1. 线段的垂直平分线：垂直于一条线段,并且______这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线,简称______。

1. 平分 中垂线

2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到______的距离相等。

2. 线段两端

典例1 如图,直线$l与线段AB交于点O$,点$P在直线l$上,且$PA = PB$。小明说：“直线$l是AB$的垂直平分线。”小亮说：“需再添加一个条件,小明的结论才正确。”下列判断中,正确的是()
点拨 当$PO\perp AB$时,结合已知得出$\triangle PAO\cong\triangle PBO$,从而得到$AO = BO$。
解答：
解有所悟：本题主要考查垂直平分线的知识,熟练掌握线段垂直平分线的定义是解题的关键。
A.小明说得对
B.小亮说得对,可添加的条件为“$\angle A= \angle B$”
C.小亮说得对,可添加的条件为“$PO\perp AB$”
D.两人说得都不对

C

典例2 如图,$D$,$F分别为\triangle ABC的边AB$,$AC$的中点,过点$D作DE\perp AB交BC边于点E$,垂足为$D$,过点$F作GF\perp AC交BC边于点G$,垂足为$F$,连结$AE$,$AG$。若$\triangle AGE的周长为15$,$BC = 10$,求$EG$的长。

点拨 找出$\triangle AGE的周长与BC$的长的关系。
解答：
解有所悟：线段垂直平分线的性质定理是证明两条线段相等的依据之一。解题时,遇见线段的垂直平分线,常常需要连结垂直平分线上一点与线段的两个端点,从而得到两条相等的线段。

因为△AGE 的周长为 15，所以 $ GA + EA + EG = 15 $。因为 D，F 分别为△ABC 的边 AB，AC 的中点，$ DE \perp AB $，$ FG \perp AC $，所以 $ EA = EB $，$ GA = GC $。所以 $ GC + EB + EG = GA + EA + EG = 15 $，即 $ BC + 2EG = 15 $。因为 $ BC = 10 $，所以 $ 2EG = 5 $。所以 $ EG = 2.5 $。