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图3-2 ①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=m$，$BC=n$，已知图3-2 ①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求$(m+n)^2$；
（2）若将图3-2 ①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图3-2 ②所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（图中实线部分）为.
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=m$，$BC=n$，已知图3-2 ①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求$(m+n)^2$；
（2）若将图3-2 ①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图3-2 ②所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（图中实线部分）为.
答案
（1）$\boldsymbol{121}$；（2）$\boldsymbol{76}$
解析
【分析】
（1）观察赵爽弦图的结构：大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方，由勾股定理可得$m^2+n^2$的值；小正方形的边长为较长直角边与较短直角边的差，因此小正方形面积等于$(n-m)^2$。要求$(m+n)^2$，可将其展开为$m^2+2mn+n^2$，结合已知的两个式子求出$2mn$后代入即可计算。
（2）先由（1）的结论求出$m$、$n$的具体值，再分析“数学风车”的外围周长构成：每个直角三角形延长后，外围包含1条新斜边和1条与较长直角边等长的延长线段，共4组相同的边，先求单条斜边长度，再计算总周长即可。
【解析】
（1）由题意得：
大正方形面积等于$Rt△ ABC$斜边的平方，根据勾股定理：$m^2 + n^2 = 61$
小正方形边长为较长直角边减较短直角边，因此小正方形面积：$(n - m)^2 = 1$
将$(n - m)^2$展开得：$m^2 - 2mn + n^2 = 1$
把$m^2 + n^2=61$代入上式：$61 - 2mn = 1$，解得$2mn=60$
因此$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 61 + 60 = 121$
（2）由$(n - m)^2=1$，边长为正，得$n - m=1$，即$n=m+1$
将$n=m+1$代入$m^2 + n^2=61$得：
$m^2 + (m+1)^2 = 61$
整理得$m^2 + m - 30=0$，解得$m=5$（舍去负解$m=-6$），因此$n=5+1=6$
延长较长直角边一倍后，新直角三角形的两条直角边为$m=5$、$2n=12$，由勾股定理得实线斜边长：
$\sqrt{5^2 + 12^2}=\sqrt{169}=13$
每组角的实线长度为$13 + 6=19$，共4组，因此外围周长为$19×4=76$
【答案】
（1）$\boldsymbol{121}$；（2）$\boldsymbol{76}$
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，赵爽弦图的应用
【点评】本题结合传统数学模型考查几何与代数的综合应用，解题的核心是找准图形中线段、面积对应的代数关系，能有效考查对勾股定理和完全平方公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
（1）观察赵爽弦图的结构：大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方，由勾股定理可得$m^2+n^2$的值；小正方形的边长为较长直角边与较短直角边的差，因此小正方形面积等于$(n-m)^2$。要求$(m+n)^2$，可将其展开为$m^2+2mn+n^2$，结合已知的两个式子求出$2mn$后代入即可计算。
（2）先由（1）的结论求出$m$、$n$的具体值，再分析“数学风车”的外围周长构成：每个直角三角形延长后，外围包含1条新斜边和1条与较长直角边等长的延长线段，共4组相同的边，先求单条斜边长度，再计算总周长即可。
【解析】
（1）由题意得：
大正方形面积等于$Rt△ ABC$斜边的平方，根据勾股定理：$m^2 + n^2 = 61$
小正方形边长为较长直角边减较短直角边，因此小正方形面积：$(n - m)^2 = 1$
将$(n - m)^2$展开得：$m^2 - 2mn + n^2 = 1$
把$m^2 + n^2=61$代入上式：$61 - 2mn = 1$，解得$2mn=60$
因此$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 61 + 60 = 121$
（2）由$(n - m)^2=1$，边长为正，得$n - m=1$，即$n=m+1$
将$n=m+1$代入$m^2 + n^2=61$得：
$m^2 + (m+1)^2 = 61$
整理得$m^2 + m - 30=0$，解得$m=5$（舍去负解$m=-6$），因此$n=5+1=6$
延长较长直角边一倍后，新直角三角形的两条直角边为$m=5$、$2n=12$，由勾股定理得实线斜边长：
$\sqrt{5^2 + 12^2}=\sqrt{169}=13$
每组角的实线长度为$13 + 6=19$，共4组，因此外围周长为$19×4=76$
【答案】
（1）$\boldsymbol{121}$；（2）$\boldsymbol{76}$
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，赵爽弦图的应用
【点评】本题结合传统数学模型考查几何与代数的综合应用，解题的核心是找准图形中线段、面积对应的代数关系，能有效考查对勾股定理和完全平方公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
例1 如图 3 - 3,在$△ ABC$中,$AB=AC=13,BC=10,CD ⊥ AB$,垂足为 D. 求高 CD的长.
答案
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ AB=AC=13，AE⊥BC，BC=10，
∴ BE = $\frac{1}{2}$BC = 5。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 13^2 - 5^2 = 144$，
∴ AE = 12。
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AE = \frac{1}{2} · AB · CD$，
代入数值得：$\frac{1}{2} × 10 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × CD$，
化简得：$13CD = 120$，
∴ $CD = \frac{120}{13}$。
答：高CD的长为$\frac{120}{13}$。
∵ AB=AC=13，AE⊥BC，BC=10，
∴ BE = $\frac{1}{2}$BC = 5。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 13^2 - 5^2 = 144$，
∴ AE = 12。
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AE = \frac{1}{2} · AB · CD$，
代入数值得：$\frac{1}{2} × 10 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × CD$，
化简得：$13CD = 120$，
∴ $CD = \frac{120}{13}$。
答：高CD的长为$\frac{120}{13}$。
解析
【分析】
要求腰AB上的高CD，可通过面积法求解：△ABC的面积既可以用底边BC及BC上的高计算，也可以用腰AB及腰上的高CD计算。首先△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，先作BC边上的高AE，可得到BE的长度，再用勾股定理求出AE的长度，进而算出△ABC的面积，最后利用面积相等的关系列方程即可求出CD的长。
【解析】
过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ AB=AC=13，AE⊥BC，BC=10，
∴ BE = $\frac{1}{2}$BC = 5。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 13^2 - 5^2 = 144$，
∴ AE = 12。
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AE = \frac{1}{2} · AB · CD$，
代入数值得：$\frac{1}{2} × 10 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × CD$，
化简得：$13CD = 120$，
∴ $CD = \frac{120}{13}$。
【答案】
$\frac{120}{13}$
【知识点】
等腰三角形三线合一、勾股定理、面积法求线段长
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质和勾股定理的应用，解题核心是巧用面积法建立待求高与已知线段的等量关系，这种以面积为桥梁的解题思路在三角形高线求解类问题中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要求腰AB上的高CD，可通过面积法求解：△ABC的面积既可以用底边BC及BC上的高计算，也可以用腰AB及腰上的高CD计算。首先△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，先作BC边上的高AE，可得到BE的长度，再用勾股定理求出AE的长度，进而算出△ABC的面积，最后利用面积相等的关系列方程即可求出CD的长。
【解析】
过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ AB=AC=13，AE⊥BC，BC=10，
∴ BE = $\frac{1}{2}$BC = 5。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 13^2 - 5^2 = 144$，
∴ AE = 12。
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AE = \frac{1}{2} · AB · CD$，
代入数值得：$\frac{1}{2} × 10 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × CD$，
化简得：$13CD = 120$，
∴ $CD = \frac{120}{13}$。
【答案】
$\frac{120}{13}$
【知识点】
等腰三角形三线合一、勾股定理、面积法求线段长
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质和勾股定理的应用，解题核心是巧用面积法建立待求高与已知线段的等量关系，这种以面积为桥梁的解题思路在三角形高线求解类问题中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
例2 请用勾股定理证明“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”.
答案
证明：
设在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，斜边AB=A'B'，一条直角边AC=A'C'。
根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$，
$B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}$。
∵ $AB=A'B'$，$AC=A'C'$，
∴ $AB^2-AC^2=A'B'^2-A'C'^2$，
∴ $BC=B'C'$。
在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases}AB=A'B' \\AC=A'C' \\BC=B'C'\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ A'B'C'(\mathrm{SSS})$。
即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
设在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，斜边AB=A'B'，一条直角边AC=A'C'。
根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$，
$B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}$。
∵ $AB=A'B'$，$AC=A'C'$，
∴ $AB^2-AC^2=A'B'^2-A'C'^2$，
∴ $BC=B'C'$。
在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases}AB=A'B' \\AC=A'C' \\BC=B'C'\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ A'B'C'(\mathrm{SSS})$。
即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
解析
【分析】
要证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，首先回忆全等三角形的判定规则：若两个三角形三组对应边均相等，可通过SSS判定全等。当前已知两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，仅需证明剩余的一组直角边也相等即可。直角三角形三边满足勾股定理，因此可以借助勾股定理推导未知直角边的等量关系。具体解题思路为：先设定两个直角三角形的已知相等条件，再用勾股定理分别表示出未知直角边，结合已知边相等的条件推出未知边也相等，最后用SSS判定两个三角形全等。
【解析】
设在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，斜边AB=A'B'，一条直角边AC=A'C'。
根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$，
$B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}$。
∵ $AB=A'B'$，$AC=A'C'$，
∴ $AB^2-AC^2=A'B'^2-A'C'^2$，
∴ $BC=B'C'$。
在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases}AB=A'B' \\AC=A'C' \\BC=B'C'\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ A'B'C'(\mathrm{SSS})$。
即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
【答案】
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【知识点】
勾股定理、全等三角形SSS判定
【点评】
本题将勾股定理与全等三角形判定相结合，通过勾股定理转化得到直角三角形未知边的等量关系，进而推导得出直角三角形特有的HL全等判定定理，解题的关键是合理选择定理建立边之间的等量关系。
【难度系数】
0.7
要证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，首先回忆全等三角形的判定规则：若两个三角形三组对应边均相等，可通过SSS判定全等。当前已知两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，仅需证明剩余的一组直角边也相等即可。直角三角形三边满足勾股定理，因此可以借助勾股定理推导未知直角边的等量关系。具体解题思路为：先设定两个直角三角形的已知相等条件，再用勾股定理分别表示出未知直角边，结合已知边相等的条件推出未知边也相等，最后用SSS判定两个三角形全等。
【解析】
设在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，斜边AB=A'B'，一条直角边AC=A'C'。
根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$，
$B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}$。
∵ $AB=A'B'$，$AC=A'C'$，
∴ $AB^2-AC^2=A'B'^2-A'C'^2$，
∴ $BC=B'C'$。
在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases}AB=A'B' \\AC=A'C' \\BC=B'C'\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ A'B'C'(\mathrm{SSS})$。
即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
【答案】
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【知识点】
勾股定理、全等三角形SSS判定
【点评】
本题将勾股定理与全等三角形判定相结合，通过勾股定理转化得到直角三角形未知边的等量关系，进而推导得出直角三角形特有的HL全等判定定理，解题的关键是合理选择定理建立边之间的等量关系。
【难度系数】
0.7
