1.(4分)(教材P44习题T4变式)如图,已知∠1=∠2,添加下列条件后,能运用“SAS”判定△ABD≌△ACD的是 ()

A.∠B=∠C
B.AB=AC
C.BD=CD
D.∠BAD=∠CAD

(第1题图)
(第3题图)

1. C

【分析】
首先明确全等三角形“SAS”判定的要求：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。首先从已知∠1=∠2推导可得∠ADB=∠ADC，同时AD是△ABD和△ACD的公共边，即已具备一组边相等、一组角相等的条件，要满足SAS判定，需要补充的是这组相等角的另一条夹边相等，据此匹配选项即可。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，∠1+∠ADB=180°，∠2+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC（等角的补角相等），
又
∵AD是△ABD和△ACD的公共边，
∴AD=AD。
若用“SAS”判定△ABD≌△ACD，需要补充夹角∠ADB、∠ADC的另一条夹边相等，即BD=CD。
逐一分析选项：
A. 若∠B=∠C，结合∠ADB=∠ADC、AD=AD，满足AAS判定，不符合要求；
B. 若AB=AC，此时形成的是SSA条件，不能判定三角形全等，不符合要求；
C. 若BD=CD，结合AD=AD、∠ADB=∠ADC，满足SAS判定，符合要求；
D. 若∠BAD=∠CAD，结合AD=AD、∠ADB=∠ADC，满足ASA判定，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
SAS判定全等、等角的补角相等
【点评】
本题考查全等三角形判定定理中“SAS”的应用，解题的关键是明确“SAS”中相等的角必须是两组对应相等边的夹角，避免混淆全等判定条件，同时要善于挖掘题目中隐含的公共边、等角补角相等的条件。
【难度系数】
0.7

2.(4分)如图,甲、乙两个三角形中,和△ABC全等的是 ()


A.只有甲
B.只有乙
C.甲和乙
D.无法确定

2. B

【分析】
要判断哪个三角形和△ABC全等，首先明确全等三角形SAS判定的要求：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。解题步骤如下：第一步先根据三角形内角和算出△ABC中∠C的度数，明确△ABC中边a、边b的夹角度数；第二步分别观察甲、乙两个三角形的50°角是否是边a、边b的夹角，对照SAS判定规则判断是否全等即可。
【解析】
首先计算△ABC中∠C的度数：
根据三角形内角和为180°，可得$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-52°-78°=50°$。
观察△ABC的边和角的位置：边a、边b的夹角为$∠ C=50°$，即两条边a、b的夹角是50°。
① 观察甲三角形：它的50°角是边a的对角，并非边a和边b的夹角，不满足“两边及其夹角对应相等”的SAS判定条件，因此甲和△ABC不全等。
② 观察乙三角形：它的50°角恰好是边a和边b的夹角，满足SAS判定的要求，因此乙和△ABC全等。
综上，只有乙和△ABC全等，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 全等三角形SAS判定
【点评】
本题核心考查对全等三角形SAS判定规则的理解，易错点是忽略“夹角”的要求，误将两边和其中一边的对角相等当成判定全等的条件，解题时要注意对应边和对应角的位置关系。
【难度系数】
0.7

3.(4分)如图,在△ABC和△CDE中,∠ACB=∠CED=90°,BC=DE,CE=AC,则下列结论错误的是 ()

A.△CBF≌△CDE
B.∠A=∠DCE
C.∠B=∠D
D.CD=AB

3. A

【分析】
解题时首先从已知条件出发，观察到题中给出了两个直角三角形，且有两组对应边相等，优先考虑利用SAS判定两个三角形全等，再结合全等三角形对应边、对应角相等的性质，逐一验证各个选项的正误，最终选出错误的结论。
【解析】
在$△ ABC$和$△ CDE$中：
$\{\begin{array}{l}AC=CE\\∠ACB=∠CED=90°\\BC=DE\end{array} $
$\therefore△ ABC≌△ CDE(\mathrm{SAS})$
根据全等三角形的性质，可得：
$CD=AB$，$∠A=∠DCE$，$∠B=∠D$，因此选项B、C、D的结论均正确。
选项A中，$△ CBF$是$△ ABC$内部的小三角形，与$△ CDE$（和$△ ABC$全等）不可能全等，故A结论错误。
题目要求选错误的结论，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定和性质的基础应用题，解题的核心是先准确证明两个三角形全等，再结合全等的性质判断选项，做题时要注意题干要求选错误结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7

4. (4分) 学科融合·跨物理 物理中的小孔成像如图所示，某兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得$AO=CO$，$BO=DO$.已知蜡烛成像火焰的高度为2 cm，则蜡烛实际火焰AB的高度为 cm.

（第4题图）
（第5题图）

4. 2

【分析】
解题时先结合图形和已知条件分析：已知AO=CO、BO=DO，小孔处两条光线相交形成的∠AOB与∠COD是对顶角，二者相等，因此可通过“SAS”判定△AOB和△COD全等，再根据全等三角形对应边相等，即可得到AB与像的高度CD的数量关系，进而求出AB的长度。
【解析】
在$△ AOB$和$△ COD$中：
$\begin{cases}AO=CO \quad (\mathrm{已知}) \\∠ AOB=∠ COD \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BO=DO \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ COD \ (\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应边相等，可得$AB=CD$。
已知蜡烛成像火焰高度$CD=2\ \mathrm{cm}$，因此$AB=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题结合物理小孔成像情景考查全等三角形的相关知识，解题关键是找到三角形全等的条件，利用全等性质推导对应边的长度关系。
【难度系数】
0.9

5.(4分)如图，AD是$△ ABC$的中线，E，F分别是AD和AD的延长线上的点，且$DE=DF$，连接BF，CE.有下列说法：①$△ ABD$和$△ ACD$的面积相等；②$∠ BAD=∠ CAD$；③$△ BDF≌△ CDE$；④$BF// CE$.其中正确的说法是.(填序号)

5. ①③④

【分析】
我们逐个分析每个说法是否正确：
1. 对于①：根据三角形中线的定义，中线平分对边，可得BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此面积相等。
2. 对于②：中线仅平分对边，不是角平分线，题目未说明△ABC是等腰三角形，因此∠BAD和∠CAD不一定相等。
3. 对于③：观察△BDF和△CDE，已知BD=CD，DE=DF，再加上对顶角相等，可通过SAS判定两三角形全等。
4. 对于④：由全等三角形的性质可得对应角相等，根据内错角相等两直线平行，即可判断BF和CE平行。
【解析】
解：
①
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离，等底同高的三角形面积相等，故①正确；
② AD是中线，仅能得到BD=CD，不能推出∠BAD=∠CAD，只有当AB=AC时该结论才成立，题目未给出相关条件，故②错误；
③ 在△BDF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ BDF=∠ CDE（对顶角相等）\\ DF=DE\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
④
∵△BDF≌△CDE，
∴∠F=∠CED，
∴BF//CE（内错角相等，两直线平行），故④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
三角形中线的性质；全等三角形的判定；平行线的判定
【点评】
本题属于基础题，综合考查了三角形中线、全等三角形和平行线的相关性质定理，解题时要注意区分三角形中线和角平分线的作用，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.7

6.(8分)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.

6. 证明: $\because ∠ BAE = ∠ CAD, \therefore ∠ BAE + ∠ CAE = ∠ CAD + ∠ CAE$, 即$∠ BAC = ∠ EAD$. 在$△ ABC$ 和 $△ AED$ 中, $\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ BAC=∠ EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ AED$(SAS).

【分析】
要证明△ABC≌△AED，首先梳理已知条件：已经给出两组对应边相等，即AB=AE、AC=AD。根据三角形全等的SAS判定定理，还需要证明这两组对应边的夹角相等，也就是∠BAC=∠EAD。观察已知的∠BAE=∠CAD，两个角同时加上公共角∠CAE，根据等式的基本性质，即可推出∠BAC=∠EAD，满足SAS的判定条件，就可以证明两个三角形全等。
【解析】
证明：$\because ∠ BAE = ∠ CAD, \therefore ∠ BAE + ∠ CAE = ∠ CAD + ∠ CAE$, 即$∠ BAC = ∠ EAD$.
在$△ ABC$ 和 $△ AED$ 中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ BAC=∠ EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED$(SAS).
【答案】
$\because ∠ BAE = ∠ CAD, \therefore ∠ BAE + ∠ CAE = ∠ CAD + ∠ CAE$, 即$∠ BAC = ∠ EAD$.
在$△ ABC$ 和 $△ AED$ 中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ BAC=∠ EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED$(SAS).
【知识点】
全等三角形SAS判定；角的和差运算
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题型，核心考察SAS判定定理的应用，解题关键是利用角的和差关系推导得到对应相等的夹角，做题时要注意准确匹配两个三角形的对应边和对应角，避免混淆对应关系。
【难度系数】
0.8

7.(10分)如图,已知点B,E,F,C在同一直线上,BE=CF,∠B=∠C,AB=CD.
(1)求证:△ABF≌△DCE;
(2)若∠AFB=40°,求∠AGE的度数.

7. (1) 证明: $\because BE=CF, \therefore BE+EF=CF+EF$, 即 $BF=CE$. 在 $△ ABF$ 和 $△ DCE$ 中, $\begin{cases} AB=DC, \\ ∠ B=∠ C, \\ BF=CE, \end{cases}$ $\therefore △ ABF ≌ △ DCE$(SAS).
(2) 解: 由(1) 可知 $△ ABF ≌ △ DCE$, $\therefore ∠ DEC = ∠ AFB = 40°$. $\therefore ∠ AGE = ∠ GEF + ∠ GFE = 80°$.

【分析】
（1）要证明△ABF≌△DCE，先梳理已知条件：已有∠B=∠C、AB=CD，还缺一组对应边相等。由已知BE=CF，给两段同时加上公共线段EF，即可得到BF=CE，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
（2）求∠AGE的度数，先由（1）的全等结论可得对应角∠DEC=∠AFB=40°，观察∠AGE是△GEF的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和，代入角度即可算出结果。
【解析】
（1）证明：
$\because BE=CF$，
$\therefore BE+EF=CF+EF$，即$BF=CE$。
在$△ ABF$和$△ DCE$中：
$\begin{cases}AB=DC \\∠B=∠C \\BF=CE\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ DCE(\mathrm{SAS})$。
（2）解：
由（1）可知$△ ABF ≌ △ DCE$，
$\therefore ∠DEC = ∠AFB = 40°$。
$\because ∠AGE$是$△ GEF$的外角，
$\therefore ∠AGE = ∠GEF + ∠GFE = 40°+40°=80°$。
【答案】
（1）$△ ABF ≌ △ DCE$得证；（2）$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合基础题，解题核心是先通过线段和差得到全等判定的必要条件，再结合全等性质和外角性质求解，作答时要注意几何证明步骤的规范性。
【难度系数】
0.8