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12.如图,在平面直角坐标系中,有反比例函数$y_1=\frac{k}{x}(k≠0)$和$y_2=\frac{10}{x}$,当$x＞0$时,在函数$y_2$的图象上取点A,过点A作$AB⊥x$轴,垂足为B交$y_1$的图象于点C,连接OA,若$AC:BC=1:1$.
(1)求$△ ABO$的面积;
(2)求k的值.
(1)求$△ ABO$的面积;
(2)求k的值.
答案
12.【解】(1)设$A(a,b)$.
∵点$A$在函数$y_2$的图象上,$∴ab=10$.
∴$△ABO$的面积$=\frac{1}{2}ab=5$.
(2)由已知条件,可得点$C(a,\frac{1}{2}b)$.
∵点$C$在函数$y_1$的图象上,
∴$k=\frac{1}{2}ab=5$.
∵点$A$在函数$y_2$的图象上,$∴ab=10$.
∴$△ABO$的面积$=\frac{1}{2}ab=5$.
(2)由已知条件,可得点$C(a,\frac{1}{2}b)$.
∵点$C$在函数$y_1$的图象上,
∴$k=\frac{1}{2}ab=5$.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的相关性质，解题思路如下：(1)求△ABO的面积，可先设出点A的坐标，利用点A在反比例函数$y_2$的图象上得到横纵坐标的乘积，再结合直角三角形面积公式计算即可，也可直接利用反比例函数k的几何意义求解；(2)先根据$AC:BC=1:1$得出点C是线段AB的中点，得到点C的坐标与点A坐标的关系，再将点C坐标代入$y_1$的解析式，结合点A横纵坐标的乘积即可求出k的值。
【解析】
(1)设点A的坐标为$(a,b)$。
∵点A在函数$y_2=\frac{10}{x}$的图象上，
∴$b=\frac{10}{a}$，即$ab=10$。
∵$AB⊥x$轴，
∴$OB=a$，$AB=b$，△ABO为直角三角形，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}· OB· AB=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×10=5$。
(2)
∵$AC:BC=1:1$，
∴C为AB的中点，
∵AB垂直x轴，点A坐标为$(a,b)$，
∴点C的横坐标与A相同，纵坐标为$\frac{1}{2}b$，即$C(a,\frac{1}{2}b)$。
∵点C在函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$\frac{1}{2}b=\frac{k}{a}$，整理得$k=\frac{1}{2}ab$，
将$ab=10$代入，得$k=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
(1)$△ ABO$的面积为$\boxed{5}$；
(2)$k$的值为$\boxed{5}$。
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，将线段比例关系和反比例函数性质结合考查，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上的点横纵坐标乘积等于k，以及k的几何意义的应用。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的相关性质，解题思路如下：(1)求△ABO的面积，可先设出点A的坐标，利用点A在反比例函数$y_2$的图象上得到横纵坐标的乘积，再结合直角三角形面积公式计算即可，也可直接利用反比例函数k的几何意义求解；(2)先根据$AC:BC=1:1$得出点C是线段AB的中点，得到点C的坐标与点A坐标的关系，再将点C坐标代入$y_1$的解析式，结合点A横纵坐标的乘积即可求出k的值。
【解析】
(1)设点A的坐标为$(a,b)$。
∵点A在函数$y_2=\frac{10}{x}$的图象上，
∴$b=\frac{10}{a}$，即$ab=10$。
∵$AB⊥x$轴，
∴$OB=a$，$AB=b$，△ABO为直角三角形，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}· OB· AB=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×10=5$。
(2)
∵$AC:BC=1:1$，
∴C为AB的中点，
∵AB垂直x轴，点A坐标为$(a,b)$，
∴点C的横坐标与A相同，纵坐标为$\frac{1}{2}b$，即$C(a,\frac{1}{2}b)$。
∵点C在函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$\frac{1}{2}b=\frac{k}{a}$，整理得$k=\frac{1}{2}ab$，
将$ab=10$代入，得$k=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
(1)$△ ABO$的面积为$\boxed{5}$；
(2)$k$的值为$\boxed{5}$。
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，将线段比例关系和反比例函数性质结合考查，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上的点横纵坐标乘积等于k，以及k的几何意义的应用。
【难度系数】
0.8
1.如图，直线$y=mx(m≠0)$与双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$交于A，B两点，过点A作$AM⊥x$轴，垂足为M，连接BM.若$S_{△ ABM}=2$，则k的值是(
B
). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先利用正比例函数与反比例函数的中心对称性，可知两函数的交点A、B关于原点对称，两点横、纵坐标均互为相反数。接着可将△ABM的面积拆分为△AOM和△BOM的面积之和，再结合反比例函数k的几何意义（反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足、原点围成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$），即可建立面积和k的关系求解。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵ 正比例函数$y=mx$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象均关于原点对称，
∴ 交点A、B关于原点对称，即点B的坐标为$(-x,-y)$。
∵ $AM⊥x$轴，垂足为M，
∴ 点M的坐标为$(x,0)$，$OM=|x|$。
△AOM的面积：$S_{△ AOM}=\frac{1}{2} × OM × |y|=\frac{1}{2}|xy|$，
△BOM的面积：$S_{△ BOM}=\frac{1}{2} × OM × |-y|=\frac{1}{2}|xy|$，
∵ 点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $xy=k$，即$|xy|=|k|$。
∴ $S_{△ ABM}=S_{△ AOM}+S_{△ BOM}=\frac{1}{2}|k|+\frac{1}{2}|k|=|k|$。
由题知$S_{△ ABM}=2$，且双曲线位于第一、三象限，$k＞0$，
∴ $k=2$。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.函数图象的中心对称性
3.三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考基础题型，解题核心是利用函数图象的对称性简化坐标关系，再通过拆分三角形面积结合反比例函数k的几何意义快速求解，能有效考查学生对反比例函数性质的掌握程度和数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正比例函数与反比例函数的中心对称性，可知两函数的交点A、B关于原点对称，两点横、纵坐标均互为相反数。接着可将△ABM的面积拆分为△AOM和△BOM的面积之和，再结合反比例函数k的几何意义（反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足、原点围成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$），即可建立面积和k的关系求解。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵ 正比例函数$y=mx$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象均关于原点对称，
∴ 交点A、B关于原点对称，即点B的坐标为$(-x,-y)$。
∵ $AM⊥x$轴，垂足为M，
∴ 点M的坐标为$(x,0)$，$OM=|x|$。
△AOM的面积：$S_{△ AOM}=\frac{1}{2} × OM × |y|=\frac{1}{2}|xy|$，
△BOM的面积：$S_{△ BOM}=\frac{1}{2} × OM × |-y|=\frac{1}{2}|xy|$，
∵ 点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $xy=k$，即$|xy|=|k|$。
∴ $S_{△ ABM}=S_{△ AOM}+S_{△ BOM}=\frac{1}{2}|k|+\frac{1}{2}|k|=|k|$。
由题知$S_{△ ABM}=2$，且双曲线位于第一、三象限，$k＞0$，
∴ $k=2$。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.函数图象的中心对称性
3.三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考基础题型，解题核心是利用函数图象的对称性简化坐标关系，再通过拆分三角形面积结合反比例函数k的几何意义快速求解，能有效考查学生对反比例函数性质的掌握程度和数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
2.已知某函数的函数值$y$和自变量$x$的部分对应值如表：
则这个函数的图象可能是(
(A) (B) (C) (D)
则这个函数的图象可能是(
B
).(A) (B) (C) (D)
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，回忆反比例函数的基本特征：反比例函数的表达式可变形为$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$），即同一组对应$x$、$y$的乘积为定值，因此可通过计算表格中$x$与$y$的乘积，判断该函数为反比例函数；第二步，根据乘积的正负确定$k$的符号，$k＞0$时反比例函数图象位于第一、三象限，$k＜0$时位于第二、四象限，据此先排除象限不符的选项；第三步，再结合反比例函数的增减性进一步排除错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先，由反比例函数的性质可知，反比例函数满足$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$），计算表格中各组$x$与$y$的乘积，可得乘积为定值且为正数，即$k＞0$，因此该反比例函数的图象位于第一、第三象限，可先排除图象在第二、第四象限的选项；
其次，$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，结合表格中$x＞0$时$x$增大$y$减小、$x＜0$时$x$增大$y$减小的特征，进一步排除不符合增减性的反比例函数图象选项，最终可得正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象特征；反比例函数的增减性
【点评】
本题考查反比例函数图象与性质的基础应用，需要结合表格数据确定函数的类型与参数符号，再结合图象性质筛选答案，能有效考查对反比例函数核心性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，回忆反比例函数的基本特征：反比例函数的表达式可变形为$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$），即同一组对应$x$、$y$的乘积为定值，因此可通过计算表格中$x$与$y$的乘积，判断该函数为反比例函数；第二步，根据乘积的正负确定$k$的符号，$k＞0$时反比例函数图象位于第一、三象限，$k＜0$时位于第二、四象限，据此先排除象限不符的选项；第三步，再结合反比例函数的增减性进一步排除错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先，由反比例函数的性质可知，反比例函数满足$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$），计算表格中各组$x$与$y$的乘积，可得乘积为定值且为正数，即$k＞0$，因此该反比例函数的图象位于第一、第三象限，可先排除图象在第二、第四象限的选项；
其次，$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，结合表格中$x＞0$时$x$增大$y$减小、$x＜0$时$x$增大$y$减小的特征，进一步排除不符合增减性的反比例函数图象选项，最终可得正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象特征；反比例函数的增减性
【点评】
本题考查反比例函数图象与性质的基础应用，需要结合表格数据确定函数的类型与参数符号，再结合图象性质筛选答案，能有效考查对反比例函数核心性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
3.已知$(-2,3)$和$(n,6)$是反比例函数$y=\frac{m-1}{x}$图象上的两点，则$n=$
$-1$
，$m=$$-5$
，该函数的图象位于第二、第四
象限。答案
3.$-1,-5$,第二、第四
解析
【分析】
本题可根据反比例函数的基本性质逐步求解：①首先，反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于其比例系数，因此可先将已知点$(-2,3)$代入函数解析式，求出$m$的值，确定反比例函数的完整表达式；②再将第二个点$(n,6)$代入已确定的解析式，即可求出$n$的值；③最后根据比例系数的正负，判断函数图象所在的象限。
【解析】
1. 求$m$的值：
将点$(-2,3)$代入反比例函数$y=\frac{m-1}{x}$，得：
$3=\frac{m-1}{-2}$
两边同乘$-2$，得：$m-1=3×(-2)=-6$
解得：$m=-6+1=-5$
此时反比例函数的解析式为$y=\frac{-6}{x}$。
2. 求$n$的值：
将点$(n,6)$代入$y=\frac{-6}{x}$，得：
$6=\frac{-6}{n}$
解得：$n=\frac{-6}{6}=-1$
3. 判断函数图象所在象限：
该反比例函数的比例系数为$-6＜0$，根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，函数图象位于第二、第四象限。
【答案】
$-1$，$-5$，第二、第四
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；反比例函数的图象与性质；待定系数法
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数基本性质的掌握，只要熟练掌握图象上点的坐标与解析式的关系、比例系数对图象位置的影响，即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题可根据反比例函数的基本性质逐步求解：①首先，反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于其比例系数，因此可先将已知点$(-2,3)$代入函数解析式，求出$m$的值，确定反比例函数的完整表达式；②再将第二个点$(n,6)$代入已确定的解析式，即可求出$n$的值；③最后根据比例系数的正负，判断函数图象所在的象限。
【解析】
1. 求$m$的值：
将点$(-2,3)$代入反比例函数$y=\frac{m-1}{x}$，得：
$3=\frac{m-1}{-2}$
两边同乘$-2$，得：$m-1=3×(-2)=-6$
解得：$m=-6+1=-5$
此时反比例函数的解析式为$y=\frac{-6}{x}$。
2. 求$n$的值：
将点$(n,6)$代入$y=\frac{-6}{x}$，得：
$6=\frac{-6}{n}$
解得：$n=\frac{-6}{6}=-1$
3. 判断函数图象所在象限：
该反比例函数的比例系数为$-6＜0$，根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，函数图象位于第二、第四象限。
【答案】
$-1$，$-5$，第二、第四
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；反比例函数的图象与性质；待定系数法
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数基本性质的掌握，只要熟练掌握图象上点的坐标与解析式的关系、比例系数对图象位置的影响，即可快速求解。
【难度系数】
0.85
