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9. 下列计算中，错误的是 $\boldsymbol{(}$ $\boldsymbol{)}$
A.$( \dfrac{3y}{-x^2} )^3 = \dfrac{-9y^3}{x^6}$
B.$( \dfrac{4b^3}{-3c^2} )^2 = \dfrac{16b^6}{9c^4}$
C.$( \dfrac{5x^3y^2}{-2z} )^2 = \dfrac{25x^6y^4}{4z^2}$
D.$( \dfrac{b^2}{-a^3} )^2 = \dfrac{b^4}{a^6}$
A.$( \dfrac{3y}{-x^2} )^3 = \dfrac{-9y^3}{x^6}$
B.$( \dfrac{4b^3}{-3c^2} )^2 = \dfrac{16b^6}{9c^4}$
C.$( \dfrac{5x^3y^2}{-2z} )^2 = \dfrac{25x^6y^4}{4z^2}$
D.$( \dfrac{b^2}{-a^3} )^2 = \dfrac{b^4}{a^6}$
答案
9.A
解析
【分析】
本题考查分式乘方的运算，解题思路如下：首先回忆分式乘方的运算规则：分式乘方需将分子、分母分别乘方，同时结合负数乘方的符号规律（奇次幂为负，偶次幂为正）、积的乘方和幂的乘方法则，逐一计算四个选项的结果，和选项给出的式子对比，找出计算错误的选项即可。
【解析】
根据分式乘方法则：$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（n为正整数，且$B≠0$），结合积的乘方$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方$(a^m)^n=a^{mn}$、负数乘方的符号规律计算各选项：
选项A：$(\frac{3y}{-x^2})^3=\frac{(3y)^3}{(-x^2)^3}=\frac{3^3 · y^3}{(-1)^3 · (x^2)^3}=\frac{27y^3}{-x^6}=-\frac{27y^3}{x^6}$，和选项给出的$\frac{-9y^3}{x^6}$不符，计算错误。
选项B：$(\frac{4b^3}{-3c^2})^2=\frac{(4b^3)^2}{(-3c^2)^2}=\frac{4^2 · (b^3)^2}{(-3)^2 · (c^2)^2}=\frac{16b^6}{9c^4}$，计算正确。
选项C：$(\frac{5x^3y^2}{-2z})^2=\frac{(5x^3y^2)^2}{(-2z)^2}=\frac{5^2 · (x^3)^2 · (y^2)^2}{(-2)^2 · z^2}=\frac{25x^6y^4}{4z^2}$，计算正确。
选项D：$(\frac{b^2}{-a^3})^2=\frac{(b^2)^2}{(-a^3)^2}=\frac{(b^2)^2}{(-1)^2 · (a^3)^2}=\frac{b^4}{a^6}$，计算正确。
因此计算错误的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式乘方运算；积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查分式乘方相关的运算规则，解题时要注意系数的乘方计算、指数的运算规律以及负数乘方的符号判断，避免出现系数直接乘指数、指数运算混淆的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查分式乘方的运算，解题思路如下：首先回忆分式乘方的运算规则：分式乘方需将分子、分母分别乘方，同时结合负数乘方的符号规律（奇次幂为负，偶次幂为正）、积的乘方和幂的乘方法则，逐一计算四个选项的结果，和选项给出的式子对比，找出计算错误的选项即可。
【解析】
根据分式乘方法则：$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（n为正整数，且$B≠0$），结合积的乘方$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方$(a^m)^n=a^{mn}$、负数乘方的符号规律计算各选项：
选项A：$(\frac{3y}{-x^2})^3=\frac{(3y)^3}{(-x^2)^3}=\frac{3^3 · y^3}{(-1)^3 · (x^2)^3}=\frac{27y^3}{-x^6}=-\frac{27y^3}{x^6}$，和选项给出的$\frac{-9y^3}{x^6}$不符，计算错误。
选项B：$(\frac{4b^3}{-3c^2})^2=\frac{(4b^3)^2}{(-3c^2)^2}=\frac{4^2 · (b^3)^2}{(-3)^2 · (c^2)^2}=\frac{16b^6}{9c^4}$，计算正确。
选项C：$(\frac{5x^3y^2}{-2z})^2=\frac{(5x^3y^2)^2}{(-2z)^2}=\frac{5^2 · (x^3)^2 · (y^2)^2}{(-2)^2 · z^2}=\frac{25x^6y^4}{4z^2}$，计算正确。
选项D：$(\frac{b^2}{-a^3})^2=\frac{(b^2)^2}{(-a^3)^2}=\frac{(b^2)^2}{(-1)^2 · (a^3)^2}=\frac{b^4}{a^6}$，计算正确。
因此计算错误的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式乘方运算；积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查分式乘方相关的运算规则，解题时要注意系数的乘方计算、指数的运算规律以及负数乘方的符号判断，避免出现系数直接乘指数、指数运算混淆的错误。
【难度系数】
0.8
10. 若$\frac{a}{a-1} ÷ \frac{a^2 -1}{2a} × [ \frac{(a-1)(a+1)}{2a} ]^2$的计算结果为正整数，则对$a$值的描述最准确的是（
A.$a$为自然数
B.$a$为大于0的偶数
C.$a$为大于1的奇数
D.$a$为正整数
C
）A.$a$为自然数
B.$a$为大于0的偶数
C.$a$为大于1的奇数
D.$a$为正整数
答案
10.C
解析
【分析】
解决本题首先遵循分式混合运算顺序：先算乘方，再将除法转化为乘法，通过因式分解、约分得到最简结果，再结合结果为正整数的条件，同时注意原式所有分母、除式不为0的隐含要求，最终确定a的取值特征，匹配选项即可。
【解析】
第一步：根据运算顺序先计算乘方，再将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解：
原式$=\frac{a}{a-1} × \frac{2a}{(a-1)(a+1)} × \frac{(a-1)^2(a+1)^2}{4a^2}$
第二步：约分，约去分子分母的公因式：
分子公因式$2a^2(a-1)^2(a+1)$与分母公因式$2a^2(a-1)^2(a+1)$约去后，化简得：
原式$=\frac{a+1}{2}$
第三步：确定分式有意义的条件：
要使原式所有分母、除式不为0，需满足：
$a≠0$，$a-1≠0$，$a^2-1≠0$，即$a≠0$且$a≠\pm1$
第四步：结合结果为正整数判断a的取值：
$\frac{a+1}{2}$为正整数，则$a+1$是正偶数，即$a$为奇数，同时结合$a≠1$，可得$a$为大于1的奇数。
对应选项，C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式乘除混合运算，分式有意义的条件，分式乘方运算
【点评】
本题考查分式混合运算的应用，解题时需先化简再分析取值，注意不要忽略分式分母不为0的隐含条件，否则容易误判a的取值范围。
【难度系数】
0.6
解决本题首先遵循分式混合运算顺序：先算乘方，再将除法转化为乘法，通过因式分解、约分得到最简结果，再结合结果为正整数的条件，同时注意原式所有分母、除式不为0的隐含要求，最终确定a的取值特征，匹配选项即可。
【解析】
第一步：根据运算顺序先计算乘方，再将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解：
原式$=\frac{a}{a-1} × \frac{2a}{(a-1)(a+1)} × \frac{(a-1)^2(a+1)^2}{4a^2}$
第二步：约分，约去分子分母的公因式：
分子公因式$2a^2(a-1)^2(a+1)$与分母公因式$2a^2(a-1)^2(a+1)$约去后，化简得：
原式$=\frac{a+1}{2}$
第三步：确定分式有意义的条件：
要使原式所有分母、除式不为0，需满足：
$a≠0$，$a-1≠0$，$a^2-1≠0$，即$a≠0$且$a≠\pm1$
第四步：结合结果为正整数判断a的取值：
$\frac{a+1}{2}$为正整数，则$a+1$是正偶数，即$a$为奇数，同时结合$a≠1$，可得$a$为大于1的奇数。
对应选项，C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式乘除混合运算，分式有意义的条件，分式乘方运算
【点评】
本题考查分式混合运算的应用，解题时需先化简再分析取值，注意不要忽略分式分母不为0的隐含条件，否则容易误判a的取值范围。
【难度系数】
0.6
11.先化简，再求值：$(\dfrac{x^2 - y^2}{xy})^2 ÷ (x + y)^2 · (\dfrac{x}{x - y})^3$，其中$x=\dfrac{1}{2}, y=-\dfrac{1}{2}$。
答案
11.解:原式$=\frac{(x+y)^2(x-y)^2}{x^2y^2} · \frac{1}{(x+y)^2} · \frac{x^3}{(x-y)^3}$
$=\frac{x}{(x-y)y^2} = \frac{x}{xy^2-y^3}$.
当$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$时，
原式$=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})^3}=2$.
$=\frac{x}{(x-y)y^2} = \frac{x}{xy^2-y^3}$.
当$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$时，
原式$=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})^3}=2$.
解析
【分析】
解决这道题需遵循分式混合运算的顺序思考：第一步先计算各分式的乘方，第二步将除法转化为乘法运算，第三步对分子分母中可因式分解的多项式（如平方差形式的$x^2-y^2$）因式分解，第四步约去分子分母的公因式得到最简分式，最后代入$x$、$y$的数值计算结果，先化简再代值可减少计算量、降低出错概率。
【解析】
解：先计算乘方，同时将除法转化为乘法：
原式$=\frac{(x^2-y^2)^2}{x^2y^2} · \frac{1}{(x+y)^2} · \frac{x^3}{(x-y)^3}$
利用平方差公式分解$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入得：
$=\frac{(x+y)^2(x-y)^2}{x^2y^2} · \frac{1}{(x+y)^2} · \frac{x^3}{(x-y)^3}$
约去分子分母的公因式$(x+y)^2$、$(x-y)^2$、$x^2$，化简得：
$=\frac{x}{y^2(x-y)} = \frac{x}{xy^2-y^3}$
将$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
分母$xy^2-y^3=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$
原式$=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2$
【答案】
$2$
【知识点】
分式的乘方运算、分式乘除混合运算、分式化简求值
【点评】
本题重点考察分式混合运算的规则，解题核心是严格遵循运算顺序，正确因式分解、合理约分，先化简后代值的思路能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
解决这道题需遵循分式混合运算的顺序思考：第一步先计算各分式的乘方，第二步将除法转化为乘法运算，第三步对分子分母中可因式分解的多项式（如平方差形式的$x^2-y^2$）因式分解，第四步约去分子分母的公因式得到最简分式，最后代入$x$、$y$的数值计算结果，先化简再代值可减少计算量、降低出错概率。
【解析】
解：先计算乘方，同时将除法转化为乘法：
原式$=\frac{(x^2-y^2)^2}{x^2y^2} · \frac{1}{(x+y)^2} · \frac{x^3}{(x-y)^3}$
利用平方差公式分解$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入得：
$=\frac{(x+y)^2(x-y)^2}{x^2y^2} · \frac{1}{(x+y)^2} · \frac{x^3}{(x-y)^3}$
约去分子分母的公因式$(x+y)^2$、$(x-y)^2$、$x^2$，化简得：
$=\frac{x}{y^2(x-y)} = \frac{x}{xy^2-y^3}$
将$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
分母$xy^2-y^3=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$
原式$=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2$
【答案】
$2$
【知识点】
分式的乘方运算、分式乘除混合运算、分式化简求值
【点评】
本题重点考察分式混合运算的规则，解题核心是严格遵循运算顺序，正确因式分解、合理约分，先化简后代值的思路能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
12.已知$a^2 - a = 0$，求$\frac{a - 1}{a + 2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \frac{1}{a^2 - 1}$的值.
答案
12.解:原式$=\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a-2)(a+2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
$=(a+1)(a-2)=a^2-a-2$.
$\because a^2-a=0$,
$\therefore$ 原式$=0-2=-2$.
$=(a+1)(a-2)=a^2-a-2$.
$\because a^2-a=0$,
$\therefore$ 原式$=0-2=-2$.
解析
【分析】
解决本题的核心思路是“先化简，再求值”，避免直接代入计算的繁琐以及忽略分母不为0的问题。首先根据分式除法的运算法则，把除法运算转化为乘法运算，再对各多项式进行因式分解，通过约分化简得到最简整式，最后将已知条件$a^2-a=0$整体代入最简式计算即可。
【解析】
先将分式的除法转化为乘法，再对分子分母因式分解：
原式$=\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} · (a^2 - 1)$
根据因式分解公式，$a^2-4=(a+2)(a-2)$（平方差公式），$a^2-2a+1=(a-1)^2$（完全平方公式），$a^2-1=(a+1)(a-1)$（平方差公式），代入得：
$=\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a-2)(a+2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a+2$、$(a-1)^2$，可得：
$=(a+1)(a-2)$
展开整式得：
$=a^2 -a -2$
已知$a^2 -a = 0$，整体代入上式得：
原式$=0-2=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，代数式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型基础题，重点考查分式乘除运算法则和因式分解的熟练程度，掌握“先化简再代值”的解题思路能大幅提高解题效率和正确率，解题时还要注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是“先化简，再求值”，避免直接代入计算的繁琐以及忽略分母不为0的问题。首先根据分式除法的运算法则，把除法运算转化为乘法运算，再对各多项式进行因式分解，通过约分化简得到最简整式，最后将已知条件$a^2-a=0$整体代入最简式计算即可。
【解析】
先将分式的除法转化为乘法，再对分子分母因式分解：
原式$=\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} · (a^2 - 1)$
根据因式分解公式，$a^2-4=(a+2)(a-2)$（平方差公式），$a^2-2a+1=(a-1)^2$（完全平方公式），$a^2-1=(a+1)(a-1)$（平方差公式），代入得：
$=\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a-2)(a+2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a+2$、$(a-1)^2$，可得：
$=(a+1)(a-2)$
展开整式得：
$=a^2 -a -2$
已知$a^2 -a = 0$，整体代入上式得：
原式$=0-2=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，代数式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型基础题，重点考查分式乘除运算法则和因式分解的熟练程度，掌握“先化简再代值”的解题思路能大幅提高解题效率和正确率，解题时还要注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7
13. 有这样的一道题：“计算$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} · \frac{x + 1}{x^2 - x} ÷ ( \frac{1}{x} )^3$的值，其中$x=2$.”小虎同学抄题时，把“$x=2$”错抄成“$x=-2$”，但他的计算结果也是正确的，你说这是怎么回事？
答案
13.解:原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{x(x-1)} · x^3 = x^2$.
所以当$x=2$或$x=-2$时，原式$=4$.
因此，无论$x$取2还是$-2$，结果都为4.
所以当$x=2$或$x=-2$时，原式$=4$.
因此，无论$x$取2还是$-2$，结果都为4.
解析
【分析】
要解释抄错x的值但计算结果仍正确的问题，核心思路是先对原式进行化简：首先根据分式乘除运算规则，先将除法转化为乘法，同时计算乘方，再对各分式的分子、分母因式分解，通过约分得到最简结果，最后观察最简结果的取值特点，判断x=2和x=-2代入后的结果是否一致。
【解析】
解：先处理运算顺序，将除法转化为乘法，同时计算乘方：
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{x(x-1)} · x^3$
接下来逐步约分：
先约去第一个分式分子分母的公因式$(x-1)$，再约去前两个分式的公因式$(x+1)$，接着约去剩余公因式$(x-1)$和$x$，计算可得：
$=x^2$
当$x=2$时，$x^2=2^2=4$；当$x=-2$时，$x^2=(-2)^2=4$，两个取值代入后的计算结果相同。
因此小虎抄错x的值，计算结果仍正确。
【答案】
原式化简后为$x^2$，当$x=2$或$x=-2$时，原式的值都为4，因此小虎的计算结果也是正确的。
【知识点】
分式乘除混合运算、因式分解、乘方的性质
【点评】
本题属于分式化简求值类典型问题，解题时优先对分式化简再分析结果，可避免直接代入的复杂计算，通过观察化简后式子的特点就能快速解释结果一致的原因，能很好地考查分式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要解释抄错x的值但计算结果仍正确的问题，核心思路是先对原式进行化简：首先根据分式乘除运算规则，先将除法转化为乘法，同时计算乘方，再对各分式的分子、分母因式分解，通过约分得到最简结果，最后观察最简结果的取值特点，判断x=2和x=-2代入后的结果是否一致。
【解析】
解：先处理运算顺序，将除法转化为乘法，同时计算乘方：
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{x(x-1)} · x^3$
接下来逐步约分：
先约去第一个分式分子分母的公因式$(x-1)$，再约去前两个分式的公因式$(x+1)$，接着约去剩余公因式$(x-1)$和$x$，计算可得：
$=x^2$
当$x=2$时，$x^2=2^2=4$；当$x=-2$时，$x^2=(-2)^2=4$，两个取值代入后的计算结果相同。
因此小虎抄错x的值，计算结果仍正确。
【答案】
原式化简后为$x^2$，当$x=2$或$x=-2$时，原式的值都为4，因此小虎的计算结果也是正确的。
【知识点】
分式乘除混合运算、因式分解、乘方的性质
【点评】
本题属于分式化简求值类典型问题，解题时优先对分式化简再分析结果，可避免直接代入的复杂计算，通过观察化简后式子的特点就能快速解释结果一致的原因，能很好地考查分式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.7
14. 在学习了分式的乘除法之后，老师给出了这样一道题，计算：$(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4}) · (a^8+\frac{1}{a^8})(a^2-1)$，同学们都感到无从下手，小明将$a^2 -1$变形为$a(a-\frac{1}{a})$，然后用平方差公式很轻松地得出了结论.你知道他是怎么做的吗？
答案
14.解:$(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})(a^2-1)$
$=a(a-\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^2-\frac{1}{a^2})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^4-\frac{1}{a^4})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^8-\frac{1}{a^8})(a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^{16}-\frac{1}{a^{16}})$
$=a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$.
$=a(a-\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^2-\frac{1}{a^2})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^4-\frac{1}{a^4})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^8-\frac{1}{a^8})(a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^{16}-\frac{1}{a^{16}})$
$=a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$.
解析
【分析】
观察原式中的因式可以发现，前四个因式均为“两数和”的结构，依次是$a+\frac{1}{a}$、$a^2+\frac{1}{a^2}$、$a^4+\frac{1}{a^4}$、$a^8+\frac{1}{a^8}$，符合平方差公式中“和”的特征，只要构造出对应的“差”因式$a-\frac{1}{a}$，就可以反复使用平方差公式简化运算。题目提示将$a^2-1$变形为$a(a-\frac{1}{a})$，刚好能得到我们需要的$a-\frac{1}{a}$，接下来依次和相邻的“两数和”因式套用平方差公式，逐步化简即可得到结果。
【解析】
解：$(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})(a^2-1)$
将$a^2-1$变形为$a(a-\frac{1}{a})$，调整因式顺序得：
$=a(a-\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
套用平方差公式计算$(a-\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})=a^2-\frac{1}{a^2}$：
$=a(a^2-\frac{1}{a^2})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
再次套用平方差公式计算$(a^2-\frac{1}{a^2})(a^2+\frac{1}{a^2})=a^4-\frac{1}{a^4}$：
$=a(a^4-\frac{1}{a^4})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
第三次套用平方差公式计算$(a^4-\frac{1}{a^4})(a^4+\frac{1}{a^4})=a^8-\frac{1}{a^8}$：
$=a(a^8-\frac{1}{a^8})(a^8+\frac{1}{a^8})$
第四次套用平方差公式计算$(a^8-\frac{1}{a^8})(a^8+\frac{1}{a^8})=a^{16}-\frac{1}{a^{16}}$：
$=a(a^{16}-\frac{1}{a^{16}})$
展开后得：
$=a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$
【答案】
$a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 分式乘除运算
3. 代数式恒等变形
【点评】
本题通过对已知因式的合理变形，构造出平方差公式的适用结构，连续套用公式大幅简化了计算过程，避免了逐项展开的繁琐运算，很好地体现了代数运算中“凑公式”的解题思路。
【难度系数】
0.6
观察原式中的因式可以发现，前四个因式均为“两数和”的结构，依次是$a+\frac{1}{a}$、$a^2+\frac{1}{a^2}$、$a^4+\frac{1}{a^4}$、$a^8+\frac{1}{a^8}$，符合平方差公式中“和”的特征，只要构造出对应的“差”因式$a-\frac{1}{a}$，就可以反复使用平方差公式简化运算。题目提示将$a^2-1$变形为$a(a-\frac{1}{a})$，刚好能得到我们需要的$a-\frac{1}{a}$，接下来依次和相邻的“两数和”因式套用平方差公式，逐步化简即可得到结果。
【解析】
解：$(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})(a^2-1)$
将$a^2-1$变形为$a(a-\frac{1}{a})$，调整因式顺序得：
$=a(a-\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
套用平方差公式计算$(a-\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})=a^2-\frac{1}{a^2}$：
$=a(a^2-\frac{1}{a^2})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
再次套用平方差公式计算$(a^2-\frac{1}{a^2})(a^2+\frac{1}{a^2})=a^4-\frac{1}{a^4}$：
$=a(a^4-\frac{1}{a^4})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
第三次套用平方差公式计算$(a^4-\frac{1}{a^4})(a^4+\frac{1}{a^4})=a^8-\frac{1}{a^8}$：
$=a(a^8-\frac{1}{a^8})(a^8+\frac{1}{a^8})$
第四次套用平方差公式计算$(a^8-\frac{1}{a^8})(a^8+\frac{1}{a^8})=a^{16}-\frac{1}{a^{16}}$：
$=a(a^{16}-\frac{1}{a^{16}})$
展开后得：
$=a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$
【答案】
$a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 分式乘除运算
3. 代数式恒等变形
【点评】
本题通过对已知因式的合理变形，构造出平方差公式的适用结构，连续套用公式大幅简化了计算过程，避免了逐项展开的繁琐运算，很好地体现了代数运算中“凑公式”的解题思路。
【难度系数】
0.6
