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5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CM⊥ AB$，垂足为$M$.
(1) 若$AC=6$，$BC=8$，则$CM$的长度为多少？
(2) 若$AM=3$，$BM=12$，则$CM$的长度为多少？
(1) 若$AC=6$，$BC=8$，则$CM$的长度为多少？
(2) 若$AM=3$，$BM=12$，则$CM$的长度为多少？
答案
解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=100$，
$\therefore AB=10$。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CM$，
$\therefore AC· BC=AB· CM$，即$6× 8=10· CM$，
解得$CM=\frac{24}{5}$。
(2) $\because CM⊥ AB$，
$\therefore ∠ AMC=∠ BMC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，由勾股定理得：$AC^2=AM^2+CM^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，由勾股定理得：$BC^2=BM^2+CM^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
又$AB=AM+BM=3+12=15$，将前两式代入得：
$AM^2+CM^2+BM^2+CM^2=AB^2$，
代入$AM=3$，$BM=12$，$AB=15$：
$3^2 + CM^2 +12^2 + CM^2 =15^2$，
整理得$2CM^2=72$，即$CM^2=36$。
$\because CM＞0$，
$\therefore CM=6$。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=100$，
$\therefore AB=10$。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CM$，
$\therefore AC· BC=AB· CM$，即$6× 8=10· CM$，
解得$CM=\frac{24}{5}$。
(2) $\because CM⊥ AB$，
$\therefore ∠ AMC=∠ BMC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，由勾股定理得：$AC^2=AM^2+CM^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，由勾股定理得：$BC^2=BM^2+CM^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
又$AB=AM+BM=3+12=15$，将前两式代入得：
$AM^2+CM^2+BM^2+CM^2=AB^2$，
代入$AM=3$，$BM=12$，$AB=15$：
$3^2 + CM^2 +12^2 + CM^2 =15^2$，
整理得$2CM^2=72$，即$CM^2=36$。
$\because CM＞0$，
$\therefore CM=6$。
解析
【分析】
(1) 要求斜边上的高CM，首先可在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AB的长度；其次三角形面积有两种计算方式：既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用“斜边×斜边上的高÷2”计算，两种方式得到的面积相等，据此列等式即可求出CM的长度。
(2) 已知AM、BM的长度，图中共3个直角三角形，可分别在Rt△ACM、Rt△BCM中用勾股定理把AC²、BC²用含CM的式子表示，再代入Rt△ABC的勾股定理关系式$AC^2+BC^2=AB^2$中，即可得到只含CM的方程，解方程就能求出CM的长度，注意线段长度为正，需舍去负根。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=100$，
$\therefore AB=10$。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CM$，
$\therefore AC· BC=AB· CM$，即$6× 8=10· CM$，
解得$CM=\frac{24}{5}$。
(2) $\because CM⊥ AB$，
$\therefore ∠ AMC=∠ BMC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，由勾股定理得：$AC^2=AM^2+CM^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，由勾股定理得：$BC^2=BM^2+CM^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
又$AB=AM+BM=3+12=15$，将前两式代入得：
$AM^2+CM^2+BM^2+CM^2=AB^2$，
代入$AM=3$，$BM=12$，$AB=15$：
$3^2 + CM^2 +12^2 + CM^2 =15^2$，
整理得$2CM^2=72$，即$CM^2=36$。
$\because CM＞0$，
$\therefore CM=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{24}{5}}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
勾股定理、等面积法、方程思想
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题型，第一问考查等面积法求直角三角形斜边上的高，第二问考查利用多个直角三角形的勾股定理关系联立方程求解未知线段，解题时要善于观察图形中直角三角形的勾股定理关联，灵活选择计算方法。
【难度系数】
0.7
(1) 要求斜边上的高CM，首先可在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AB的长度；其次三角形面积有两种计算方式：既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用“斜边×斜边上的高÷2”计算，两种方式得到的面积相等，据此列等式即可求出CM的长度。
(2) 已知AM、BM的长度，图中共3个直角三角形，可分别在Rt△ACM、Rt△BCM中用勾股定理把AC²、BC²用含CM的式子表示，再代入Rt△ABC的勾股定理关系式$AC^2+BC^2=AB^2$中，即可得到只含CM的方程，解方程就能求出CM的长度，注意线段长度为正，需舍去负根。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=100$，
$\therefore AB=10$。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CM$，
$\therefore AC· BC=AB· CM$，即$6× 8=10· CM$，
解得$CM=\frac{24}{5}$。
(2) $\because CM⊥ AB$，
$\therefore ∠ AMC=∠ BMC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，由勾股定理得：$AC^2=AM^2+CM^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，由勾股定理得：$BC^2=BM^2+CM^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
又$AB=AM+BM=3+12=15$，将前两式代入得：
$AM^2+CM^2+BM^2+CM^2=AB^2$，
代入$AM=3$，$BM=12$，$AB=15$：
$3^2 + CM^2 +12^2 + CM^2 =15^2$，
整理得$2CM^2=72$，即$CM^2=36$。
$\because CM＞0$，
$\therefore CM=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{24}{5}}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
勾股定理、等面积法、方程思想
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题型，第一问考查等面积法求直角三角形斜边上的高，第二问考查利用多个直角三角形的勾股定理关系联立方程求解未知线段，解题时要善于观察图形中直角三角形的勾股定理关联，灵活选择计算方法。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$△ ABC$和$△ DEF$都不是直角三角形，分别以$△ ABC$和$△ DEF$的各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形面积的和等于大正方形的面积吗？说明理由。
答案
解：都不等于，理由如下：
设每个小方格的边长为1。
1. 计算△ABC外侧三个正方形的面积：
以AB为边的正方形面积为$3^2=9$，
以AC为边的正方形面积为$1^2+2^2=5$，
以BC为边的正方形面积为$2^2+2^2=8$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$5+8=13$，$5+9=14$，$8+9=17$，均不等于第三个正方形的面积。
2. 计算△DEF外侧三个正方形的面积：
以EF为边的正方形面积为$2^2=4$，
以DE为边的正方形面积为$3^2+3^2=18$，
以DF为边的正方形面积为$2^2+5^2=29$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$4+18=22$，$4+29=33$，$18+29=47$，均不等于第三个正方形的面积。
根据勾股定理，只有直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应以两条直角边为边长的正方形面积和等于以斜边为边长的正方形面积。
由于△ABC和△DEF都不是直角三角形，不存在两边的平方和等于第三边的平方，因此它们对应的两个小正方形面积的和都不等于大正方形的面积。
设每个小方格的边长为1。
1. 计算△ABC外侧三个正方形的面积：
以AB为边的正方形面积为$3^2=9$，
以AC为边的正方形面积为$1^2+2^2=5$，
以BC为边的正方形面积为$2^2+2^2=8$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$5+8=13$，$5+9=14$，$8+9=17$，均不等于第三个正方形的面积。
2. 计算△DEF外侧三个正方形的面积：
以EF为边的正方形面积为$2^2=4$，
以DE为边的正方形面积为$3^2+3^2=18$，
以DF为边的正方形面积为$2^2+5^2=29$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$4+18=22$，$4+29=33$，$18+29=47$，均不等于第三个正方形的面积。
根据勾股定理，只有直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应以两条直角边为边长的正方形面积和等于以斜边为边长的正方形面积。
由于△ABC和△DEF都不是直角三角形，不存在两边的平方和等于第三边的平方，因此它们对应的两个小正方形面积的和都不等于大正方形的面积。
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆勾股定理的核心结论：只有直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应以三边向外作正方形时，两个小正方形的面积和等于大正方形的面积。本题已知两个三角形都不是直角三角形，我们可以先设每个小方格边长为1，利用网格通过勾股定理分别计算两个三角形各边对应的正方形面积（即边长的平方），再验证任意两个正方形的面积和是否等于第三个正方形的面积，最后结合勾股定理的适用条件得出结论即可。
【解析】
解：设每个小方格的边长为1。
1. 计算△ABC外侧三个正方形的面积：
以AB为边的正方形面积为$3^2=9$，
以AC为边的正方形面积为$1^2+2^2=5$，
以BC为边的正方形面积为$2^2+2^2=8$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$5+8=13$，$5+9=14$，$8+9=17$，均不等于第三个正方形的面积。
2. 计算△DEF外侧三个正方形的面积：
以EF为边的正方形面积为$2^2=4$，
以DE为边的正方形面积为$3^2+3^2=18$，
以DF为边的正方形面积为$2^2+5^2=29$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$4+18=22$，$4+29=33$，$18+29=47$，均不等于第三个正方形的面积。
根据勾股定理，只有直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应以两条直角边为边长的正方形面积和等于以斜边为边长的正方形面积。
由于△ABC和△DEF都不是直角三角形，不存在两边的平方和等于第三边的平方，因此它们对应的两个小正方形面积的和都不等于大正方形的面积。
【答案】
都不等于，理由见解析。
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，勾股定理适用条件
【点评】
本题重点考查勾股定理的使用前提，明确勾股定理仅适用于直角三角形是解题的关键，同时要掌握利用网格构造直角三角形求线段平方的方法，不要将勾股定理的结论随意套用在非直角三角形中。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先回忆勾股定理的核心结论：只有直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应以三边向外作正方形时，两个小正方形的面积和等于大正方形的面积。本题已知两个三角形都不是直角三角形，我们可以先设每个小方格边长为1，利用网格通过勾股定理分别计算两个三角形各边对应的正方形面积（即边长的平方），再验证任意两个正方形的面积和是否等于第三个正方形的面积，最后结合勾股定理的适用条件得出结论即可。
【解析】
解：设每个小方格的边长为1。
1. 计算△ABC外侧三个正方形的面积：
以AB为边的正方形面积为$3^2=9$，
以AC为边的正方形面积为$1^2+2^2=5$，
以BC为边的正方形面积为$2^2+2^2=8$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$5+8=13$，$5+9=14$，$8+9=17$，均不等于第三个正方形的面积。
2. 计算△DEF外侧三个正方形的面积：
以EF为边的正方形面积为$2^2=4$，
以DE为边的正方形面积为$3^2+3^2=18$，
以DF为边的正方形面积为$2^2+5^2=29$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$4+18=22$，$4+29=33$，$18+29=47$，均不等于第三个正方形的面积。
根据勾股定理，只有直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应以两条直角边为边长的正方形面积和等于以斜边为边长的正方形面积。
由于△ABC和△DEF都不是直角三角形，不存在两边的平方和等于第三边的平方，因此它们对应的两个小正方形面积的和都不等于大正方形的面积。
【答案】
都不等于，理由见解析。
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，勾股定理适用条件
【点评】
本题重点考查勾股定理的使用前提，明确勾股定理仅适用于直角三角形是解题的关键，同时要掌握利用网格构造直角三角形求线段平方的方法，不要将勾股定理的结论随意套用在非直角三角形中。
【难度系数】
0.7
7. 如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作$S_M,S_A,S_B,S_C,S_D,S_E,S_F$，所有的三角形都是直角三角形.
（1）正方形M,E,F的面积$S_M,S_E,S_F$之间有什么关系？
（2）第2次“生长”出来的4个正方形A,B,C,D的面积与正方形M的面积有什么关系？
（3）随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案.
（1）正方形M,E,F的面积$S_M,S_E,S_F$之间有什么关系？
（2）第2次“生长”出来的4个正方形A,B,C,D的面积与正方形M的面积有什么关系？
（3）随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案.
答案
经过3次“生长”后新生成的所有正方形的面积之和等于$S_M$。
（注：提出其他符合规律的合理问题并给出对应正确答案均可）
（注：提出其他符合规律的合理问题并给出对应正确答案均可）
解析
【分析】
解题核心是结合勾股定理与正方形面积公式推导关系：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②正方形面积等于边长的平方，因此以直角三角形三边为边长的正方形中，两个直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，按该规律逐层推导即可。
(1) 观察可知正方形E、F的边长是同一个直角三角形的两条直角边，正方形M的边长是该直角三角形的斜边，直接用上述规律推导三者关系；
(2) 先推导A、B面积和与E的关系，C、D面积和与F的关系，再结合第一问结论推导四个正方形和M的关系；
(3) 根据前两问的规律，每次生长新生成的正方形面积之和都等于对应上层正方形的面积，依此提出合理问题即可。
【解析】
(1) 设正方形E的边长为$a$，正方形F的边长为$b$，正方形M的边长为$c$，由图可知$a,b$是直角三角形的两条直角边，$c$是该直角三角形的斜边，根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$。
∵正方形面积等于边长平方，即$S_E=a^2$，$S_F=b^2$，$S_M=c^2$，
∴$S_E + S_F = S_M$。
(2) 同理，左上角的直角三角形中，正方形A、B的边长为两条直角边，正方形E的边长为斜边，因此$S_A + S_B = S_E$；
右上角的直角三角形中，正方形C、D的边长为两条直角边，正方形F的边长为斜边，因此$S_C + S_D = S_F$；
结合(1)的结论$S_E + S_F = S_M$，代入得：
$S_A + S_B + S_C + S_D = S_E + S_F = S_M$。
(3) 示例问题：经过3次“生长”后新生成的所有正方形的面积之和是多少？
解答：根据勾股树的规律，每次生长新生成的正方形面积之和等于上一层对应正方形的面积总和，因此经过3次“生长”后新生成的所有正方形的面积之和等于$S_M$。
（注：提出其他符合规律的合理问题并给出对应正确答案均可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{S_E + S_F = S_M}$
(2) $\boldsymbol{S_A + S_B + S_C + S_D = S_M}$
(3) 示例：经过3次“生长”后新生成的所有正方形的面积之和等于$S_M$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，通过勾股树的形式考查对勾股定理的理解和规律归纳能力，解题关键是将勾股定理中边长的平方关系转化为正方形的面积关系。
【难度系数】
0.8
解题核心是结合勾股定理与正方形面积公式推导关系：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②正方形面积等于边长的平方，因此以直角三角形三边为边长的正方形中，两个直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，按该规律逐层推导即可。
(1) 观察可知正方形E、F的边长是同一个直角三角形的两条直角边，正方形M的边长是该直角三角形的斜边，直接用上述规律推导三者关系；
(2) 先推导A、B面积和与E的关系，C、D面积和与F的关系，再结合第一问结论推导四个正方形和M的关系；
(3) 根据前两问的规律，每次生长新生成的正方形面积之和都等于对应上层正方形的面积，依此提出合理问题即可。
【解析】
(1) 设正方形E的边长为$a$，正方形F的边长为$b$，正方形M的边长为$c$，由图可知$a,b$是直角三角形的两条直角边，$c$是该直角三角形的斜边，根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$。
∵正方形面积等于边长平方，即$S_E=a^2$，$S_F=b^2$，$S_M=c^2$，
∴$S_E + S_F = S_M$。
(2) 同理，左上角的直角三角形中，正方形A、B的边长为两条直角边，正方形E的边长为斜边，因此$S_A + S_B = S_E$；
右上角的直角三角形中，正方形C、D的边长为两条直角边，正方形F的边长为斜边，因此$S_C + S_D = S_F$；
结合(1)的结论$S_E + S_F = S_M$，代入得：
$S_A + S_B + S_C + S_D = S_E + S_F = S_M$。
(3) 示例问题：经过3次“生长”后新生成的所有正方形的面积之和是多少？
解答：根据勾股树的规律，每次生长新生成的正方形面积之和等于上一层对应正方形的面积总和，因此经过3次“生长”后新生成的所有正方形的面积之和等于$S_M$。
（注：提出其他符合规律的合理问题并给出对应正确答案均可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{S_E + S_F = S_M}$
(2) $\boldsymbol{S_A + S_B + S_C + S_D = S_M}$
(3) 示例：经过3次“生长”后新生成的所有正方形的面积之和等于$S_M$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，通过勾股树的形式考查对勾股定理的理解和规律归纳能力，解题关键是将勾股定理中边长的平方关系转化为正方形的面积关系。
【难度系数】
0.8
