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6.已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$都在反比例函数$y=-\dfrac{a^2+1}{x}$(a是常数)的图象上，且$y_1＜0＜y_2＜y_3$，则$x_1,x_2,x_3$的大小关系是
$x_2＜x_3＜x_1$
.(用“＜”连接)答案
6.$x_2＜x_3＜x_1$
解析
【分析】
首先判断反比例函数的比例系数的正负，明确函数图象所在象限和增减性；再根据给出的y值的正负，判断三个点分别所在的象限，确定对应横坐标的正负范围；最后结合同一象限内函数的增减性比较同象限内点的横坐标大小，最终得到三个x的大小关系。
【解析】
解：对于反比例函数$y=-\dfrac{a^2+1}{x}$，
∵$a^2≥0$，
∴$a^2+1≥1＞0$，
∴比例系数$k=-(a^2+1)＜0$，
∴该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知$y_1＜0＜y_2＜y_3$：
① $y_1＜0$，说明点$A(x_1,y_1)$在第四象限，第四象限内点的横坐标为正，故$x_1＞0$；
② $y_2＞0$，$y_3＞0$，说明点$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，故$x_2＜0$，$x_3＜0$；
又
∵第二象限内$y$随$x$的增大而增大，且$y_2＜y_3$，
∴$x_2＜x_3＜0$。
结合$x_1＞0$，可得$x_2＜x_3＜x_1$。
【答案】
$x_2＜x_3＜x_1$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题的核心是先根据反比例函数比例系数的正负判断图象所在象限和增减性，注意不同象限的点不能直接用增减性比较横坐标大小，要先判断横坐标的正负范围，再比较同象限内横坐标的大小。
【难度系数】
0.8
首先判断反比例函数的比例系数的正负，明确函数图象所在象限和增减性；再根据给出的y值的正负，判断三个点分别所在的象限，确定对应横坐标的正负范围；最后结合同一象限内函数的增减性比较同象限内点的横坐标大小，最终得到三个x的大小关系。
【解析】
解：对于反比例函数$y=-\dfrac{a^2+1}{x}$，
∵$a^2≥0$，
∴$a^2+1≥1＞0$，
∴比例系数$k=-(a^2+1)＜0$，
∴该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知$y_1＜0＜y_2＜y_3$：
① $y_1＜0$，说明点$A(x_1,y_1)$在第四象限，第四象限内点的横坐标为正，故$x_1＞0$；
② $y_2＞0$，$y_3＞0$，说明点$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，故$x_2＜0$，$x_3＜0$；
又
∵第二象限内$y$随$x$的增大而增大，且$y_2＜y_3$，
∴$x_2＜x_3＜0$。
结合$x_1＞0$，可得$x_2＜x_3＜x_1$。
【答案】
$x_2＜x_3＜x_1$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题的核心是先根据反比例函数比例系数的正负判断图象所在象限和增减性，注意不同象限的点不能直接用增减性比较横坐标大小，要先判断横坐标的正负范围，再比较同象限内横坐标的大小。
【难度系数】
0.8
7.已知点$A(-1,y_1)$，$B(2,y_2)$都在函数$y=\frac{3+m}{x}$的图象上，且$y_1＞y_2$，则$m$的取值范围是
$m＜-3$
。答案
7.$m＜-3$
解析
【分析】
首先明确该函数为反比例函数，形式为$y=\frac{k}{x}$，其中$k=3+m$。已知两点横坐标一负一正，分别在y轴左右两侧，因此可通过分类讨论$k$的正负，结合反比例函数的象限分布及各象限内函数值的符号特征，判断哪种情况满足$y_1＞y_2$，最后列不等式求解$m$的范围即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{3+m}{x}$，
点$A(-1,y_1)$的横坐标$-1＜0$，点$B(2,y_2)$的横坐标$2＞0$，分两种情况讨论：
1. 若$3+m＞0$，即反比例函数的比例系数$k＞0$：
此时函数图象位于第一、三象限，当$x＜0$时，$y＜0$，即$y_1＜0$；当$x＞0$时，$y＞0$，即$y_2＞0$，可得$y_1＜y_2$，不符合题设$y_1＞y_2$，故舍去该情况。
2. 若$3+m＜0$，即反比例函数的比例系数$k＜0$：
此时函数图象位于第二、四象限，当$x＜0$时，$y＞0$，即$y_1＞0$；当$x＞0$时，$y＜0$，即$y_2＜0$，可得$y_1＞y_2$，符合题设条件。
因此$3+m＜0$，解得$m＜-3$。
【答案】
$m＜-3$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题解题的关键是根据两点横坐标的正负属性，结合反比例函数不同象限的函数值符号特点，判断比例系数的正负，不需要利用同一象限的增减性分析，避免复杂计算，掌握反比例函数的象限分布规律是解题核心。
【难度系数】
0.7
首先明确该函数为反比例函数，形式为$y=\frac{k}{x}$，其中$k=3+m$。已知两点横坐标一负一正，分别在y轴左右两侧，因此可通过分类讨论$k$的正负，结合反比例函数的象限分布及各象限内函数值的符号特征，判断哪种情况满足$y_1＞y_2$，最后列不等式求解$m$的范围即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{3+m}{x}$，
点$A(-1,y_1)$的横坐标$-1＜0$，点$B(2,y_2)$的横坐标$2＞0$，分两种情况讨论：
1. 若$3+m＞0$，即反比例函数的比例系数$k＞0$：
此时函数图象位于第一、三象限，当$x＜0$时，$y＜0$，即$y_1＜0$；当$x＞0$时，$y＞0$，即$y_2＞0$，可得$y_1＜y_2$，不符合题设$y_1＞y_2$，故舍去该情况。
2. 若$3+m＜0$，即反比例函数的比例系数$k＜0$：
此时函数图象位于第二、四象限，当$x＜0$时，$y＞0$，即$y_1＞0$；当$x＞0$时，$y＜0$，即$y_2＜0$，可得$y_1＞y_2$，符合题设条件。
因此$3+m＜0$，解得$m＜-3$。
【答案】
$m＜-3$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题解题的关键是根据两点横坐标的正负属性，结合反比例函数不同象限的函数值符号特点，判断比例系数的正负，不需要利用同一象限的增减性分析，避免复杂计算，掌握反比例函数的象限分布规律是解题核心。
【难度系数】
0.7
8.如图，点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，$AB⊥ x$轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC.若$△ AOC$的面积为2，则$k=$
8
.答案
8.8
解析
【分析】
解题时首先利用中点的性质找到△AOC和△AOB的面积关系：两个三角形同高，△AOC的底OC是△AOB的底OB的一半，因此△AOB的面积是△AOC面积的2倍，先求出△AOB的面积；再结合反比例函数中k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合图象所在象限确定k的符号，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵C是OB的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}OB$，
∵△AOC和△AOB的高均为AB，
∴$S_{△ AOB}=2S_{△ AOC}=2×2=4$，
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$x＞0$）中k的几何意义，得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|=4$，
∵函数图象位于第一象限，$k＞0$，
∴$\frac{1}{2}k=4$，解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义 2.三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题核心是先利用线段中点的性质推导得到直角三角形AOB的面积，再结合反比例函数k的几何意义求解，需要熟练掌握k的几何意义的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用中点的性质找到△AOC和△AOB的面积关系：两个三角形同高，△AOC的底OC是△AOB的底OB的一半，因此△AOB的面积是△AOC面积的2倍，先求出△AOB的面积；再结合反比例函数中k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合图象所在象限确定k的符号，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵C是OB的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}OB$，
∵△AOC和△AOB的高均为AB，
∴$S_{△ AOB}=2S_{△ AOC}=2×2=4$，
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$x＞0$）中k的几何意义，得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|=4$，
∵函数图象位于第一象限，$k＞0$，
∴$\frac{1}{2}k=4$，解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义 2.三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题核心是先利用线段中点的性质推导得到直角三角形AOB的面积，再结合反比例函数k的几何意义求解，需要熟练掌握k的几何意义的应用。
【难度系数】
0.7
9.如图,点A是反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上一点,过点A作$AB⊥ x$轴,垂足为B,线段AB交反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象于点C,则$△ OAC$的面积为
2
.答案
9.2
解析
【分析】
本题可利用反比例函数中k的几何意义求解。首先明确：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。观察图形可知，$△ OAC$的面积等于$△ OAB$的面积减去$△ OBC$的面积，因此我们只需要分别求出两个三角形的面积，作差即可得到结果。
【解析】
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，且$AB⊥x$轴，
根据反比例函数k的几何意义可得：$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×|6|=3$。
又
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，同样$CB⊥x$轴，
同理可得：$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×|2|=1$。
∴ $S_{△ OAC}=S_{△ OAB}-S_{△ OBC}=3-1=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义 2. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题的核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，通过面积差的思路求解阴影部分面积，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
本题可利用反比例函数中k的几何意义求解。首先明确：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。观察图形可知，$△ OAC$的面积等于$△ OAB$的面积减去$△ OBC$的面积，因此我们只需要分别求出两个三角形的面积，作差即可得到结果。
【解析】
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，且$AB⊥x$轴，
根据反比例函数k的几何意义可得：$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×|6|=3$。
又
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，同样$CB⊥x$轴，
同理可得：$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×|2|=1$。
∴ $S_{△ OAC}=S_{△ OAB}-S_{△ OBC}=3-1=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义 2. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题的核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，通过面积差的思路求解阴影部分面积，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
10.若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象位于第二、第四象限，则关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + k = 0$的根的情况是
有两个不相等的实数根
.答案
10.有两个不相等的实数根
解析
【分析】
解题思路可分为两步：① 先利用反比例函数图象的性质：当图象位于第二、四象限时，比例系数k＜0，得到k的取值范围；② 一元二次方程根的情况由根的判别式Δ的正负决定，因此我们只需计算该方程的Δ，结合k＜0的条件判断Δ的正负，即可得出根的情况。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象位于第二、第四象限，
∴ $k＜0$，
对于一元二次方程$x^2 - x + k = 0$，
其中$a=1$，$b=-1$，$c=k$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1× k = 1 - 4k$，
∵ $k＜0$，
∴ $-4k＞0$，
∴ $1-4k = 1 + (-4k) ＞ 1 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
反比例函数的图象与性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础的跨知识点综合题，将反比例函数性质和一元二次方程根的判断结合考查，解题的关键是准确提取反比例函数给出的k的取值范围，再代入判别式判断正负即可，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：① 先利用反比例函数图象的性质：当图象位于第二、四象限时，比例系数k＜0，得到k的取值范围；② 一元二次方程根的情况由根的判别式Δ的正负决定，因此我们只需计算该方程的Δ，结合k＜0的条件判断Δ的正负，即可得出根的情况。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象位于第二、第四象限，
∴ $k＜0$，
对于一元二次方程$x^2 - x + k = 0$，
其中$a=1$，$b=-1$，$c=k$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1× k = 1 - 4k$，
∵ $k＜0$，
∴ $-4k＞0$，
∴ $1-4k = 1 + (-4k) ＞ 1 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
反比例函数的图象与性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础的跨知识点综合题，将反比例函数性质和一元二次方程根的判断结合考查，解题的关键是准确提取反比例函数给出的k的取值范围，再代入判别式判断正负即可，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
11.如图,函数$y_1=-\frac{1}{2}x+5$与$y_2=\frac{k}{x}$($k$为常数,$x＞0$)的图象相交于$A(2,m),B(n,1)$两点.
(1)求$m,n$的值;
(2)求函数$y_2$的解析式;
(3)当$y_1＞y_2$时,求$x$的取值范围.
(1)求$m,n$的值;
(2)求函数$y_2$的解析式;
(3)当$y_1＞y_2$时,求$x$的取值范围.
答案
11.【解】(1)根据题意,把$A(2,m),B(n,1)$分别代入$y_1=-\frac{1}{2}x+5$,解得$m=4,n=8$.
(2)把$A(2,4)$代入$y_2=\frac{k}{x}$,解得$k=8$.
∴函数$y_2$的解析式为$y_2=\frac{8}{x}$.
(3)根据两个函数图象,可得当$y_1＞y_2$时,$x$的取值范围为$2＜x＜8$.
(2)把$A(2,4)$代入$y_2=\frac{k}{x}$,解得$k=8$.
∴函数$y_2$的解析式为$y_2=\frac{8}{x}$.
(3)根据两个函数图象,可得当$y_1＞y_2$时,$x$的取值范围为$2＜x＜8$.
解析
【分析】
(1)已知点A、B都在一次函数$y_1$的图象上，点的坐标必然满足函数解析式，将A、B两点坐标分别代入$y_1$的表达式，即可分别求出m、n的值；
(2)反比例函数$y_2$中只有待定系数k未知，将第一问求出的A点（或B点）坐标代入$y_2$的表达式，求出k的值即可得到$y_2$的解析式；
(3)$y_1＞y_2$反映在图象上是一次函数的图象在反比例函数图象上方的部分，结合两个交点的横坐标，且题目限定$x＞0$，利用数形结合思想即可直接得出x的取值范围。
【解析】
(1)将$A(2,m)$代入$y_1=-\frac{1}{2}x+5$，得：
$m=-\frac{1}{2}×2 +5 = 4$
将$B(n,1)$代入$y_1=-\frac{1}{2}x+5$，得：
$1=-\frac{1}{2}n +5$
解得$n=8$
(2)由(1)得A点坐标为$(2,4)$，将其代入$y_2=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{2}$
解得$k=8$
∴函数$y_2$的解析式为$y_2=\frac{8}{x}(x＞0)$
(3)结合图象可知，两个函数交点的横坐标为2和8，且反比例函数自变量$x＞0$，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应x的取值范围为$2＜x＜8$，即当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$2＜x＜8$。
【答案】
(1)$m=4$，$n=8$；
(2)$y_2=\frac{8}{x}$；
(3)$2＜x＜8$
【知识点】
一次函数点坐标应用；反比例函数解析式求解；数形结合解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考察函数图象上的点坐标与函数解析式的对应关系，以及利用图象直观求解不等式的数形结合思想，解题时要注意自变量的取值范围限制。
【难度系数】
0.8
(1)已知点A、B都在一次函数$y_1$的图象上，点的坐标必然满足函数解析式，将A、B两点坐标分别代入$y_1$的表达式，即可分别求出m、n的值；
(2)反比例函数$y_2$中只有待定系数k未知，将第一问求出的A点（或B点）坐标代入$y_2$的表达式，求出k的值即可得到$y_2$的解析式；
(3)$y_1＞y_2$反映在图象上是一次函数的图象在反比例函数图象上方的部分，结合两个交点的横坐标，且题目限定$x＞0$，利用数形结合思想即可直接得出x的取值范围。
【解析】
(1)将$A(2,m)$代入$y_1=-\frac{1}{2}x+5$，得：
$m=-\frac{1}{2}×2 +5 = 4$
将$B(n,1)$代入$y_1=-\frac{1}{2}x+5$，得：
$1=-\frac{1}{2}n +5$
解得$n=8$
(2)由(1)得A点坐标为$(2,4)$，将其代入$y_2=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{2}$
解得$k=8$
∴函数$y_2$的解析式为$y_2=\frac{8}{x}(x＞0)$
(3)结合图象可知，两个函数交点的横坐标为2和8，且反比例函数自变量$x＞0$，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应x的取值范围为$2＜x＜8$，即当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$2＜x＜8$。
【答案】
(1)$m=4$，$n=8$；
(2)$y_2=\frac{8}{x}$；
(3)$2＜x＜8$
【知识点】
一次函数点坐标应用；反比例函数解析式求解；数形结合解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考察函数图象上的点坐标与函数解析式的对应关系，以及利用图象直观求解不等式的数形结合思想，解题时要注意自变量的取值范围限制。
【难度系数】
0.8
