5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD平分\angle CAB$,$DE \perp AB于点E$。
(1)求证：$\triangle ACD \cong \triangle AED$；
证明:∵AD 平分∠CAB,
∴∠CAD=∠EAD.
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°,
∴∠DEA=∠C.
在△ACD 和△AED 中,
$\begin{cases}∠C=∠DEA, \\∠CAD=∠EAD, \\AD=AD,\end{cases}$
∴△ACD≌△AED().
(2)若$AE = BE$,求$\angle B$的度数。
解:∵DE⊥AB,
∴∠BED=∠AED.
在△AED 和△BED 中,$\begin{cases}AE=BE, \\∠AED=∠BED, \\DE=DE,\end{cases}$
∴△AED≌△BED(SAS),∴∠EAD=∠B.
∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD,
∴∠CAD=∠EAD=∠B.
∵∠CAD+∠EAD+∠B=180°-∠C=90°,
∴∠B=.

解:(1)证明:∵AD 平分∠CAB,
∴∠CAD=∠EAD.
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°,
∴∠DEA=∠C.
在△ACD 和△AED 中,
$\begin{cases}∠C=∠DEA, \\∠CAD=∠EAD, \\AD=AD,\end{cases}$
∴△ACD≌△AED(AAS).
(2)∵DE⊥AB,
∴∠BED=∠AED.
在△AED 和△BED 中,$\begin{cases}AE=BE, \\∠AED=∠BED, \\DE=DE,\end{cases}$
∴△AED≌△BED(SAS),∴∠EAD=∠B.
∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD,
∴∠CAD=∠EAD=∠B.
∵∠CAD+∠EAD+∠B=180°-∠C=90°,
∴∠B=30°.

6.(江苏盐城期中)如图,$BD是\angle ABC$的平分线,$DE \perp AB于点E$,$\triangle ABC的面积是75\mathrm{cm}^2$,$AB = 18\mathrm{cm}$,$BC = 12\mathrm{cm}$,则$DE = $______$\mathrm{cm}$。

5 [解析]如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F.

∵BD 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DF=DE.
∵△ABC 的面积是 75 cm²,AB=18 cm,BC=12 cm,
∴$\frac{1}{2}$BC·DF+$\frac{1}{2}$AB·DE=75,
∴$\frac{1}{2}$×12DE+$\frac{1}{2}$×18DE=75,
解得 DE=5(cm).

7. 练思维 综合能力 如图,已知$AO$,$CO分别是\triangle ABC的外角\angle DAC和\angle ACE$的平分线,连接$OB$。
(1)求证：$BO平分\angle ABC$；

(2)若$AC = 6$,且$\triangle AOC与\triangle ABC$的面积分别为12和18,求$\triangle ABC$的周长。

解:(1)证明:如图,过点 O 分别作 OF⊥BD,OG⊥AC,OH⊥BE,垂足分别为 F,G,H.
∵AO 平分∠DAC,CO 平分∠ACE,
∴OF=OG,OH=OG,
∴OF=OH.
∵OF⊥BD,OH⊥BE,
∴点 O 在∠ABC 的平分线上,
即 BO 平分∠ABC.

(2)∵△AOC 的面积为 12,
∴$\frac{1}{2}$AC·OG=12.
∵AC=6,
∴$\frac{1}{2}$×6OG=12,
∴OG=4,
∴OF=OH=OG=4.
∵S_{△ABO}+S_{△CBO}=S_{△ABC}+S_{△AOC}=18+12=30,
∴$\frac{1}{2}$AB·OF+$\frac{1}{2}$BC·OH=30,
即$\frac{1}{2}$AB×4+$\frac{1}{2}$BC×4=30,
∴AB+BC=15,
∴△ABC 的周长为 AB+BC+AC=15+6=21.

8.(江苏常州)如图,在纸上画出$\angle AOB$,将两把直尺按如图所示的方式摆放,直尺边缘的交点$P在\angle AOB$的平分线上,则()

A.$d_1与d_2$一定相等
B.$d_1与d_2$一定不相等
C.$l_1与l_2$一定相等
D.$l_1与l_2$一定不相等

A [解析]过点 P 分别作 OA,OB 的垂线,垂足分别为 E,F(图略).
∵点 P 在∠AOB 的平分线上,
∴PE=PF.
由题意,知 d₁=PF,d₂=PE,
∴d₁=d₂.
由于 l₁ 与 l₂ 的长度未知,故二者不一定相等.