22. (6分)某市准备为青少年举办一次航天知识讲座,小明和妹妹都是航天迷,要求爸爸去买门票,但爸爸只买回一张门票,那么谁去就成了问题. 小明想到一个办法:他拿出一个装有除颜色外均相同的$ 4 a 个黑棋子与 3 a $个白棋子的袋子,让爸爸从中摸出一个,如果摸出的是黑棋子,则小明去听讲座,如果摸出的是白棋子,则妹妹去听讲座.
(1) 爸爸说这个办法不公平,请你用概率的知识解释原因.
(2) 若爸爸从袋子中取出$ 4 $个黑棋子后,再用小明提出的办法来确定谁去听讲座,此时摸棋子的结果是对小明和妹妹同样公平,求$ a $的值.

(1)$\because P$(小明去听讲座)$=\frac {4a}{7a}=\frac {4}{7}$，$P$(妹妹去听讲座)$=\frac {3a}{7a}=\frac {3}{7}$，$\therefore P$(小明去听讲座)$≠P$(妹妹去听讲座)，$\therefore$这个办法不公平
(2) 当摸棋子的结果对小明和妹妹同样公平时,则黑棋子和白棋子一样多,所以$4a-4=3a$，所以$a=4$

23. (12分)同学们都知道,平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
已知$ A B // C D $. 如图1,点$ P 在 A B $,$ C D $外部时,由$ A B // C D $,有$ \angle B = \angle B O D $,又因为$ \angle B O D 是 \triangle P O D $的外角,故$ \angle B O D = \angle B P D + \angle D $,得$ \angle B P D = \angle B - \angle D $.
(1) 已知$ A B // C D $. 如图2,点$ P 在 A B $,$ C D $内部时,上述结论是否成立? 若不成立,则$ \angle B P D $,$ \angle B $,$ \angle D $之间有何数量关系? 请你说明你的结论.
(2) 在图2中,将直线$ A B 绕点 B 逆时针方向旋转一定角度交直线 C D 于点 Q $,如图3,则$ \angle B P D $,$ \angle B $,$ \angle D $,$ \angle B Q D $之间有何数量关系? 说明理由.
(3) 利用第(2)小题的结论求图4中$ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F $的度数.

(1) 不成立，$\angle BPD=\angle B+\angle D$，理由:延长 BP 交 CD 于 E，如图 2，$\because AB// CD$，$\therefore \angle B=\angle BED$，$\because \angle BPD+\angle EPD=\angle BED+\angle D+\angle EPD=180^{\circ }$，$\therefore \angle BPD=\angle B+\angle D$
(2) 如图 3，$\angle BPD=\angle B+\angle BQD+\angle D$，理由:延长 BP 交 CD 于 F，$\because \angle BFD+\angle BFQ=\angle B+\angle BQD+\angle BFQ=180^{\circ }$，$\angle BPD+\angle FPD=\angle BFD+\angle D+\angle FPD=180^{\circ }$，$\therefore \angle BFD=\angle B+\angle BQD$，$\angle BPD=\angle BFD+\angle D$，$\therefore \angle BPD=\angle B+\angle BQD+\angle D$
(3) 如图 4，$\because \angle CMN+\angle AME=\angle A+\angle E+\angle AME=180^{\circ }$，$\angle DNB+\angle BNF=\angle B+\angle F+\angle BNF=180^{\circ }$，$\therefore \angle CMN=\angle A+\angle E$，$\angle DNB=\angle B+\angle F$，又$\because \angle C+\angle D+\angle CMN+\angle DNM=360^{\circ }$，$\therefore \angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F=360^{\circ }$