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24. (8分)“五一”假期,小明骑自行车去郊游,早上$ 8 : 0 0 $从家出发,$ 9 : 3 0 $到达目的地. 在郊游地点玩了$ 3 $个半小时后按原路以原速返回,同时爸爸骑电动车从家出发沿同一路线迎接他,爸爸骑电动车的速度是$ 2 0 \mathrm { ~km } / \mathrm { h } $,小明骑自行车的速度是$ 1 0 \mathrm { ~km } / \mathrm { h } $. 设小明离开家的时间为$ x \mathrm { ~h } $,下图是他们和家的距离$ y ( \mathrm { km } ) 与 x ( \mathrm { h } ) $之间关系图像.
(1) 目的地与家相距______$ \mathrm { ~km } $.
(2) 设爸爸与家的距离为$ y _ { 1 } ( \mathrm { km } ) $,则爸爸从出发到与小明相遇的过程中,$ y _ { 1 } 与 x $之间的关系式为______.
(3) 设小明与家的距离为$ y _ { 2 } ( \mathrm { km } ) $,则小明从返程到与爸爸相遇的过程中,$ y _ { 2 } 与 x $之间的关系式为______.
(4) 说明点$ C $的实际意义,并求出此时小明与家的距离.
(1) 目的地与家相距______$ \mathrm { ~km } $.
(2) 设爸爸与家的距离为$ y _ { 1 } ( \mathrm { km } ) $,则爸爸从出发到与小明相遇的过程中,$ y _ { 1 } 与 x $之间的关系式为______.
(3) 设小明与家的距离为$ y _ { 2 } ( \mathrm { km } ) $,则小明从返程到与爸爸相遇的过程中,$ y _ { 2 } 与 x $之间的关系式为______.
(4) 说明点$ C $的实际意义,并求出此时小明与家的距离.
答案
(1) 15 (2)$y_{1}=20x-100$ (3)$y_{2}=-10x+65$ 解析:(1)$10×1.5=15(km)$ (2)$y_{1}=20(x-5)$，即$y_{1}=20x-100$ (3)$y_{2}=15-10(x-5)$，即$y_{2}=-10x+65$ (4) 点 C 表示小明与爸爸相遇，当小明与爸爸相遇时，$y_{1}=y_{2}$，即$20x-100=-10x+65$，解得，$x=5\frac {1}{2}$，当$x=5\frac {1}{2}$时，$y_{2}=-10×5\frac {1}{2}+65=10(km)$，所以此时小明离家还有 10 km
25. (13分)在$ \triangle A B C $中,$ A B = A C = 2 $,$ \angle B = \angle C = 4 5 ^ { \circ } $,点$ D $,$ E 为线段 B C $,$ A C $上的动点,以$ A D 为一边作 \angle A D E = 4 5 ^ { \circ } $.
(1) 当$ A B // D E $时,试说明$ \triangle A D C $是等腰直角三角形.
(2) 当$ \angle B D A = 1 2 0 ^ { \circ } $时,$ \angle E D C = $______$ ^ { \circ } $;点$ D 从点 B 向点 C $运动时,$ \angle B D A $逐渐变______(填“大”或“小”).
(3) 找出与$ \angle B A D $相等的角,并说明理由.
(4) 设$ C D = x $,当$ x $为何值时,$ \triangle D C E 与 \triangle A B D $全等,并说明理由.
(1) 当$ A B // D E $时,试说明$ \triangle A D C $是等腰直角三角形.
(2) 当$ \angle B D A = 1 2 0 ^ { \circ } $时,$ \angle E D C = $______$ ^ { \circ } $;点$ D 从点 B 向点 C $运动时,$ \angle B D A $逐渐变______(填“大”或“小”).
(3) 找出与$ \angle B A D $相等的角,并说明理由.
(4) 设$ C D = x $,当$ x $为何值时,$ \triangle D C E 与 \triangle A B D $全等,并说明理由.
答案
(1) 当$AB// DE$时，$\angle EDC=\angle B=45^{\circ }$，又$\because \angle ADE=45^{\circ }$，$\therefore \angle ADC=90^{\circ }$，$\because \angle C=45^{\circ }$，$\therefore \angle DAC=45^{\circ }$，$\therefore AD=CD$，$\therefore \triangle ADC$是等腰直角三角形
(2) 15 小 解析:$\because \angle BDA+\angle ADE+\angle EDC=180^{\circ }$，且$\angle BDA=120^{\circ }$，$\angle ADE=45^{\circ }$，$\therefore \angle EDC=15^{\circ }$；当点 D 从点 B 向点 C 运动时，$\angle BDA$逐渐变小
(3)$\angle BAD=\angle EDC$，理由如下:$\because \angle B=\angle C=45^{\circ }$，$\angle BAD+\angle B+\angle ADB=180^{\circ }$，$\therefore \angle BAD+\angle ADB=180^{\circ }-\angle B=135^{\circ }$，又$\because \angle EDC+\angle ADE+\angle ADB=180^{\circ }$，$\angle ADE=45^{\circ }$，$\therefore \angle EDC+\angle ADB=180^{\circ }-\angle ADE=135^{\circ }$，即$\angle BAD+\angle ADB=\angle EDC+\angle ADB$，$\therefore \angle BAD=\angle EDC$
(4)$\because \angle BAD=\angle EDC$，$\angle B=\angle C$，$\therefore$当$DC=AB$时，$\triangle DCE\cong \triangle ABD$，即当$x=2$时，$\triangle ABD\cong \triangle DCE$
(2) 15 小 解析:$\because \angle BDA+\angle ADE+\angle EDC=180^{\circ }$，且$\angle BDA=120^{\circ }$，$\angle ADE=45^{\circ }$，$\therefore \angle EDC=15^{\circ }$；当点 D 从点 B 向点 C 运动时，$\angle BDA$逐渐变小
(3)$\angle BAD=\angle EDC$，理由如下:$\because \angle B=\angle C=45^{\circ }$，$\angle BAD+\angle B+\angle ADB=180^{\circ }$，$\therefore \angle BAD+\angle ADB=180^{\circ }-\angle B=135^{\circ }$，又$\because \angle EDC+\angle ADE+\angle ADB=180^{\circ }$，$\angle ADE=45^{\circ }$，$\therefore \angle EDC+\angle ADB=180^{\circ }-\angle ADE=135^{\circ }$，即$\angle BAD+\angle ADB=\angle EDC+\angle ADB$，$\therefore \angle BAD=\angle EDC$
(4)$\because \angle BAD=\angle EDC$，$\angle B=\angle C$，$\therefore$当$DC=AB$时，$\triangle DCE\cong \triangle ABD$，即当$x=2$时，$\triangle ABD\cong \triangle DCE$
