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【练3】分别画出如图1、图2所示的钝角和平角的平分线(不写作法,只保留作图痕迹).
答案
练3 解:如图,射线OC即为钝角的平分线,射线OD即为平角的平分线.
1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 90^{\circ}$,以点$B$为圆心,适当长为半径画弧,分别交$BA$,$BC于点M$,$N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点$F$,作射线$BF交AC于点D$。若$AD = 1$,则点$D到BC$的距离为( )
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.2
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.2
答案
A [解析]如图,过点 D 作 DE⊥BC 于点 E.
∵BD 平分∠ABC,∠A=90°,AD=1,
∴AD=DE=1,即点 D 到 BC 的距离为 1.
2. 如图,在$\triangle ABC$中,$BO和CO分别平分\angle ABC和\angle ACB$,过点$O作DE // BC分别交AB$,$AC于点D$,$E$。若$BD + CE = 5$,则线段$DE$的长为(
A.5
B.6
C.7
D.8
5
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
A [解析]∵在△ABC 中,BO 和 CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB.
∵DE//BC,
∴∠DOB=∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB=∠ECO,
∴DB=DO,OE=CE.
∵DE=DO+OE,
∴DE=BD+CE=5.
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB.
∵DE//BC,
∴∠DOB=∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB=∠ECO,
∴DB=DO,OE=CE.
∵DE=DO+OE,
∴DE=BD+CE=5.
3. 如图,已知$AB // CD$,$O为\angle CAB的平分线和\angle ACD$的平分线的交点,$OE \perp AC$,且$OE = 3$,则两条平行线$AB$,$CD间的距离FH$的长为______
6
。答案
6 [解析]∵FH 的长为两条平行线 AB,CD 间的距离,
∴∠OFA=∠OHC=90°.
∵O 为∠CAB 的平分线和∠ACD 的平分线的交点,OE⊥AC,∴OE=OF=OH=3,∴FH=6.
∴∠OFA=∠OHC=90°.
∵O 为∠CAB 的平分线和∠ACD 的平分线的交点,OE⊥AC,∴OE=OF=OH=3,∴FH=6.
4. 如图,$BD是\triangle ABC$的角平分线,$DE \perp AB$,$DE = 2$,$AB = 6$,$\triangle ABC$的面积为14,则$BC = $______。
答案
8 [解析]如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F.
∵BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DE=2,
∴DF=DE=2.
∵S_{△CDB}=S_{△ABC}-S_{△ABD},
∴$\frac{1}{2}$BC·DF=S_{△ABC}-$\frac{1}{2}$AB·DE,
即$\frac{1}{2}$BC×2=14-$\frac{1}{2}$×6×2,
∴BC=8.
