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14. 周一的升旗仪式结束后，某同学想测量旗杆的高度. 他测得1 m长的竹竿竖直放置时影长为1.5 m. 在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，影子有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长BD为21 m，留在墙上的影高CD为2 m. 旗杆的高度AB为 
16
m. 答案
14. 16.
解析
【分析】
本题利用平行投影中同一时刻物体高度与影长成正比的性质求解。解题时首先通过作辅助线，将旗杆分为两部分：一部分高度与墙上的影高相等，另一部分的影长等于地面上的影长，再利用物高和影长的比例关系求出对应高度，相加即可得到旗杆总高度。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形EBDC是矩形，
∴EB=CD=2m，CE=BD=21m。
∵同一时刻，1m长的竹竿竖直放置时影长为1.5m，
∴此时物高与影长的比值为$\frac{1}{1.5}$。
设AE的长度为$x$ m，由题意得：
$\frac{x}{21}=\frac{1}{1.5}$
解得$x=14$
∴旗杆高度$AB=AE+EB=14+2=16$（m）
【答案】
16
【知识点】
平行投影，比例计算，矩形的性质
【点评】
本题是平行投影的实际应用题，解题的关键是通过作辅助线将落在墙上的影子合理转化，避免直接将地面影长和墙上影高直接代入比例计算的错误，熟练掌握平行投影的性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
本题利用平行投影中同一时刻物体高度与影长成正比的性质求解。解题时首先通过作辅助线，将旗杆分为两部分：一部分高度与墙上的影高相等，另一部分的影长等于地面上的影长，再利用物高和影长的比例关系求出对应高度，相加即可得到旗杆总高度。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形EBDC是矩形，
∴EB=CD=2m，CE=BD=21m。
∵同一时刻，1m长的竹竿竖直放置时影长为1.5m，
∴此时物高与影长的比值为$\frac{1}{1.5}$。
设AE的长度为$x$ m，由题意得：
$\frac{x}{21}=\frac{1}{1.5}$
解得$x=14$
∴旗杆高度$AB=AE+EB=14+2=16$（m）
【答案】
16
【知识点】
平行投影，比例计算，矩形的性质
【点评】
本题是平行投影的实际应用题，解题的关键是通过作辅助线将落在墙上的影子合理转化，避免直接将地面影长和墙上影高直接代入比例计算的错误，熟练掌握平行投影的性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
15. 如图是正三棱柱的三视图. 若用S表示面积，$S_{主}=a^2+a$，$S_{俯}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，则$S_{左}=$
$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2+\frac{\sqrt{3}}{2}a$
.（用含a的代数式表示）答案
15. $\frac{\sqrt{3}}{2}a^2+\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据主视图的面积公式求出正三棱柱的高。主视图是矩形，长为a，面积已知，可直接用面积除以长得到高。第二步，明确左视图的形状和边长：左视图是矩形，它的一条边长等于正三棱柱的高，另一条边长等于底面正三角形的高。第三步，先求出底面正三角形的高，再用矩形面积公式计算左视图面积即可。
【解析】
解：设正三棱柱的高为$h$，
∵ 主视图是长为$a$的矩形，$S_{主}=a· h=a^2+a$，且$a≠0$，
∴ $h=\frac{a^2+a}{a}=a+1$。
∵ 俯视图是边长为$a$的正三角形，
∴ 正三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，即左视图矩形的另一边长为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
因此左视图面积：
$S_{左}=\frac{\sqrt{3}}{2}a · (a+1)=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2+\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2+\frac{\sqrt{3}}{2}a$
【知识点】
三视图的对应关系、正三角形的性质、整式的乘法
【点评】
本题是三视图的基础应用题，解题核心是找准不同视图的边长和几何体棱长的对应关系，再结合相关图形的面积公式计算即可。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据主视图的面积公式求出正三棱柱的高。主视图是矩形，长为a，面积已知，可直接用面积除以长得到高。第二步，明确左视图的形状和边长：左视图是矩形，它的一条边长等于正三棱柱的高，另一条边长等于底面正三角形的高。第三步，先求出底面正三角形的高，再用矩形面积公式计算左视图面积即可。
【解析】
解：设正三棱柱的高为$h$，
∵ 主视图是长为$a$的矩形，$S_{主}=a· h=a^2+a$，且$a≠0$，
∴ $h=\frac{a^2+a}{a}=a+1$。
∵ 俯视图是边长为$a$的正三角形，
∴ 正三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，即左视图矩形的另一边长为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
因此左视图面积：
$S_{左}=\frac{\sqrt{3}}{2}a · (a+1)=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2+\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2+\frac{\sqrt{3}}{2}a$
【知识点】
三视图的对应关系、正三角形的性质、整式的乘法
【点评】
本题是三视图的基础应用题，解题核心是找准不同视图的边长和几何体棱长的对应关系，再结合相关图形的面积公式计算即可。
【难度系数】
0.7
16. 如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，该几何体的体积为
$800π+3000$
。答案
16. $800π+3000$.
解析
【分析】
首先根据三视图判断几何体的组成：该几何体是由下方的长方体和上方的圆柱叠加组成的。解题时先分别确定长方体、圆柱的各维度参数，再分别套用对应体积公式计算二者体积，最后求和即可得到总体积。从三视图可提取参数：圆柱底面直径为20、高为8；长方体的长为30、宽为20、高为5，按此计算即可。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是长方体与圆柱的组合体。
1. 计算圆柱体积：
圆柱底面半径 $ r=\frac{20}{2}=10 $，高 $ h_1=8 $，根据圆柱体积公式 $ V_{\mathrm{圆柱}}=π r^2 h $，可得：
$ V_{\mathrm{圆柱}}=π×10^2×8=800π $
2. 计算长方体体积：
长方体的长为30，宽为20，高 $ h_2=5 $，根据长方体体积公式 $ V_{\mathrm{长方体}}=长×宽×高 $，可得：
$ V_{\mathrm{长方体}}=30×20×5=3000 $
3. 总体积为两部分体积之和：
$ V=V_{\mathrm{圆柱}}+V_{\mathrm{长方体}}=800π+3000 $
【答案】
$ 800π+3000 $
【知识点】
三视图判断几何体、长方体体积计算、圆柱体积计算
【点评】
本题考查组合体体积的计算，解题核心是准确通过三视图判断几何体的构成，正确提取对应尺寸，熟记常见几何体的体积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
首先根据三视图判断几何体的组成：该几何体是由下方的长方体和上方的圆柱叠加组成的。解题时先分别确定长方体、圆柱的各维度参数，再分别套用对应体积公式计算二者体积，最后求和即可得到总体积。从三视图可提取参数：圆柱底面直径为20、高为8；长方体的长为30、宽为20、高为5，按此计算即可。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是长方体与圆柱的组合体。
1. 计算圆柱体积：
圆柱底面半径 $ r=\frac{20}{2}=10 $，高 $ h_1=8 $，根据圆柱体积公式 $ V_{\mathrm{圆柱}}=π r^2 h $，可得：
$ V_{\mathrm{圆柱}}=π×10^2×8=800π $
2. 计算长方体体积：
长方体的长为30，宽为20，高 $ h_2=5 $，根据长方体体积公式 $ V_{\mathrm{长方体}}=长×宽×高 $，可得：
$ V_{\mathrm{长方体}}=30×20×5=3000 $
3. 总体积为两部分体积之和：
$ V=V_{\mathrm{圆柱}}+V_{\mathrm{长方体}}=800π+3000 $
【答案】
$ 800π+3000 $
【知识点】
三视图判断几何体、长方体体积计算、圆柱体积计算
【点评】
本题考查组合体体积的计算，解题核心是准确通过三视图判断几何体的构成，正确提取对应尺寸，熟记常见几何体的体积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
17. 用6个大小相同的小立方体组成几何体如图所示. 若将该几何体的主视图、俯视图、左视图的面积分别记作$S_1$、$S_2$、$S_3$，则$S_1$、$S_2$、$S_3$的大小关系是
$S_2＞S_1=S_3$
.答案
17. $S_2＞S_1=S_3$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确主视图、俯视图、左视图的定义，三者分别是从正面、上面、左面观察几何体得到的平面图形。由于所有小立方体大小相同，每个面的面积相等，因此只需数出三个视图中包含的小正方形的个数，即可对应得到三个视图的面积，进而比较大小。
【解析】
设每个小立方体的一个面的面积为1。
1. 计算主视图面积$S_1$：从正面观察几何体，共看到4个小正方形（左列1个，中列2个，右列1个），因此$S_1=4$。
2. 计算俯视图面积$S_2$：从上面观察几何体，共看到5个小正方形（前排3个，后排左、右各1个），因此$S_2=5$。
3. 计算左视图面积$S_3$：从左面观察几何体，共看到4个小正方形（前列1个，中列2个，后列1个），因此$S_3=4$。
综上可得三者的大小关系。
【答案】
$S_2＞S_1=S_3$
【知识点】
简单组合体的三视图
【点评】
本题属于三视图基础题，解题核心是准确识别三个视图的形状，数对小正方形的个数，注意被遮挡的面不需要计入视图面积。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确主视图、俯视图、左视图的定义，三者分别是从正面、上面、左面观察几何体得到的平面图形。由于所有小立方体大小相同，每个面的面积相等，因此只需数出三个视图中包含的小正方形的个数，即可对应得到三个视图的面积，进而比较大小。
【解析】
设每个小立方体的一个面的面积为1。
1. 计算主视图面积$S_1$：从正面观察几何体，共看到4个小正方形（左列1个，中列2个，右列1个），因此$S_1=4$。
2. 计算俯视图面积$S_2$：从上面观察几何体，共看到5个小正方形（前排3个，后排左、右各1个），因此$S_2=5$。
3. 计算左视图面积$S_3$：从左面观察几何体，共看到4个小正方形（前列1个，中列2个，后列1个），因此$S_3=4$。
综上可得三者的大小关系。
【答案】
$S_2＞S_1=S_3$
【知识点】
简单组合体的三视图
【点评】
本题属于三视图基础题，解题核心是准确识别三个视图的形状，数对小正方形的个数，注意被遮挡的面不需要计入视图面积。
【难度系数】
0.7
18 如图，一个三阶魔方由27个棱长为1 cm的正方体组成，把魔方的中间一层转动了$45°$之后，表面积增加了
$108-72\sqrt{2}$
$\mathrm{cm}^2$.答案
18. $108-72\sqrt{2}$. 提示：转动了$45°$之后，多出了16个小三角形的面积. 小三角形为等腰直角三角形，斜边上的高为$\frac{3}{2}\sqrt{2}-\frac{3}{2}$. 所以增加的面积为$16×(\frac{3}{2}\sqrt{2}-\frac{3}{2})^2$.
解析
【分析】
解题时首先明确三阶魔方的棱长为3cm，转动中间层45°后，新增的表面积来自露出的16个等腰直角三角形。首先需要求出单个等腰直角三角形的面积：先根据正方形对角线长度公式求出魔方一个面的对角线长，进而得到等腰直角三角形斜边上的高，再利用等腰直角三角形的性质计算单个三角形面积，最后乘16即可得到增加的总表面积。
【解析】
解：三阶魔方由棱长1cm的小正方体组成，故魔方棱长为$3\ \mathrm{cm}$。
1. 求魔方一个面的对角线长度：正方形对角线=边长×$\sqrt{2}$，即对角线长为$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，对角线的一半为$\frac{3\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$。
2. 求新增等腰直角三角形斜边上的高：转动45°后，该高等于对角线一半减去魔方棱长的一半，即$h=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 单个等腰直角三角形面积：等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的$\frac{1}{2}$，因此面积$S_△=\frac{1}{2}× 2h× h=h^2$。
4. 新增总表面积：共有16个这样的三角形，故增加的表面积$S=16h^2$。
代入$h$计算：
$h^2=[\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}]^2=\frac{9(\sqrt{2}-1)^2}{4}=\frac{9(3-2\sqrt{2})}{4}$
$S=16×\frac{9(3-2\sqrt{2})}{4}=4×9(3-2\sqrt{2})=108-72\sqrt{2}\ (\mathrm{cm^2})$
【答案】
$108-72\sqrt{2}$
【知识点】
正方体的特征；等腰直角三角形的性质；旋转的性质
【点评】
本题结合生活中常见的魔方，考察立体图形旋转后表面积的变化，解题的关键是具备空间想象能力，准确找到新增的面的形状及对应边长，再结合几何图形的性质计算即可。
【难度系数】
0.3
解题时首先明确三阶魔方的棱长为3cm，转动中间层45°后，新增的表面积来自露出的16个等腰直角三角形。首先需要求出单个等腰直角三角形的面积：先根据正方形对角线长度公式求出魔方一个面的对角线长，进而得到等腰直角三角形斜边上的高，再利用等腰直角三角形的性质计算单个三角形面积，最后乘16即可得到增加的总表面积。
【解析】
解：三阶魔方由棱长1cm的小正方体组成，故魔方棱长为$3\ \mathrm{cm}$。
1. 求魔方一个面的对角线长度：正方形对角线=边长×$\sqrt{2}$，即对角线长为$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，对角线的一半为$\frac{3\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$。
2. 求新增等腰直角三角形斜边上的高：转动45°后，该高等于对角线一半减去魔方棱长的一半，即$h=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 单个等腰直角三角形面积：等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的$\frac{1}{2}$，因此面积$S_△=\frac{1}{2}× 2h× h=h^2$。
4. 新增总表面积：共有16个这样的三角形，故增加的表面积$S=16h^2$。
代入$h$计算：
$h^2=[\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}]^2=\frac{9(\sqrt{2}-1)^2}{4}=\frac{9(3-2\sqrt{2})}{4}$
$S=16×\frac{9(3-2\sqrt{2})}{4}=4×9(3-2\sqrt{2})=108-72\sqrt{2}\ (\mathrm{cm^2})$
【答案】
$108-72\sqrt{2}$
【知识点】
正方体的特征；等腰直角三角形的性质；旋转的性质
【点评】
本题结合生活中常见的魔方，考察立体图形旋转后表面积的变化，解题的关键是具备空间想象能力，准确找到新增的面的形状及对应边长，再结合几何图形的性质计算即可。
【难度系数】
0.3
