登录
【变式1】设函数
, .$则$
的值为()
$A.\frac { 8 } { 9 }$
$B.\frac { 15 } { 16 }$
C.-15
D.18
, .$则$的值为()$A.\frac { 8 } { 9 }$
$B.\frac { 15 } { 16 }$
C.-15
D.18
答案
B ∵函数f(x)={1−x²,x≤1,
(x+2)(x−1),x＞1,
∴f(2)=(2+2)×(2−1)=4,
∴f($\frac{1}{f(2)}$)=f($\frac{1}{4}$)=1−($\frac{1}{4}$)²=$\frac{15}{16}$.
(x+2)(x−1),x＞1,
∴f(2)=(2+2)×(2−1)=4,
∴f($\frac{1}{f(2)}$)=f($\frac{1}{4}$)=1−($\frac{1}{4}$)²=$\frac{15}{16}$.
【典例2】已知函数f ( x ) = 
.$若$f ( a ) = 1,则a = ()
A.4 B.3 C.2 D.1
.$若$f ( a ) = 1,则a = ()A.4 B.3 C.2 D.1
答案
解题指导 由“f ( a ) = 1”,想到对a进行分类讨论,然后代入对应解析式即可表示出f ( a ),进而列方程求解.
解析 当a ＜ 1时,f ( a ) = 0,不符合题意,故舍去;当1 \leq a ＜ 2时,f ( a ) = a + 1 = 1,解得a = 0,不符合范围条件,故舍去;当a \geq 2时,f ( a ) = - a ^ { 2 } + 5 = 1,解得a = 2$或$a = - 2,由于a \geq 2,所以a = 2.综上所述,a = 2.
答案 C
解析 当a ＜ 1时,f ( a ) = 0,不符合题意,故舍去;当1 \leq a ＜ 2时,f ( a ) = a + 1 = 1,解得a = 0,不符合范围条件,故舍去;当a \geq 2时,f ( a ) = - a ^ { 2 } + 5 = 1,解得a = 2$或$a = - 2,由于a \geq 2,所以a = 2.综上所述,a = 2.
答案 C
【变式2】已知函数$$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x , x ＜ 0 , } \\ { 2 x , x \geq 0 , } \end{array} \right.$若$f ( m ) = - f ( 1 )$$,则$$m = $$()
A.-2
B.-1
C.-4
D.2
A.-2
B.-1
C.-4
D.2
答案
A 由题意可得,f(1)=2.
当m≥0时,f(m)=2m=−f(1)=−2,解得m=−1,不符合题意，故舍去;
当m＜0时,f(m)=m=−f(1)=−2,解得m=−2,符合题意.
综上,m=−2.
当m≥0时,f(m)=2m=−f(1)=−2,解得m=−1,不符合题意，故舍去;
当m＜0时,f(m)=m=−f(1)=−2,解得m=−2,符合题意.
综上,m=−2.
定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值.设$h ( x ) = \max \left\{ x ^ { 2 } + 1 , \frac { 1 } { 4 } x , 7 - x \right\}$,则h ( x )的函数值可以取()
A.3 B.4 C.5 D.6
A.3 B.4 C.5 D.6
答案
解题指导 第1步:在同一直角坐标系内分别作出函数y = x ^ { 2 } + 1,y = \frac { 1 } { 4 } x,y = 7 - x的图象.
第2步:由图得出y = h ( x )的图象,并根据图象得到y = h ( x )的值域即可求解.
解析 在同一直角坐标系内分别作出y = x ^ { 2 } + 1,y = \frac { 1 } { 4 } x,y = 7 - x的图象,得到y = h ( x )的图象(图中实线部分)如图所示.
由图可知,y = h ( x )$的值域为$[ 5 , + \infty ),结合选项可知CD正确,AB错误.
答案 CD
【变式3】求函数$$y = 2 | x - 1 | - 3 | x |$$的最大值.
答案
解:①当x≤0时,y=2−2x+3x=x+2;
②当0＜x≤1时,y=2−2x−3x=−5x+2;
③当x＞1时,y=2x−2−3x=−x−2.
综上,函数y=2|x−1|−3|x|={x+2,x≤0,
−5x+2,0＜x≤1,
−x−2,x＞1,
作出函数图象如图所示,
由图可知，当x=0时，函数取得最大值2.
