8.(10分) 实践测量情境 如图，小明想要测量池塘两端$A,B$间的距离.池塘西边有一根电杆$D$,在$BD$的中点$C$处有一棵松树,小明从点$A$出发,沿直线$AC$一直向前经过点$C$走到点$E(A,C,E$三点共线$)$,并使$CE=CA$,然后他测得点$E$与电杆$D$之间的距离是$42\ \mathrm{m}$,求$A,B$间的距离.

8. 解: $\because C$ 是 $BD$ 的中点, $\therefore CD=CB$. 在 $△ ABC$ 和 $△ EDC$ 中, $\begin{cases} CB=CD, \\ ∠ ACB=∠ ECD, \\ CA=CE, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ EDC$(SAS). $\therefore AB=ED=42\ \mathrm{m}$. $\therefore A,B$间的距离为 $42\ \mathrm{m}$.

【分析】
要测量无法直接到达的A、B间的距离，可通过构造全等三角形，将待求线段AB转化为可测量的线段。首先根据C是BD中点得到一组相等的边，结合题目给出的CE=CA，再找到两组相等边的夹角（对顶角相等），即可利用SAS判定两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，就能得到AB与DE长度相等，从而求出AB的距离。
【解析】
$\because C$ 是 $BD$ 的中点，
$\therefore CD=CB$。
在 $△ ABC$ 和 $△ EDC$ 中，
$\begin{cases}CB=CD, \\∠ ACB=∠ ECD, \\CA=CE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDC\ (\mathrm{SAS})$。
$\therefore AB=ED$，
$\because$ 测得 $ED=42\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=42\ \mathrm{m}$。
【答案】
$42\ \mathrm{m}$
【知识点】
全等三角形SAS判定；全等三角形的性质；中点的定义
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，核心思路是通过构造全等三角形，将不可直接测量的线段转化为方便测量的线段，解题关键是准确找到全等三角形对应相等的边和角，正确运用SAS判定定理证明全等。
【难度系数】
0.8

9.(12分)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°$,$∠ C=20°$.过点A作$AE⊥ BC$,垂足为E,延长EA至点D,使$AD=AC$,在边AC上截取$AF=AB$,连接DF.求证:$DF=CB$.

9. 证明: $\because ∠ B=50°, ∠ C=20°, \therefore ∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=110°$. $\because AE ⊥ BC, \therefore ∠ AEC=90°$. $\therefore ∠ DAF= ∠ AEC + ∠ C = 110°$. $\therefore ∠ DAF = ∠ CAB$. 在 $△ DAF$ 和 $△ CAB$ 中, $\begin{cases} AD=AC, \\ ∠ DAF=∠ CAB, \\ AF=AB, \end{cases}$ $\therefore △ DAF ≌ △ CAB$(SAS). $\therefore DF=CB$.

【分析】
要证明线段DF=CB，可通过证明二者所在的三角形全等来实现。观察图形可知DF、CB分别属于△DAF和△CAB，题中已给出AD=AC、AF=AB两组对应边相等，因此只需证明两边的夹角∠DAF与∠CAB相等即可。第一步，利用三角形内角和为180°，结合已知∠B、∠C的度数计算出∠CAB的度数；第二步，由AE⊥BC得到∠AEC=90°，利用角度计算推出∠DAF的度数，证明两个夹角相等；第三步，根据SAS判定定理证明△DAF≌△CAB，最后由全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
$\because ∠ B=50°, ∠ C=20°$，
$\therefore ∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=110°$。
$\because AE ⊥ BC$，
$\therefore ∠ AEC=90°$。
$\therefore ∠ DAF=∠ AEC+∠ C=90°+20°=110°$，
$\therefore ∠ DAF=∠ CAB$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中：
$\begin{cases}AD=AC, \\∠ DAF=∠ CAB, \\AF=AB,\end{cases}$
$\therefore △ DAF ≌ △ CAB(\mathrm{SAS})$。
$\therefore DF=CB$。
【答案】
$DF=CB$，证明过程见解析。
【知识点】
三角形内角和定理，SAS判定全等，全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，核心考查利用全等三角形证明线段相等的思路，解题关键是通过角度推导得到全等所需的夹角相等的条件，掌握全等三角形的判定和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

10.(14分)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是射线$BC$上一点，点$E$在$AD$的右侧，$AE=AD$，且$∠ DAE=∠ BAC$，连接$CE$.
(1)如图①，若点$D$在线段$BC$上，求证：$∠ BAC+∠ DCE=180°$；
(2)如图②，若点$D$在线段$BC$的延长线上，判断$∠ BAC$与$∠ DCE$的数量关系，并说明理由.

10. (1) 证明: $\because ∠ DAE = ∠ BAC, \therefore ∠ DAE - ∠ DAC = ∠ BAC - ∠ DAC$, 即 $∠ CAE = ∠ BAD$. 在 $△ BAD$ 和 $△ CAE$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$ $\therefore △ BAD ≌ △ CAE$(SAS). $\therefore ∠ ACE = ∠ B$. $\therefore ∠ BAC + ∠ DCE = ∠ BAC + ∠ ACE + ∠ ACD = ∠ BAC + ∠ B + ∠ ACD = 180°$.
(2) 解: $∠ BAC = ∠ DCE$. 理由如下: 易证 $△ BAD ≌ △ CAE$ (SAS), $\therefore ∠ ACE = ∠ B$. 又 $\because ∠ ACD = ∠ ACE + ∠ DCE = ∠ B + ∠ BAC$, $\therefore ∠ BAC = ∠ DCE$.

【分析】
(1) 要证明∠BAC + ∠DCE = 180°，首先结合已知的等边和等角条件，先通过角的和差得到全等需要的相等夹角，用SAS证明△BAD和△CAE全等，得到对应角相等，再结合三角形内角和定理，通过角的等量代换即可完成证明。
(2) 当点D在BC延长线上时，同理先推导得到全等所需的相等夹角，证明△BAD≌△CAE得到对应角相等，再结合三角形外角的性质，通过等量代换即可推出两个角的数量关系。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠DAE = ∠BAC$，
$\therefore ∠DAE - ∠DAC = ∠BAC - ∠DAC$，即$∠CAE = ∠BAD$。
在$△ BAD$ 和 $△ CAE$ 中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ ACE = ∠ B$。
$\because △ ABC$中，$∠BAC + ∠B + ∠ACB = 180°$，且$∠DCE = ∠ACE + ∠ACB$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ DCE = ∠ BAC + ∠ B + ∠ ACB = 180°$。
(2) 解：$∠BAC = ∠DCE$，理由如下：
$\because ∠DAE = ∠BAC$，
$\therefore ∠DAE + ∠DAC = ∠BAC + ∠DAC$，即$∠CAE = ∠BAD$。
在$△ BAD$ 和 $△ CAE$ 中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ ACE = ∠ B$。
$\because ∠ACD$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ACD = ∠B + ∠BAC$，
又$\because ∠ACD = ∠ACE + ∠DCE$，
$\therefore ∠B + ∠BAC = ∠ACE + ∠DCE$，
将$∠ACE=∠B$代入得$∠BAC = ∠DCE$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{∠BAC = ∠DCE}$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 三角形内角和与外角性质
【点评】
本题是共顶点旋转型全等的典型习题，解题核心是通过等角的和差推导全等所需的夹角相等，利用全等实现角的等量转换，再结合三角形相关角的性质推导结论，解题时要注意动点位置变化对角的拆分方式的影响。
【难度系数】
0.65

11.(6分)如图,在△ABC中,∠B=∠C,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且BE=CF,AD+EC=AB.若∠A=36°时,∠DEF的度数为.

11. 72°

【分析】
首先利用三角形内角和与等腰三角形两底角相等的性质，求出△ABC的底角∠B、∠C的度数；再根据AB的线段和关系，推导出全等需要的相等边，通过SAS证明△DBE和△ECF全等，得到对应角相等；最后结合平角定义和三角形内角和做角的等量代换，即可求出∠DEF的度数。
【解析】
1. 求△ABC底角度数：
在△ABC中，∠A=36°，∠B=∠C，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$
2. 推导相等边：
已知$AB=AD+EC$，又因为$AB=AD+BD$，所以$AD+BD=AD+EC$，化简得$BD=EC$。
3. 证明三角形全等：
在$△ DBE$和$△ ECF$中：
$\begin{cases}BD=EC(\mathrm{已证}) \\∠ B=∠ C(\mathrm{已知}) \\BE=CF(\mathrm{已知})\end{cases}$
所以$△ DBE≌△ ECF(\mathrm{SAS})$。
4. 求∠DEF的度数：
由全等得$∠ BDE=∠ CEF$。
在$△ DBE$中，$∠ B+∠ BDE+∠ BED=180°$；
根据平角定义，$∠ BED+∠ DEF+∠ CEF=180°$，将$∠ CEF$替换为$∠ BDE$，可得$∠ BED+∠ DEF+∠ BDE=180°$，对比上式可得$∠ DEF=∠ B=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形部分的典型综合题，解题核心是通过已知的线段和关系挖掘全等的隐含条件，再利用角的等量代换求出目标角度，能很好地考查学生对三角形基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65