8. 某同学用10块高度都是5 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺$ABD(∠ABD= 90^{\circ },BD= BA)$,点B在CE上,点A和点D分别与木墙的顶端重合.
(1) 求证：$△ACB\cong △BED$.
(2) 求两堵木墙之间的距离.

（1）由题意，得 $ AB = BD $，$ \angle ABD = 90^\circ $，$ AC \perp CE $，$ DE \perp CE $，所以 $ \angle BED = \angle ACB = 90^\circ $。所以 $ \angle BDE + \angle DBE = 90^\circ $，$ \angle DBE + \angle ABC = 90^\circ $。所以 $ \angle BDE = \angle ABC $。在 $ \triangle ACB $ 和 $ \triangle BED $ 中，因为 $ \begin{cases} \angle ABC = \angle BDE, \\ \angle ACB = \angle BED, \\ AB = BD, \end{cases} $ 所以 $ \triangle ACB \cong \triangle BED(AAS) $。（2）由题意，得 $ AC = 5 × 3 = 15(cm) $，$ DE = 7 × 5 = 35(cm) $。因为 $ \triangle ACB \cong \triangle BED $，所以 $ BC = DE = 35 cm $，$ AC = BE = 15 cm $。所以 $ CE = BE + BC = 15 + 35 = 50(cm) $。所以两堵木墙之间的距离为 $ 50 cm $。

9. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,BD为AC边上的高,BE平分$∠ABD$,点F在BD上,连结EF并延长交BC于点G,若$BG= EG,∠A= 2∠DEF$,给出下列结论：①$∠DEF= ∠CBD$；②$∠ABE+∠CBD= 45^{\circ }$；③$EG⊥BC$；④$BF= CE$.其中,正确的有 ()


A.1个
B.4个
C.3个
D.2个

B 解析：如图，取 $ BC $ 的中点 $ H $，连结 $ AH $。因为 $ H $ 为 $ BC $ 的中点，所以 $ BH = CH $。在 $ \triangle ABH $ 和 $ \triangle ACH $ 中，因为 $ \begin{cases} AB = AC, \\ AH = AH, \\ BH = CH, \end{cases} $ 所以 $ \triangle ABH \cong \triangle ACH(SSS) $。所以 $ \angle BAH = \angle CAH $，$ \angle BHA = \angle CHA = 90^\circ $。所以 $ \angle BAC = 2 \angle CAH $。因为 $ BD \perp AC $，所以 $ \angle CBD + \angle C = \angle CAH + \angle C = 90^\circ $。所以 $ \angle CAH = \angle CBD $。所以 $ \angle BAC = 2 \angle CBD $。因为 $ \angle BAC = 2 \angle DEF $，所以 $ \angle DEF = \angle CBD $。故①正确。因为 $ BE $ 平分 $ \angle ABD $，所以 $ \angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABD $。因为 $ \angle CBD = \frac{1}{2} \angle BAC $，所以 $ \angle ABE + \angle CBD = \frac{1}{2}(\angle ABD + \angle BAC) $。因为 $ \angle BDC = \angle ABD + \angle BAC = 90^\circ $，所以 $ \angle ABE + \angle CBD = \frac{1}{2} × 90^\circ = 45^\circ $。故②正确。因为 $ \angle FBG = \angle CEG $，$ \angle BFG = \angle EFD $，所以 $ \angle FGB = \angle EDF = 90^\circ $。所以 $ EG \perp BC $。故③正确。因为 $ EG \perp BC $，所以 $ \angle BGF = \angle EGC = 90^\circ $。在 $ \triangle BFG $ 和 $ \triangle ECG $ 中，因为 $ \begin{cases} \angle BGF = \angle EGC, \\ BG = EG, \\ \angle FBG = \angle CEG, \end{cases} $ 所以 $ \triangle BFG \cong \triangle ECG(ASA) $。所以 $ BF = EC $。故④正确。综上所述，正确的结论有 4 个。

10. 如图,M是线段AB上一点,ED是过点M的一条线段,连结AE,BD,过点B作$BF// AE$,交ED于点F,且$EM= FM$.
(1) 求证：$AE= BF$.
(2) C是线段ED上一点,连结AC.若$∠AEC= 90^{\circ },∠CAE= ∠DBF,CD= 4$,求EM的长.

（1）因为 $ BF // AE $，所以 $ \angle EAM = \angle FBM $。在 $ \triangle AME $ 和 $ \triangle BMF $ 中，因为 $ \begin{cases} \angle EAM = \angle FBM, \\ \angle AME = \angle BMF, \\ EM = FM, \end{cases} $ 所以 $ \triangle AME \cong \triangle BMF(AAS) $。所以 $ AE = BF $。（2）因为 $ \triangle AME \cong \triangle BMF $，所以 $ AE = BF $，$ EM = FM $，$ \angle AEM = \angle BFM = 90^\circ $。所以 $ \angle AEC = \angle BFD = 90^\circ $。在 $ \triangle AEC $ 和 $ \triangle BFD $ 中，因为 $ \begin{cases} \angle AEC = \angle BFD, \\ AE = BF, \\ \angle CAE = \angle DBF, \end{cases} $ 所以 $ \triangle AEC \cong \triangle BFD(ASA) $。所以 $ EC = FD $。所以 $ EC - CF = FD - CF $，即 $ EF = CD = 4 $。因为 $ EM = FM $，所以 $ EM = \frac{1}{2}EF = 2 $。