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12.在美术馆里，琪琪看到一幅画面不大的古典名画镶嵌在一个四周宽度相同的十分精致的画框内，占据了墙面上很大的一块地方.如果这幅名画的长为20 cm，高为30 cm，在墙面上所占的面积为3 000 cm²，那么这幅画的画框的宽度为多少？
答案
12.【解】设这幅画的画框的宽度为x cm，
根据题意，列出方程$(2x+20)(2x+30)=3\ 000.$
整理，得$x^2+25x-600=0.$
解得$x_1=15,x_2=-40$(不合题意,舍去).
答:这幅画的画框的宽度为15 cm.
根据题意，列出方程$(2x+20)(2x+30)=3\ 000.$
整理，得$x^2+25x-600=0.$
解得$x_1=15,x_2=-40$(不合题意,舍去).
答:这幅画的画框的宽度为15 cm.
解析
【分析】
这是一道结合长方形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：①先明确未知量为画框宽度，可设为x cm；②因为画框四周宽度相同，所以包含画和画框的整体长方形的长为名画长度加左右两侧画框宽度，即(20+2x)cm，整体的高为名画高度加上下两侧画框宽度，即(30+2x)cm；③根据“整体占地面积为3000cm²”，结合长方形面积=长×宽的等量关系列方程；④解方程后结合实际意义（宽度为正数）舍去不符合的根，即可得到答案。
【解析】
设这幅画的画框的宽度为x cm，
根据题意，包含画和画框的整体长方形的长为(20+2x)cm，高为(30+2x)cm，可列方程：
$(2x+20)(2x+30)=3000$
展开并整理方程：
$4x^2+60x+40x+600=3000$
$x^2+25x-600=0$
解方程得：$x_1=15$，$x_2=-40$
因为画框宽度不能为负数，所以$x_2=-40$不合题意，舍去。
答：这幅画的画框的宽度为15 cm。
【答案】
15 cm
【知识点】
一元二次方程的应用、长方形面积计算、一元二次方程求解
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，解题关键是正确表示出组合图形的长和宽，找准等量关系建立方程，同时要注意求解后需结合实际问题的意义检验根的合理性，考查学生的建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道结合长方形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：①先明确未知量为画框宽度，可设为x cm；②因为画框四周宽度相同，所以包含画和画框的整体长方形的长为名画长度加左右两侧画框宽度，即(20+2x)cm，整体的高为名画高度加上下两侧画框宽度，即(30+2x)cm；③根据“整体占地面积为3000cm²”，结合长方形面积=长×宽的等量关系列方程；④解方程后结合实际意义（宽度为正数）舍去不符合的根，即可得到答案。
【解析】
设这幅画的画框的宽度为x cm，
根据题意，包含画和画框的整体长方形的长为(20+2x)cm，高为(30+2x)cm，可列方程：
$(2x+20)(2x+30)=3000$
展开并整理方程：
$4x^2+60x+40x+600=3000$
$x^2+25x-600=0$
解方程得：$x_1=15$，$x_2=-40$
因为画框宽度不能为负数，所以$x_2=-40$不合题意，舍去。
答：这幅画的画框的宽度为15 cm。
【答案】
15 cm
【知识点】
一元二次方程的应用、长方形面积计算、一元二次方程求解
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，解题关键是正确表示出组合图形的长和宽，找准等量关系建立方程，同时要注意求解后需结合实际问题的意义检验根的合理性，考查学生的建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
1.如图,某小区有一块长为18 m宽为6 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60 m²,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行通道的宽度为x m,则可以列出关于x的方程是(
A.$x^2 + 9x - 8 = 0$
B.$x^2 - 9x - 8 = 0$
C.$x^2 - 9x + 8 = 0$
D.$2x^2 - 9x + 8 = 0$
C
).A.$x^2 + 9x - 8 = 0$
B.$x^2 - 9x - 8 = 0$
C.$x^2 - 9x + 8 = 0$
D.$2x^2 - 9x + 8 = 0$
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决几何面积的实际问题，解题思路如下：首先明确人行通道宽度为x，通过平移法将两块绿地合并为一个整体的矩形，分别推导合并后矩形的长和宽：水平方向上大矩形总长18m，共分布3段宽度为x的通道（左右两侧各1段、两块绿地中间1段），因此绿地总长度为18-3x；竖直方向上大矩形总宽6m，共分布2段宽度为x的通道（上下各1段），因此绿地总宽度为6-2x。再根据绿地总面积为60m²列方程，最后化简为标准一元二次方程形式匹配选项即可。
【解析】
解：设人行通道的宽度为x m。
将两块矩形绿地平移合并后，合并矩形的长为(18-3x)m，宽为(6-2x)m。
根据绿地总面积为60m²，列方程：
$(18-3x)(6-2x)=60$
展开左边得：
$6x^2 -54x +108=60$
移项并化简（两边同时除以6）：
$x^2 -9x +8=0$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程几何应用，矩形面积计算，方程化简
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是通过平移法准确表示出绿地合并后的长和宽，避免重复计算通道宽度，化简方程时注意化为最简形式再匹配选项，可减少计算误差。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决几何面积的实际问题，解题思路如下：首先明确人行通道宽度为x，通过平移法将两块绿地合并为一个整体的矩形，分别推导合并后矩形的长和宽：水平方向上大矩形总长18m，共分布3段宽度为x的通道（左右两侧各1段、两块绿地中间1段），因此绿地总长度为18-3x；竖直方向上大矩形总宽6m，共分布2段宽度为x的通道（上下各1段），因此绿地总宽度为6-2x。再根据绿地总面积为60m²列方程，最后化简为标准一元二次方程形式匹配选项即可。
【解析】
解：设人行通道的宽度为x m。
将两块矩形绿地平移合并后，合并矩形的长为(18-3x)m，宽为(6-2x)m。
根据绿地总面积为60m²，列方程：
$(18-3x)(6-2x)=60$
展开左边得：
$6x^2 -54x +108=60$
移项并化简（两边同时除以6）：
$x^2 -9x +8=0$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程几何应用，矩形面积计算，方程化简
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是通过平移法准确表示出绿地合并后的长和宽，避免重复计算通道宽度，化简方程时注意化为最简形式再匹配选项，可减少计算误差。
【难度系数】
0.7
2.已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程$x^2 -8x +15=0$的一个实数根，则该三角形的面积是(
A.6或$2\sqrt{5}$
B.6或10
C.12或$4\sqrt{5}$
D.30或18
A
).A.6或$2\sqrt{5}$
B.6或10
C.12或$4\sqrt{5}$
D.30或18
答案
2.A
解析
【分析】
解题思路如下：①首先求解一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；②根据三角形三边关系，验证两个取值是否都能和已知的3、4构成三角形；③对每一种符合条件的第三边长度，分别计算对应的三角形面积，最终得到所有可能的面积结果。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$，两个根均满足三角形三边关系（$4-3＜3＜4+3$，$4-3＜5＜4+3$），分两种情况讨论：
情况1：第三边长为5
此时三角形三边长为3、4、5，满足$3^2+4^2=5^2$，为直角三角形，直角边长为3和4
面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$
情况2：第三边长为3
此时三角形三边长为3、3、4，为等腰三角形，过顶点作底边4的高，根据等腰三角形三线合一，底边一半长为2
由勾股定理得高$h=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
面积$S=\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
综上，该三角形的面积为6或$2\sqrt{5}$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题时要注意分类讨论第三边的不同取值，避免漏解，同时需注意先验证三边是否符合三角形构成条件再计算面积。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先求解一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；②根据三角形三边关系，验证两个取值是否都能和已知的3、4构成三角形；③对每一种符合条件的第三边长度，分别计算对应的三角形面积，最终得到所有可能的面积结果。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$，两个根均满足三角形三边关系（$4-3＜3＜4+3$，$4-3＜5＜4+3$），分两种情况讨论：
情况1：第三边长为5
此时三角形三边长为3、4、5，满足$3^2+4^2=5^2$，为直角三角形，直角边长为3和4
面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$
情况2：第三边长为3
此时三角形三边长为3、3、4，为等腰三角形，过顶点作底边4的高，根据等腰三角形三线合一，底边一半长为2
由勾股定理得高$h=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
面积$S=\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
综上，该三角形的面积为6或$2\sqrt{5}$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题时要注意分类讨论第三边的不同取值，避免漏解，同时需注意先验证三边是否符合三角形构成条件再计算面积。
【难度系数】
0.7
3.一个菱形水池,它的两条对角线长的差为2 m,水池的边长都是5 m,则这个菱形水池的面积为
24
$ cm^2.$答案
3.24
解析
【分析】
解题时首先结合菱形的性质思考：菱形的对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半与菱形边长可构成直角三角形，满足勾股定理；同时菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。我们可以设其中一条对角线的一半为未知数，根据两条对角线的差表示出另一条对角线的一半，再通过勾股定理列一元二次方程求解，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：设较短对角线的一半长度为$a\,\mathrm{m}$，由两条对角线长的差为2$\mathrm{m}$，可得较长对角线的一半长度为$(a+1)\,\mathrm{m}$。
根据菱形对角线互相垂直的性质，结合勾股定理得：
$a^2 + (a+1)^2 = 5^2$
展开整理方程：
$a^2 + a^2 + 2a + 1 = 25$
$2a^2 + 2a - 24 = 0$
化简为：$a^2 + a - 12 = 0$
因式分解得：$(a+4)(a-3)=0$
解得$a_1=3$，$a_2=-4$（长度为正数，舍去负根）
因此较短对角线长为$2a=6\,\mathrm{m}$，较长对角线长为$2(a+1)=8\,\mathrm{m}$。
菱形水池的面积为：$S=\frac{1}{2}×6×8=24\,\mathrm{m}^2$
【答案】
24
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】
本题将几何图形性质与一元二次方程的应用结合，解题的核心是利用菱形对角线互相垂直平分的特点构造直角三角形，通过勾股定理建立等量关系列方程，熟记菱形面积的特殊计算方法可简化运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合菱形的性质思考：菱形的对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半与菱形边长可构成直角三角形，满足勾股定理；同时菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。我们可以设其中一条对角线的一半为未知数，根据两条对角线的差表示出另一条对角线的一半，再通过勾股定理列一元二次方程求解，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：设较短对角线的一半长度为$a\,\mathrm{m}$，由两条对角线长的差为2$\mathrm{m}$，可得较长对角线的一半长度为$(a+1)\,\mathrm{m}$。
根据菱形对角线互相垂直的性质，结合勾股定理得：
$a^2 + (a+1)^2 = 5^2$
展开整理方程：
$a^2 + a^2 + 2a + 1 = 25$
$2a^2 + 2a - 24 = 0$
化简为：$a^2 + a - 12 = 0$
因式分解得：$(a+4)(a-3)=0$
解得$a_1=3$，$a_2=-4$（长度为正数，舍去负根）
因此较短对角线长为$2a=6\,\mathrm{m}$，较长对角线长为$2(a+1)=8\,\mathrm{m}$。
菱形水池的面积为：$S=\frac{1}{2}×6×8=24\,\mathrm{m}^2$
【答案】
24
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】
本题将几何图形性质与一元二次方程的应用结合，解题的核心是利用菱形对角线互相垂直平分的特点构造直角三角形，通过勾股定理建立等量关系列方程，熟记菱形面积的特殊计算方法可简化运算。
【难度系数】
0.7
4.如图,有一张长 40 cm,宽 25 cm 的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成无盖纸盒.若纸盒的底面积是 450 cm²,则纸盒的高是
5
cm. 答案
4.5
解析
【分析】
首先明确纸盒的高就是裁去的四个小正方形的边长，我们可设高为x cm。折成无盖纸盒后，底面的长等于原长方形的长减去左右两个小正方形的边长，即(40-2x)cm，底面的宽等于原长方形的宽减去上下两个小正方形的边长，即(25-2x)cm。已知纸盒底面积是450cm²，根据“长方形面积=长×宽”即可列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根，就能得到纸盒的高。
【解析】
解：设纸盒的高为x cm，即裁去的小正方形边长为x cm。
则纸盒底面的长为$(40-2x)\ \mathrm{cm}$，底面的宽为$(25-2x)\ \mathrm{cm}$。
根据底面积为$450\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(40-2x)(25-2x)=450$
展开整理得：
$2x^2 - 65x + 275 = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=27.5$
当$x=27.5$时，$25-2x=-30＜0$，不符合实际情况，故舍去。
所以$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 长方形面积计算
3. 实际问题验根
【点评】
本题是典型的几何结合方程的实际应用题，解题核心是准确梳理折叠后底面长宽和原图形、纸盒高的数量关系，结合面积公式建立方程，求解后要注意根据实际几何意义排除不符合的根，侧重考查学生梳理等量关系和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确纸盒的高就是裁去的四个小正方形的边长，我们可设高为x cm。折成无盖纸盒后，底面的长等于原长方形的长减去左右两个小正方形的边长，即(40-2x)cm，底面的宽等于原长方形的宽减去上下两个小正方形的边长，即(25-2x)cm。已知纸盒底面积是450cm²，根据“长方形面积=长×宽”即可列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根，就能得到纸盒的高。
【解析】
解：设纸盒的高为x cm，即裁去的小正方形边长为x cm。
则纸盒底面的长为$(40-2x)\ \mathrm{cm}$，底面的宽为$(25-2x)\ \mathrm{cm}$。
根据底面积为$450\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(40-2x)(25-2x)=450$
展开整理得：
$2x^2 - 65x + 275 = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=27.5$
当$x=27.5$时，$25-2x=-30＜0$，不符合实际情况，故舍去。
所以$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 长方形面积计算
3. 实际问题验根
【点评】
本题是典型的几何结合方程的实际应用题，解题核心是准确梳理折叠后底面长宽和原图形、纸盒高的数量关系，结合面积公式建立方程，求解后要注意根据实际几何意义排除不符合的根，侧重考查学生梳理等量关系和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5.已知四边形ABCD的两条邻边AB，AD的长是关于x的方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$的两个实数根.
(1)若四边形ABCD是菱形，求该菱形的边长；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AB=2，求该平行四边形的周长.
(1)若四边形ABCD是菱形，求该菱形的边长；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AB=2，求该平行四边形的周长.
答案
5.【解】(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD.
又
∵AB,AD的长是关于x的方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$的两个实数根，
∴$\Delta=(-m)^2-4×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=(m-1)^2=0.$
解得$m_1=m_2=1.$
因此,把m=1代入原方程,得$x^2 - x + \frac{1}{4}=0.$
解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}.$
∴该菱形的边长为$\frac{1}{2}.$
(2)把x=2代入原方程,得$4-2m+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0.$
解得$m=\frac{5}{2}.$
此时,原方程为$x^2 - \frac{5}{2}x + 1=0.$
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=2.∴AD=\frac{1}{2}.$
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴该平行四边形的周长为$2×(2+\frac{1}{2})=5.$
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD.
又
∵AB,AD的长是关于x的方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$的两个实数根，
∴$\Delta=(-m)^2-4×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=(m-1)^2=0.$
解得$m_1=m_2=1.$
因此,把m=1代入原方程,得$x^2 - x + \frac{1}{4}=0.$
解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}.$
∴该菱形的边长为$\frac{1}{2}.$
(2)把x=2代入原方程,得$4-2m+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0.$
解得$m=\frac{5}{2}.$
此时,原方程为$x^2 - \frac{5}{2}x + 1=0.$
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=2.∴AD=\frac{1}{2}.$
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴该平行四边形的周长为$2×(2+\frac{1}{2})=5.$
解析
【分析】
(1) 若四边形为菱形，根据菱形邻边相等的性质可得AB=AD，说明题中一元二次方程有两个相等的实数根，因此先通过根的判别式Δ=0求出参数m的值，再将m代回原方程求解，得到的相等实根就是菱形的边长。
(2) 若四边形为平行四边形，已知AB=2，说明x=2是原方程的一个根，先将x=2代入方程求出m的值，再解出方程的另一个根得到AD的长度，最后根据平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
又
∵AB、AD的长是关于x的方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$的两个实数根，
∴方程有两个相等的实数根，即$\Delta=(-m)^2-4×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=(m-1)^2=0$，
解得$m_1=m_2=1$，
将m=1代入原方程，得$x^2 - x + \frac{1}{4}=0$，
解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}$，
∴该菱形的边长为$\frac{1}{2}$。
(2) 把x=2代入原方程，得$4-2m+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$，
解得$m=\frac{5}{2}$，
此时原方程为$x^2 - \frac{5}{2}x + 1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$，即$AD=\frac{1}{2}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形的周长为$2×(2+\frac{1}{2})=5$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) 5
【知识点】
菱形的性质；一元二次方程根的判别式；平行四边形周长计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础综合题，解题的关键是找准特殊四边形的性质和一元二次方程根的相关性质的衔接点，既考查了特殊四边形的基础性质，也考查了一元二次方程的相关计算，综合性不强，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 若四边形为菱形，根据菱形邻边相等的性质可得AB=AD，说明题中一元二次方程有两个相等的实数根，因此先通过根的判别式Δ=0求出参数m的值，再将m代回原方程求解，得到的相等实根就是菱形的边长。
(2) 若四边形为平行四边形，已知AB=2，说明x=2是原方程的一个根，先将x=2代入方程求出m的值，再解出方程的另一个根得到AD的长度，最后根据平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
又
∵AB、AD的长是关于x的方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$的两个实数根，
∴方程有两个相等的实数根，即$\Delta=(-m)^2-4×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=(m-1)^2=0$，
解得$m_1=m_2=1$，
将m=1代入原方程，得$x^2 - x + \frac{1}{4}=0$，
解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}$，
∴该菱形的边长为$\frac{1}{2}$。
(2) 把x=2代入原方程，得$4-2m+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$，
解得$m=\frac{5}{2}$，
此时原方程为$x^2 - \frac{5}{2}x + 1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$，即$AD=\frac{1}{2}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形的周长为$2×(2+\frac{1}{2})=5$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) 5
【知识点】
菱形的性质；一元二次方程根的判别式；平行四边形周长计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础综合题，解题的关键是找准特殊四边形的性质和一元二次方程根的相关性质的衔接点，既考查了特殊四边形的基础性质，也考查了一元二次方程的相关计算，综合性不强，难度较低。
【难度系数】
0.7
