1.函数$y=x+m$与$y=\frac{m}{x}$在同一平面直角坐标系内的图象可以是().

1.B

【分析】
解题时可先根据一次函数的一次项系数判断直线的走向，排除不符合的选项，再结合参数m的正负，分别判断一次函数的截距位置和反比例函数所在象限，验证剩余选项是否一致即可。首先，一次函数y=x+m的一次项系数为1＞0，因此直线必然是从左下向右上延伸的上升直线，可直接排除直线下降的选项；再分m＞0和m＜0两种情况，分别对应两个函数的图象特征，逐一验证剩余选项是否矛盾。
【解析】
1. 先分析一次函数$y=x+m$的图象特征：
一次项系数为$1＞0$，因此直线呈上升趋势，观察选项，C、D中直线为下降趋势，不符合一次函数性质，首先排除C、D。
2. 对剩余选项A、B分类讨论参数$m$的正负：
① 若$m＞0$：一次函数$y=x+m$与$y$轴的交点在$y$轴正半轴，直线经过第一、二、三象限；反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象位于第一、三象限，与选项B的图象特征完全一致。
② 若$m＜0$：一次函数$y=x+m$与$y$轴的交点在$y$轴负半轴，直线经过第一、三、四象限；此时反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象应位于第二、四象限，但选项A中反比例函数图象在第一、三象限，特征矛盾，排除A。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于函数图象判断的基础题型，通过排除法和分类讨论法结合可以快速解题，核心是掌握两类函数的图象特征和参数的对应关系。
【难度系数】
0.7

2.反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$和正比例函数$y_2=mx$的图象如图，根据图象可以得到满足$y_1＜y_2$的$x$的取值范围是().

A.$x＞1$
B.$0＜x＜1$或$x＜-1$
C.$-1＜x＜0$或$x＞1$
D.$x＞2$或$x＜1$

2.C

【分析】
要得到$y_1＜y_2$的$x$的取值范围，本质是找反比例函数图象位于正比例函数图象下方时对应的$x$范围。首先利用正比例函数、反比例函数图象均关于原点中心对称的性质，先确定两个函数的所有交点：已知第一象限交点为$(1,2)$，可推出第三象限交点为$(-1,-2)$。再将$x$轴以交点横坐标和原点为分界点，分成四个区间逐一判断函数图象的上下位置即可。
【解析】
由图象可知，$y_1=\frac{k}{x}$与$y_2=mx$在第一象限的交点坐标为$(1,2)$，
∵ 正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，
∴ 两个函数在第三象限的交点坐标为$(-1,-2)$。
分区间判断$y_1$和$y_2$的大小：
① 当$x＜-1$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，$y_1＞y_2$，不符合要求；
② 当$-1＜x＜0$时，反比例函数图象在正比例函数图象下方，$y_1＜y_2$，符合要求；
③ 当$0＜x＜1$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，$y_1＞y_2$，不符合要求；
④ 当$x＞1$时，反比例函数图象在正比例函数图象下方，$y_1＜y_2$，符合要求。
因此满足$y_1＜y_2$的$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，函数值大小比较
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题的核心是利用函数对称性找到所有交点，再分区间观察图象的上下位置判断函数值大小，需要注意不要遗漏第三象限的区间。
【难度系数】
0.7

3.如图,点$P(x,y)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上,$PA⊥ x$轴于点$A$,若$S_{△ AOP}=2$,则$k$的值为().

A.4
B.2
C.$-4$
D.$-3$

3.C

【分析】
本题可结合反比例函数比例系数$k$的几何意义求解：首先回忆过反比例函数图象上一点向坐标轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，我们先根据已知的三角形面积求出$|k|$，再结合函数图象所在象限判断$k$的符号，即可求出$k$的取值。
【解析】
解：
∵点$P(x,y)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且$PA⊥ x$轴，
∴$△ AOP$为直角三角形，其面积$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}·|OA|·|PA|$。
又
∵$|OA|=|x|$，$|PA|=|y|$，且由$y=\frac{k}{x}$可得$xy=k$，
∴$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
将$S_{△ AOP}=2$代入得：$\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$。
由题图可知$x＜0$时反比例函数图象在第二象限，此时$x＜0,y＞0$，故$k=xy＜0$，
∴$k=-4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数$k$的几何意义，反比例函数图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题时要注意结合图象所在象限判断$k$的符号，避免只计算绝对值漏看符号导致错解。
【难度系数】
0.6

4.如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与经过原点的直线$l$相交于$A,B$两点,点$A$的坐标为$(-3,2)$,则点$B$的坐标为().

A.$(3,-2)$
B.$(1,-6)$
C.$(2,-3)$
D.$(3,-3)$

4.A

【分析】
要确定点B的坐标，首先回忆反比例函数和过原点直线的对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为坐标原点，而过原点的直线同样关于原点对称，因此二者的交点A、B也关于原点对称。接下来只需根据关于原点对称的点的坐标规律（横、纵坐标均互为相反数），结合已知点A的坐标即可求出点B的坐标。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象是中心对称图形，对称中心为原点，且过原点的直线$l$也关于原点对称，
∴ 直线$l$与反比例函数图象的两个交点A、B关于原点对称。
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，点A的坐标为$(-3,2)$，
∴ 点B的坐标为$(3,-2)$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的对称性，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的基本性质，解题关键是掌握反比例函数与过原点的直线的交点关于原点对称的特点，可直接利用对称规律快速得到答案，无需代入计算，降低解题复杂度。
【难度系数】
0.8

5.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过BC的中点D,交AB于点E,连接DE.若$S_{△ BDE}=1$,则k的值为().

A.1
B.4
C.8
D.2

5.B

【分析】
首先设出矩形顶点B的坐标，根据矩形的性质及中点性质得到点D的坐标，代入反比例函数解析式得到ab与k的关系；再根据点E在AB上且在反比例函数图象上，求出点E的坐标；最后利用直角三角形的面积公式列方程，代入ab与k的关系即可求出k的值。
【解析】
设点B的坐标为$(a,b)$，由矩形OABC的性质可得$C(0,b)$，$A(a,0)$。
∵ D是BC的中点，
∴ D点坐标为$(\frac{a}{2},b)$。
∵ 点D在$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，将D点坐标代入解析式得：
$b=\frac{k}{\frac{a}{2}}$，整理得$ab=2k$ ①。
∵ 点E在AB边上，AB上所有点的横坐标均为$a$，将$x=a$代入$y=\frac{k}{x}$得$y=\frac{k}{a}$，
∴ E点坐标为$(a,\frac{k}{a})$。
观察可知$△ BDE$是直角三角形，$∠ B=90°$，其中$BD=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}$，$BE=b-\frac{k}{a}$。
由$S_{△ BDE}=1$，根据三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × BD × BE = 1$，即$\frac{1}{2} × \frac{a}{2} × (b-\frac{k}{a})=1$，
化简得$\frac{ab - k}{4}=1$，即$ab - k=4$ ②。
将①代入②得：$2k - k=4$，解得$k=4$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，采用设坐标的方式将几何条件转化为代数方程求解，是这类问题的常用解题方法，需要熟练掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.6