19.(9分)如图7-5-10,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)作AB边的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E.(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
(2)连结BD,求证:BD平分∠ABC.

图7-5-10

19. 解:(1) 所作图形如图所示。
(2) $\because$ DE 垂直平分AB，$\therefore AD = BD$.
$\therefore ∠ ABD = ∠ A = 30°$.
$\because ∠ C = 90°$
$\therefore ∠ ABC = 90° - ∠ A = 90° - 30° = 60°$.
$\therefore ∠ CBD = ∠ ABC - ∠ ABD = 30°$.
$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD$，即BD 平分$∠ ABC$.

20.(9分)有一块四边形土地的形状如图7-5-11所示，已知$∠ B = 90°$，$AB = 20\ \mathrm{m}$，$BC = 15\ \mathrm{m}$，$CD = 7\ \mathrm{m}$，$AD = 24\ \mathrm{m}$，请计算这块土地的面积.

解:连结 AC。在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$∠ B = 90°, AB = 20\ \mathrm{m}, BC = 15\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = \sqrt{(AB^2 + BC^2)} = 25(\mathrm{m})$.
$\because CD = 7\ \mathrm{m}, AD = 24\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD^2 + AD^2 = 7^2 + 24^2 = 25^2 = AC^2$.
$\therefore △ ACD$ 为直角三角形，$∠ D = 90°$.
$\therefore$ 这块土地的面积为：
$\frac{1}{2} × 20 × 15 + \frac{1}{2} × 7 × 24 = 234(\mathrm{m}^2)$.

21.(9分)如图7-5-12,点D,E在△ABC的边BC上,连结AD,AE.
给出以下三个关系式:
①AB = AC; ②AD = AE;
③BD = CE.
以此三个关系式中的两个作为命题的条件,另一个作为命题的结论,构成以下命题:
a. ①②⇒③; b. ①③⇒②;
c. ②③⇒①.
(1) 这三个命题是真命题的为.
(填写命题代号)
(2)请选择一个真命题进行证明(先写出命题的条件和结论,然后进行证明).

图7-5-12

21. 解:(1) a,b,c。
(2) 选择“①③⇒②”.
证明: $\because AB = AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$.
在 $△ ABD$ 和 $△ ACE$ 中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE$.
$\therefore AD = AE$.