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4.如图，A，B两点在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞1,x＞0)$上，分别经过A，B两点向坐标轴作垂线段，已知$S_{阴影}=1$，则$S_1+S_2=$
（第4题）
$2k-2$
（用含k的代数式表示）。（第4题）答案
4.$2k-2$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴围成的矩形面积等于|k|。观察图形可知，S₁与阴影部分的面积和等于点A对应的矩形面积，S₂与阴影部分的面积和等于点B对应的矩形面积，已知阴影面积为1，分别表示出S₁和S₂再求和即可。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞1,x＞0)$中k的几何意义可得：
过点A向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$k$，因此$S_1 + S_{阴影}=k$；
过点B向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$k$，因此$S_2 + S_{阴影}=k$。
已知$S_{阴影}=1$，则$S_1 = k - 1$，$S_2 = k - 1$，
所以$S_1 + S_2 = (k-1)+(k-1) = 2k - 2$。
【答案】
$2k-2$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；整式的加减运算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题，解题的核心是掌握过双曲线上的点作坐标轴垂线形成的矩形面积与k的关系，结合图形的面积和差关系即可快速求解，是反比例函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴围成的矩形面积等于|k|。观察图形可知，S₁与阴影部分的面积和等于点A对应的矩形面积，S₂与阴影部分的面积和等于点B对应的矩形面积，已知阴影面积为1，分别表示出S₁和S₂再求和即可。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞1,x＞0)$中k的几何意义可得：
过点A向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$k$，因此$S_1 + S_{阴影}=k$；
过点B向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$k$，因此$S_2 + S_{阴影}=k$。
已知$S_{阴影}=1$，则$S_1 = k - 1$，$S_2 = k - 1$，
所以$S_1 + S_2 = (k-1)+(k-1) = 2k - 2$。
【答案】
$2k-2$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；整式的加减运算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题，解题的核心是掌握过双曲线上的点作坐标轴垂线形成的矩形面积与k的关系，结合图形的面积和差关系即可快速求解，是反比例函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,2),D为BC的中点.反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象过点D,交AB于点E.
(1)求点D的坐标和k的值;
(2)连接DE,延长DE交x轴于点F,求△AFE的面积.
(1)求点D的坐标和k的值;
(2)连接DE,延长DE交x轴于点F,求△AFE的面积.
答案
5.【解】(1)
∵四边形OABC为矩形,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,2),
∴点$B(4,2)$.
∵D为BC的中点,$∴D(2,2)$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点D,
∴$2=\frac{k}{2}$.$∴k=4$.
(2)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交AB于点E,
∴设点$E(4,m)$.
由(1)知反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$,
则$m=\frac{4}{4}=1$.$∴E(4,1)$.
设直线DE的解析式为$y=ax+b$,
则$\begin{cases}2a+b=2,\\4a+b=1.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=3.\end{cases}$
∴直线DE的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$.
令$y=0$,则$x=6$,
∴点$F(6,0)$.$∴OF=6$.
∵$OA=4$,$∴AF=OF-OA=2$.
∵$AE=1$,
∴$S_{△AEF}=\frac{1}{2}AF·AE=1$.
∵四边形OABC为矩形,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,2),
∴点$B(4,2)$.
∵D为BC的中点,$∴D(2,2)$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点D,
∴$2=\frac{k}{2}$.$∴k=4$.
(2)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交AB于点E,
∴设点$E(4,m)$.
由(1)知反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$,
则$m=\frac{4}{4}=1$.$∴E(4,1)$.
设直线DE的解析式为$y=ax+b$,
则$\begin{cases}2a+b=2,\\4a+b=1.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=3.\end{cases}$
∴直线DE的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$.
令$y=0$,则$x=6$,
∴点$F(6,0)$.$∴OF=6$.
∵$OA=4$,$∴AF=OF-OA=2$.
∵$AE=1$,
∴$S_{△AEF}=\frac{1}{2}AF·AE=1$.
解析
【分析】
(1) 求解点D坐标与k值时，先依据矩形对边平行且相等的性质，结合已知的A、C两点坐标推出点B的坐标，再根据中点坐标特征得到D点坐标；最后将D点坐标代入反比例函数解析式，即可计算出k的值。
(2) 求解△AFE的面积时，首先利用E点在AB边上的位置特征确定E点横坐标为4，代入反比例函数解析式得到E点坐标；再用待定系数法求出直线DE的解析式，令解析式中y=0得到F点坐标，进而求出AF的长度；最后结合AE的长度，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,2)，
∴点B的坐标为(4,2)。
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(2,2)。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象过点D，
∴将D(2,2)代入解析式得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$。
(2)
∵反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象交AB于点E，点E在AB边上，
∴设点E的坐标为(4,m)。
将E(4,m)代入$y=\frac{4}{x}$，得$m=\frac{4}{4}=1$，即E(4,1)。
设直线DE的解析式为$y=ax+b$，将D(2,2)、E(4,1)代入得：
$\begin{cases}2a+b=2\\4a+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=3\end{cases}$
∴直线DE的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=6$，即点F的坐标为(6,0)。
∴$AF=OF-OA=6-4=2$，又$AE=1$，
∴$S_{△AEF}=\frac{1}{2}×AF×AE=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
(1) 点D的坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$，$k$的值为$\boldsymbol{4}$；
(2) $△ AFE$的面积为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
矩形的性质；待定系数法求函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础综合题，考查了矩形性质的应用、函数解析式的求解方法以及坐标系内图形面积的计算，解题的关键是准确求出各关键点的坐标，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求解点D坐标与k值时，先依据矩形对边平行且相等的性质，结合已知的A、C两点坐标推出点B的坐标，再根据中点坐标特征得到D点坐标；最后将D点坐标代入反比例函数解析式，即可计算出k的值。
(2) 求解△AFE的面积时，首先利用E点在AB边上的位置特征确定E点横坐标为4，代入反比例函数解析式得到E点坐标；再用待定系数法求出直线DE的解析式，令解析式中y=0得到F点坐标，进而求出AF的长度；最后结合AE的长度，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,2)，
∴点B的坐标为(4,2)。
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(2,2)。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象过点D，
∴将D(2,2)代入解析式得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$。
(2)
∵反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象交AB于点E，点E在AB边上，
∴设点E的坐标为(4,m)。
将E(4,m)代入$y=\frac{4}{x}$，得$m=\frac{4}{4}=1$，即E(4,1)。
设直线DE的解析式为$y=ax+b$，将D(2,2)、E(4,1)代入得：
$\begin{cases}2a+b=2\\4a+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=3\end{cases}$
∴直线DE的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=6$，即点F的坐标为(6,0)。
∴$AF=OF-OA=6-4=2$，又$AE=1$，
∴$S_{△AEF}=\frac{1}{2}×AF×AE=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
(1) 点D的坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$，$k$的值为$\boldsymbol{4}$；
(2) $△ AFE$的面积为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
矩形的性质；待定系数法求函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础综合题，考查了矩形性质的应用、函数解析式的求解方法以及坐标系内图形面积的计算，解题的关键是准确求出各关键点的坐标，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
