形，
根据勾股定理可得：
$AB = \sqrt{AO^2 + OB^2} = \sqrt{2.4^2 + 0.7^2} = \sqrt{5.76 + 0.49} = \sqrt{6.25} = 2.5$（cm）
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
这两道题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是从实际几何场景中抽象出直角三角形，准确识别直角边与斜边后代入公式计算即可，需要熟练掌握勾股定理的运算方法。
【难度系数】
0.8
