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11.(9分)(教材P31习题T4变式)如图，$△ ABC ≌ △ DEF$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，$CE=2\ \mathrm{cm}$，$∠ B=45°$，$∠ ACB=30°$，求线段$CF$的长和$∠ D$的度数.
答案
11. 解:
∵△ABC≌△DEF,
∴EF=BC=5 cm,∠D=∠A.
∵CE=2 cm,
∴CF=EF-CE=3 cm.
∵∠B=45°,∠ACB=30°,
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=105°.
∴∠D=105°.
∵△ABC≌△DEF,
∴EF=BC=5 cm,∠D=∠A.
∵CE=2 cm,
∴CF=EF-CE=3 cm.
∵∠B=45°,∠ACB=30°,
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=105°.
∴∠D=105°.
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。第一步求CF的长度：先确定BC的对应边是EF，可得EF的长度等于BC，再用EF的长度减去CE的长度即可得到CF的长。第二步求∠D的度数：先确定∠D的对应角是△ABC中的∠A，再根据三角形内角和为180°，用180°减去△ABC中已知的两个内角的度数，算出∠A的度数，即可得到∠D的度数。
【解析】
∵$△ ABC ≌ △ DEF$，
∴$EF=BC=5\ \mathrm{cm}$，$∠D=∠A$。
∵$CE=2\ \mathrm{cm}$，
∴$CF=EF-CE=5-2=3\ \mathrm{cm}$。
∵在$△ ABC$中，$∠B=45°$，$∠ACB=30°$，
∴$∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-45°-30°=105°$，
∴$∠D=∠A=105°$。
【答案】
CF的长为$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$，$∠D$的度数为$\boldsymbol{105°}$。
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合三角形内角和定理即可快速求解，主要考查对基础几何性质的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。第一步求CF的长度：先确定BC的对应边是EF，可得EF的长度等于BC，再用EF的长度减去CE的长度即可得到CF的长。第二步求∠D的度数：先确定∠D的对应角是△ABC中的∠A，再根据三角形内角和为180°，用180°减去△ABC中已知的两个内角的度数，算出∠A的度数，即可得到∠D的度数。
【解析】
∵$△ ABC ≌ △ DEF$，
∴$EF=BC=5\ \mathrm{cm}$，$∠D=∠A$。
∵$CE=2\ \mathrm{cm}$，
∴$CF=EF-CE=5-2=3\ \mathrm{cm}$。
∵在$△ ABC$中，$∠B=45°$，$∠ACB=30°$，
∴$∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-45°-30°=105°$，
∴$∠D=∠A=105°$。
【答案】
CF的长为$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$，$∠D$的度数为$\boldsymbol{105°}$。
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合三角形内角和定理即可快速求解，主要考查对基础几何性质的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
12.(10分)如图，$△ ADF ≌ △ BCE$，$∠ B=27°$，$∠ F=23°$，$AD=8$，$CD=3$.
(1)求$∠ FDB$的度数；
(2)求$AB$的长.
(1)求$∠ FDB$的度数；
(2)求$AB$的长.
答案
12. 解:(1)
∵△ADF≌△BCE,
∴∠A=∠B=27°.
∵∠F=23°,
∴∠FDB=∠A+∠F=50°.
(2)
∵△ADF≌△BCE,
∴BC=AD=8.
∵CD=3,
∴BD=BC-CD=5.
∴AB=AD+BD=13.
∵△ADF≌△BCE,
∴∠A=∠B=27°.
∵∠F=23°,
∴∠FDB=∠A+∠F=50°.
(2)
∵△ADF≌△BCE,
∴BC=AD=8.
∵CD=3,
∴BD=BC-CD=5.
∴AB=AD+BD=13.
解析
【分析】
本题考查全等三角形性质的应用，解题思路如下：(1)求∠FDB的度数：首先根据全等三角形对应角相等得到∠A的度数，再利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠A和∠F相加即可求出∠FDB的度数；(2)求AB的长度：首先根据全等三角形对应边相等得到BC的长度，先计算BD的长度为BC减去CD的长度，再用AD加BD的长度即可得到AB的总长。
【解析】
(1)
∵△ADF ≌ △BCE，
∴∠A = ∠B = 27°，
∵∠FDB是△ADF的外角，∠F=23°，
∴∠FDB = ∠A + ∠F = 27° + 23° = 50°。
(2)
∵△ADF ≌ △BCE，
∴BC = AD = 8，
∵CD=3，
∴BD = BC - CD = 8 - 3 = 5，
∴AB = AD + BD = 8 + 5 = 13。
【答案】
(1) ∠FDB=50°；
(2) AB=13
【知识点】
全等三角形的性质、三角形外角的性质、线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题，解题核心是准确找到全等三角形的对应角和对应边，结合简单的角度、线段运算即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
本题考查全等三角形性质的应用，解题思路如下：(1)求∠FDB的度数：首先根据全等三角形对应角相等得到∠A的度数，再利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠A和∠F相加即可求出∠FDB的度数；(2)求AB的长度：首先根据全等三角形对应边相等得到BC的长度，先计算BD的长度为BC减去CD的长度，再用AD加BD的长度即可得到AB的总长。
【解析】
(1)
∵△ADF ≌ △BCE，
∴∠A = ∠B = 27°，
∵∠FDB是△ADF的外角，∠F=23°，
∴∠FDB = ∠A + ∠F = 27° + 23° = 50°。
(2)
∵△ADF ≌ △BCE，
∴BC = AD = 8，
∵CD=3，
∴BD = BC - CD = 8 - 3 = 5，
∴AB = AD + BD = 8 + 5 = 13。
【答案】
(1) ∠FDB=50°；
(2) AB=13
【知识点】
全等三角形的性质、三角形外角的性质、线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题，解题核心是准确找到全等三角形的对应角和对应边，结合简单的角度、线段运算即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
13.(12分)如图,点B,C,D在同一条直线上,△ABC≌△CDE,∠B=∠D=90°,AB=6,BC=8,CE=10.
(1)求△ABC的周长;
(2)求△ACE的面积.
(1)求△ABC的周长;
(2)求△ACE的面积.
答案
13. 解:(1)
∵△ABC≌△CDE,
∴AC=CE=10.
∵AB=6,BC=8,
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=6+8+10=24.
(2)
∵△ABC≌△CDE,
∴∠ECD=∠BAC.
∵∠B=90°,
∴∠ACB+∠BAC=90°.
∴∠ACB+∠ECD=90°.
∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠ECD)=90°.
由(1)得,AC=CE=10,
∴$S_{△ACE}=\frac{1}{2}AC·CE=50$.
∵△ABC≌△CDE,
∴AC=CE=10.
∵AB=6,BC=8,
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=6+8+10=24.
(2)
∵△ABC≌△CDE,
∴∠ECD=∠BAC.
∵∠B=90°,
∴∠ACB+∠BAC=90°.
∴∠ACB+∠ECD=90°.
∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠ECD)=90°.
由(1)得,AC=CE=10,
∴$S_{△ACE}=\frac{1}{2}AC·CE=50$.
解析
【分析】
(1) 求△ABC的周长需要知道三边长度，已知AB和BC的长度，只需求出AC即可。根据△ABC≌△CDE，利用全等三角形对应边相等的性质可得AC=CE=10，将三边相加就能得到周长。
(2) 求△ACE的面积首先要判断三角形的形状：利用全等三角形对应角相等可得∠ECD=∠BAC，结合Rt△ABC两锐角互余的性质，可推出∠ACB+∠ECD=90°，再根据平角为180°可得∠ACE=90°，即△ACE是直角边为AC、CE的直角三角形，代入面积公式即可求解。
【解析】
(1)
∵△ABC≌△CDE，全等三角形对应边相等，
∴AC=CE=10，
已知AB=6，BC=8，
∴△ABC的周长为$AB+BC+AC=6+8+10=24$。
(2)
∵△ABC≌△CDE，全等三角形对应角相等，
∴∠ECD=∠BAC，
∵∠B=90°，Rt△ABC中两锐角互余，
∴∠ACB+∠BAC=90°，
等量代换得$∠ ACB+∠ ECD=90°$，
∵点B、C、D共线，$∠ BCD=180°$，
∴$∠ ACE=180°-(∠ ACB+∠ ECD)=180°-90°=90°$，
由(1)得$AC=CE=10$，
∴$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AC· CE=\frac{1}{2}×10×10=50$。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{50}$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形周长计算，直角三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查全等三角形性质的应用，解题关键是通过全等关系完成边和角的等量转化，第二问需要先推导证明∠ACE为直角，整体考查基础的逻辑推理能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求△ABC的周长需要知道三边长度，已知AB和BC的长度，只需求出AC即可。根据△ABC≌△CDE，利用全等三角形对应边相等的性质可得AC=CE=10，将三边相加就能得到周长。
(2) 求△ACE的面积首先要判断三角形的形状：利用全等三角形对应角相等可得∠ECD=∠BAC，结合Rt△ABC两锐角互余的性质，可推出∠ACB+∠ECD=90°，再根据平角为180°可得∠ACE=90°，即△ACE是直角边为AC、CE的直角三角形，代入面积公式即可求解。
【解析】
(1)
∵△ABC≌△CDE，全等三角形对应边相等，
∴AC=CE=10，
已知AB=6，BC=8，
∴△ABC的周长为$AB+BC+AC=6+8+10=24$。
(2)
∵△ABC≌△CDE，全等三角形对应角相等，
∴∠ECD=∠BAC，
∵∠B=90°，Rt△ABC中两锐角互余，
∴∠ACB+∠BAC=90°，
等量代换得$∠ ACB+∠ ECD=90°$，
∵点B、C、D共线，$∠ BCD=180°$，
∴$∠ ACE=180°-(∠ ACB+∠ ECD)=180°-90°=90°$，
由(1)得$AC=CE=10$，
∴$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AC· CE=\frac{1}{2}×10×10=50$。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{50}$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形周长计算，直角三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查全等三角形性质的应用，解题关键是通过全等关系完成边和角的等量转化，第二问需要先推导证明∠ACE为直角，整体考查基础的逻辑推理能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.8
14.(12分)如图，A，D，E三点在同一条直线上，且$△ BAD ≌ △ ACE$.
(1)BD，DE，CE之间有何数量关系？请说明理由.
(2)当$△ ABD$满足什么条件时，$BD // CE$？请说明理由.
(1)BD，DE，CE之间有何数量关系？请说明理由.
(2)当$△ ABD$满足什么条件时，$BD // CE$？请说明理由.
答案
14. 解:(1)BD=CE+DE.理由如下:
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE.
∵AE=AD+DE=CE+DE,
∴BD=CE+DE.
(2)当△ABD满足∠ADB=90°(答案不唯一)时,BD//CE.理由如下:
∵△BAD≌△ACE,
∴∠E=∠ADB=90°.
∵∠BDE=180°-∠ADB=90°,
∴∠E=∠BDE.
∴BD//CE.
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE.
∵AE=AD+DE=CE+DE,
∴BD=CE+DE.
(2)当△ABD满足∠ADB=90°(答案不唯一)时,BD//CE.理由如下:
∵△BAD≌△ACE,
∴∠E=∠ADB=90°.
∵∠BDE=180°-∠ADB=90°,
∴∠E=∠BDE.
∴BD//CE.
解析
【分析】
(1) 要推导BD、DE、CE的数量关系，首先结合已知的$△ BAD ≌ △ ACE$，回忆全等三角形对应边相等的性质，先得到对应边$BD=AE$，$AD=CE$；再观察图形可知共线的三点A、D、E满足$AE=AD+DE$，将AD替换为CE，AE替换为BD，即可得到三条线段的数量关系。
(2) 要判定$BD // CE$，根据平行线的判定定理，需要找到相等的内错角$∠ BDE$和$∠ E$；结合全等三角形对应角相等的性质，可得$∠ E=∠ ADB$，结合平角的定义，若$∠ ADB=90°$，则$∠ BDE=180°-∠ ADB=90°$，即可得到$∠ E=∠ BDE$，进而推出两直线平行。
【解析】
(1) $BD=CE+DE$，理由如下：
$\because △ BAD ≌ △ ACE$，
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$。
$\because$ A、D、E三点在同一条直线上，
$\therefore AE=AD+DE=CE+DE$，
$\therefore BD=CE+DE$。
(2) 当$△ ABD$满足$∠ ADB=90°$（答案不唯一）时，$BD // CE$，理由如下：
$\because △ BAD ≌ △ ACE$，
$\therefore ∠ E=∠ ADB=90°$。
$\because ∠ BDE=180°-∠ ADB=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ E=∠ BDE$，
$\therefore BD // CE$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=CE+DE}$；
(2) 当$\boldsymbol{△ ABD}$满足$\boldsymbol{∠ ADB=90°}$（答案不唯一）时，$\boldsymbol{BD// CE}$。
【知识点】
全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，既考查了利用全等性质进行线段的等量代换推导和差关系，也结合了平行线的判定考查角的等量代换，解题的关键是准确找准全等三角形的对应边和对应角，灵活进行等量代换。
【难度系数】
0.7
(1) 要推导BD、DE、CE的数量关系，首先结合已知的$△ BAD ≌ △ ACE$，回忆全等三角形对应边相等的性质，先得到对应边$BD=AE$，$AD=CE$；再观察图形可知共线的三点A、D、E满足$AE=AD+DE$，将AD替换为CE，AE替换为BD，即可得到三条线段的数量关系。
(2) 要判定$BD // CE$，根据平行线的判定定理，需要找到相等的内错角$∠ BDE$和$∠ E$；结合全等三角形对应角相等的性质，可得$∠ E=∠ ADB$，结合平角的定义，若$∠ ADB=90°$，则$∠ BDE=180°-∠ ADB=90°$，即可得到$∠ E=∠ BDE$，进而推出两直线平行。
【解析】
(1) $BD=CE+DE$，理由如下：
$\because △ BAD ≌ △ ACE$，
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$。
$\because$ A、D、E三点在同一条直线上，
$\therefore AE=AD+DE=CE+DE$，
$\therefore BD=CE+DE$。
(2) 当$△ ABD$满足$∠ ADB=90°$（答案不唯一）时，$BD // CE$，理由如下：
$\because △ BAD ≌ △ ACE$，
$\therefore ∠ E=∠ ADB=90°$。
$\because ∠ BDE=180°-∠ ADB=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ E=∠ BDE$，
$\therefore BD // CE$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=CE+DE}$；
(2) 当$\boldsymbol{△ ABD}$满足$\boldsymbol{∠ ADB=90°}$（答案不唯一）时，$\boldsymbol{BD// CE}$。
【知识点】
全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，既考查了利用全等性质进行线段的等量代换推导和差关系，也结合了平行线的判定考查角的等量代换，解题的关键是准确找准全等三角形的对应边和对应角，灵活进行等量代换。
【难度系数】
0.7
15.(6分) 新定义问题 我们规定:在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫作该四边形的“等形点”.在四边形EFGH中，∠EFG=90°,EF//GH,EF=5,FG=17,如果该四边形的“等形点”在边FG上,那么四边形EFGH的面积是
$85或\frac{289}{2}$
.答案
15. 85 或 $\frac{289}{2}$
解析
【分析】
首先明确“等形点”的定义：边FG上的点O满足△OEF与△OHG全等。由EF//GH，∠EFG=90°，可推出∠HGF=90°，即△OEF和△OHG都是直角三角形，直角对应相等。由于全等三角形的对应关系不唯一，需分两种情况讨论对应边的等量关系，再结合梯形面积公式求解即可。
【解析】
设边FG上的“等形点”为O，则△OEF≌△OHG。
∵EF//GH，∠EFG=90°，
∴∠HGF=180°-∠EFG=90°，即△EFO和△HGO均为直角三角形，且∠EFO=∠HGO=90°，分两种全等情况：
情况1：当$\mathrm{Rt}△ EFO≌\mathrm{Rt}△ HGO$时，
对应边相等：$EF=HG$，$OF=OG$，
∴$HG=EF=5$，
四边形EFGH为直角梯形，面积$S=(EF+HG)×FG÷2=(5+5)×17÷2=85$；
情况2：当$\mathrm{Rt}△ EFO≌\mathrm{Rt}△ OGH$时，
对应边相等：$EF=OG$，$OF=HG$，
∵$OG=EF=5$，
∴$OF=FG-OG=17-5=12$，
∴$HG=12$，
此时四边形EFGH的面积$S=(EF+HG)×FG÷2=(5+12)×17÷2=\frac{289}{2}$。
综上，四边形EFGH的面积为85或$\frac{289}{2}$。
【答案】
85 或 $\frac{289}{2}$
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的性质，直角梯形面积计算
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是正确理解“等形点”的含义，解题时需注意全等三角形的对应关系不唯一，要分类讨论避免漏解，同时要熟练运用平行线和梯形面积的相关知识。
【难度系数】
0.6
首先明确“等形点”的定义：边FG上的点O满足△OEF与△OHG全等。由EF//GH，∠EFG=90°，可推出∠HGF=90°，即△OEF和△OHG都是直角三角形，直角对应相等。由于全等三角形的对应关系不唯一，需分两种情况讨论对应边的等量关系，再结合梯形面积公式求解即可。
【解析】
设边FG上的“等形点”为O，则△OEF≌△OHG。
∵EF//GH，∠EFG=90°，
∴∠HGF=180°-∠EFG=90°，即△EFO和△HGO均为直角三角形，且∠EFO=∠HGO=90°，分两种全等情况：
情况1：当$\mathrm{Rt}△ EFO≌\mathrm{Rt}△ HGO$时，
对应边相等：$EF=HG$，$OF=OG$，
∴$HG=EF=5$，
四边形EFGH为直角梯形，面积$S=(EF+HG)×FG÷2=(5+5)×17÷2=85$；
情况2：当$\mathrm{Rt}△ EFO≌\mathrm{Rt}△ OGH$时，
对应边相等：$EF=OG$，$OF=HG$，
∵$OG=EF=5$，
∴$OF=FG-OG=17-5=12$，
∴$HG=12$，
此时四边形EFGH的面积$S=(EF+HG)×FG÷2=(5+12)×17÷2=\frac{289}{2}$。
综上，四边形EFGH的面积为85或$\frac{289}{2}$。
【答案】
85 或 $\frac{289}{2}$
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的性质，直角梯形面积计算
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是正确理解“等形点”的含义，解题时需注意全等三角形的对应关系不唯一，要分类讨论避免漏解，同时要熟练运用平行线和梯形面积的相关知识。
【难度系数】
0.6
