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10. [2026合肥模拟] 已知点P的坐标是$(a-b,b)$，若$a+b＜0,ab＜0,a＜b$，则点P在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
10.B
解析
【分析】
要判断点P所在的象限，首先需要明确点P横、纵坐标的正负性。解题时先根据已知的$ab＜0$、$a＜b$、$a+b＜0$三个条件，推导得出a、b的正负性和绝对值大小关系，再分别判断点P的横坐标$a-b$、纵坐标$b$的符号，最后对照各象限的坐标特征即可得出结果。
【解析】
1. 由$ab＜0$可知，a与b异号，即两数一正一负；
2. 结合$a＜b$，异号两数中负数小于正数，可得$a＜0$，$b＞0$；
3. 由$a+b＜0$可知，负数a的绝对值大于正数b的绝对值，即$|a|＞|b|$；
4. 判断点P的横坐标符号：$a-b$为负数减正数，结果仍为负数，即$a-b＜0$；
5. 点P的纵坐标为b，已得$b＞0$；
6. 根据象限坐标特征：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
有理数符号与大小判断，象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了有理数的性质和平面直角坐标系的相关知识，解题的关键是先推导得到a、b的正负性，再判断点横纵坐标的符号。
【难度系数】
0.7
要判断点P所在的象限，首先需要明确点P横、纵坐标的正负性。解题时先根据已知的$ab＜0$、$a＜b$、$a+b＜0$三个条件，推导得出a、b的正负性和绝对值大小关系，再分别判断点P的横坐标$a-b$、纵坐标$b$的符号，最后对照各象限的坐标特征即可得出结果。
【解析】
1. 由$ab＜0$可知，a与b异号，即两数一正一负；
2. 结合$a＜b$，异号两数中负数小于正数，可得$a＜0$，$b＞0$；
3. 由$a+b＜0$可知，负数a的绝对值大于正数b的绝对值，即$|a|＞|b|$；
4. 判断点P的横坐标符号：$a-b$为负数减正数，结果仍为负数，即$a-b＜0$；
5. 点P的纵坐标为b，已得$b＞0$；
6. 根据象限坐标特征：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
有理数符号与大小判断，象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了有理数的性质和平面直角坐标系的相关知识，解题的关键是先推导得到a、b的正负性，再判断点横纵坐标的符号。
【难度系数】
0.7
11. [蚌埠二中自主招生] 已知点$P(x,y)$在第二象限，且$y≤ 2x+6$，$x,y$均为整数，则满足题意的点$P$有（
A.3个
B.6个
C.10个
D.无数个
B
）A.3个
B.6个
C.10个
D.无数个
答案
11.B 【点拨】因为点 $P(x,y)$ 在第二象限,所以 $x＜0$,$y＞0$. 又因为 $y≤ 2x+6$,所以 $2x+6＞0$,所以 $x＞-3$,所以$-3＜x＜0$. 又因为 $x$ 为整数,所以 $x=-1$ 或 $x=-2$. 当 $x=-1$ 时,$0＜y≤4$,即 $y=1,2,3$ 或 $4$; 当 $x=-2$ 时,$0＜y≤2$,即 $y=1$ 或 $2$. 综上所述,点 $P$ 的坐标为$(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(-2,1)$或$(-2,2)$,共 6 个. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先根据第二象限内点的坐标特征，明确x＜0、y＞0的符号要求，再结合已知不等式y≤2x+6推导x的取值范围，由于x为整数，可先确定x的所有可能取值，再将每个x的取值代入不等式，求出对应y的正整数解，最后统计所有符合条件的点的个数即可。
【解析】
∵点$P(x,y)$在第二象限，
∴$x＜0$，$y＞0$，
又
∵$y≤2x+6$，
∴$2x+6＞0$，解得$x＞-3$，
综上可得$-3＜x＜0$，
∵$x$为整数，
∴$x$的取值为$-1$、$-2$。
①当$x=-1$时，代入$y≤2x+6$得$y≤4$，结合$y＞0$且$y$为整数，得$y=1,2,3,4$，对应4个点；
②当$x=-2$时，代入$y≤2x+6$得$y≤2$，结合$y＞0$且$y$为整数，得$y=1,2$，对应2个点；
∴满足条件的点$P$共有$4+2=6$个。
【答案】B
【知识点】
第二象限点的坐标特征；一元一次不等式的整数解
【点评】
本题结合平面直角坐标系点的坐标特征与不等式整数解考查，解题关键是先根据象限性质限定x的取值范围，再分类讨论求解对应的y值，解题时需注意不要遗漏x、y均为整数的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据第二象限内点的坐标特征，明确x＜0、y＞0的符号要求，再结合已知不等式y≤2x+6推导x的取值范围，由于x为整数，可先确定x的所有可能取值，再将每个x的取值代入不等式，求出对应y的正整数解，最后统计所有符合条件的点的个数即可。
【解析】
∵点$P(x,y)$在第二象限，
∴$x＜0$，$y＞0$，
又
∵$y≤2x+6$，
∴$2x+6＞0$，解得$x＞-3$，
综上可得$-3＜x＜0$，
∵$x$为整数，
∴$x$的取值为$-1$、$-2$。
①当$x=-1$时，代入$y≤2x+6$得$y≤4$，结合$y＞0$且$y$为整数，得$y=1,2,3,4$，对应4个点；
②当$x=-2$时，代入$y≤2x+6$得$y≤2$，结合$y＞0$且$y$为整数，得$y=1,2$，对应2个点；
∴满足条件的点$P$共有$4+2=6$个。
【答案】B
【知识点】
第二象限点的坐标特征；一元一次不等式的整数解
【点评】
本题结合平面直角坐标系点的坐标特征与不等式整数解考查，解题关键是先根据象限性质限定x的取值范围，再分类讨论求解对应的y值，解题时需注意不要遗漏x、y均为整数的限制条件。
【难度系数】
0.7
12. 如图,已知直线 $ l_1 ⊥ l_2 $,且在某平面直角坐标系中,$ x $ 轴 $ // l_1 $,$ y $ 轴 $ // l_2 $,若点 $ A $ 的坐标为$(-1,2)$,点 $ B $ 的坐标为$(2,-1)$,则点 $ C $ 在第
三
象限.答案
12.三 【点拨】因为点 A 的坐标为$(-1,2)$,点 B 的坐标为$(2,-1)$,所以点 A 位于第二象限,点 B 位于第四象限,依题意可建立如图所示的平面直角坐标系,所以点 C 位于第三象限.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用已知点的坐标特征确定平面直角坐标系的位置。首先回忆各象限点的坐标符号规律：第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负。先根据点A、B的坐标判断二者所在象限，再结合x轴//l₁、y轴//l₂的条件确定x轴、y轴和原点的位置，最后观察点C的横、纵坐标符号，即可判断其所在象限。
【解析】
1. 判断已知点的象限：
点A坐标为$(-1,2)$，横坐标$-1＜0$，纵坐标$2＞0$，因此点A位于第二象限；
点B坐标为$(2,-1)$，横坐标$2＞0$，纵坐标$-1＜0$，因此点B位于第四象限。
2. 建立平面直角坐标系：
结合题中$x\mathrm{轴}//l_1$、$y\mathrm{轴}//l_2$，且$l_1 ⊥ l_2$的条件，可建立符合要求的平面直角坐标系。
3. 判断点C的象限：
观察坐标系中点C的位置，可知点C的横坐标小于0，纵坐标也小于0，符合第三象限点的坐标特征，因此点C在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
象限的坐标特征、点的坐标判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平面直角坐标系内点的坐标特征的掌握，解题关键是根据已知点的坐标定位坐标轴位置，熟练掌握各象限点的坐标符号规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用已知点的坐标特征确定平面直角坐标系的位置。首先回忆各象限点的坐标符号规律：第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负。先根据点A、B的坐标判断二者所在象限，再结合x轴//l₁、y轴//l₂的条件确定x轴、y轴和原点的位置，最后观察点C的横、纵坐标符号，即可判断其所在象限。
【解析】
1. 判断已知点的象限：
点A坐标为$(-1,2)$，横坐标$-1＜0$，纵坐标$2＞0$，因此点A位于第二象限；
点B坐标为$(2,-1)$，横坐标$2＞0$，纵坐标$-1＜0$，因此点B位于第四象限。
2. 建立平面直角坐标系：
结合题中$x\mathrm{轴}//l_1$、$y\mathrm{轴}//l_2$，且$l_1 ⊥ l_2$的条件，可建立符合要求的平面直角坐标系。
3. 判断点C的象限：
观察坐标系中点C的位置，可知点C的横坐标小于0，纵坐标也小于0，符合第三象限点的坐标特征，因此点C在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
象限的坐标特征、点的坐标判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平面直角坐标系内点的坐标特征的掌握，解题关键是根据已知点的坐标定位坐标轴位置，熟练掌握各象限点的坐标符号规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13. 如图，已知$A_1(1,0),A_2(1,1),A_3(-1,1),A_4(-1,-1),A_5(2,-1),\dots$，则点$A_{2027}$在第
二
象限。答案
13.二
解析
【分析】
首先观察已知点的脚标和对应所在象限的规律，可发现每4个点为一个周期，分别对应第四、第一、第二、第三象限。我们只需要计算2027除以4的余数，根据余数匹配对应的象限即可得到答案。
【解析】
观察给出的点坐标规律：
当脚标n除以4余1时，点在第四象限；
当脚标n除以4余2时，点在第一象限；
当脚标n除以4余3时，点在第二象限；
当脚标n是4的倍数（余0）时，点在第三象限。
计算2027除以4：$2027÷4=506······3$，即余数为3，对应第二象限。
【答案】
二
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征，规律探究
【点评】
本题属于坐标规律探究题，解题核心是总结出点的脚标与所在象限的周期性对应关系，再通过计算余数判断位置，是平面直角坐标系中常见的题型。
【难度系数】
0.7
首先观察已知点的脚标和对应所在象限的规律，可发现每4个点为一个周期，分别对应第四、第一、第二、第三象限。我们只需要计算2027除以4的余数，根据余数匹配对应的象限即可得到答案。
【解析】
观察给出的点坐标规律：
当脚标n除以4余1时，点在第四象限；
当脚标n除以4余2时，点在第一象限；
当脚标n除以4余3时，点在第二象限；
当脚标n是4的倍数（余0）时，点在第三象限。
计算2027除以4：$2027÷4=506······3$，即余数为3，对应第二象限。
【答案】
二
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征，规律探究
【点评】
本题属于坐标规律探究题，解题核心是总结出点的脚标与所在象限的周期性对应关系，再通过计算余数判断位置，是平面直角坐标系中常见的题型。
【难度系数】
0.7
14. 某校新校区分布图的一部分如图所示，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若A教学楼的坐标为$(1,2)$，B图书馆的坐标为$(-2,-1)$。
根据以上信息，解答下列问题：
(1)在图中找到平面直角坐标系的原点，并建立平面直角坐标系；
(2)若C体育馆的坐标为$(1,-3)$，D食堂的坐标为$(2,0)$，请在图中标出C体育馆和D食堂的位置；
(3)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂、教学楼得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积。
根据以上信息，解答下列问题：
(1)在图中找到平面直角坐标系的原点，并建立平面直角坐标系；
(2)若C体育馆的坐标为$(1,-3)$，D食堂的坐标为$(2,0)$，请在图中标出C体育馆和D食堂的位置；
(3)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂、教学楼得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积。
答案
14.【解】(1)如图.
(2)C体育馆、D食堂的位置如图所示.
(3)如图.
四边形 $ABCD$ 的面积$=4×5-\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×2=20-4.5-3-1.5-1=10$.
解析
【分析】
(1) 要建立平面直角坐标系，首先需确定原点位置：已知A教学楼坐标为$(1,2)$，说明原点在A点左侧1个单位长度、下方2个单位长度的位置，确定原点后，分别绘制水平向右的x轴、竖直向上的y轴即可。
(2) 标注点的位置：根据点的坐标的定义，横坐标对应x轴上的数值，纵坐标对应y轴上的数值，分别找到$C(1,-3)$、$D(2,0)$对应的位置标注即可。
(3) 求不规则四边形$ABCD$的面积适合用割补法：先构造一个恰好覆盖四边形的矩形，用矩形面积减去四边形周围4个直角三角形的面积，即可得到四边形的面积，该方法符合八年级的知识要求，避免了直接计算不规则图形参数的麻烦。
【解析】
(1) 由A点坐标$(1,2)$可知，原点$O$的位置在A点向左平移1个单位、向下平移2个单位处，过$O$作水平向右的$x$轴、竖直向上的$y$轴，建立平面直角坐标系，如图。
(2) 根据点的坐标特征：C点横坐标为1、纵坐标为-3，D点横坐标为2、纵坐标为0，在已建立的坐标系中找到对应位置标注，如图。
(3) 采用割补法计算面积：
首先构造覆盖四边形$ABCD$的矩形，矩形横向从$x=-2$到$x=2$，长度为4，纵向从$y=-3$到$y=2$，宽度为5，矩形面积$=4×5=20$。
四边形周边的4个直角三角形面积分别为：
① 左上角三角形：底3，高3，面积$=\frac{1}{2}×3×3=4.5$；
② 左下角三角形：底3，高2，面积$=\frac{1}{2}×2×3=3$；
③ 右下角三角形：底1，高3，面积$=\frac{1}{2}×1×3=1.5$；
④ 右上角三角形：底1，高2，面积$=\frac{1}{2}×1×2=1$。
因此四边形$ABCD$的面积$=$矩形面积 $-$ 4个三角形面积之和$=20-4.5-3-1.5-1=10$。
【答案】
(1)如图.
(2)C体育馆、D食堂的位置如图所示.
(3)四边形$ABCD$的面积为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题结合校园分布的实际场景，考查平面直角坐标系的基础应用和不规则图形面积的计算，前两问属于基础操作，第三问的割补法是平面直角坐标系中求面积的常用方法，需要熟练掌握坐标的含义和割补法的适用场景。
【难度系数】
0.7
(1) 要建立平面直角坐标系，首先需确定原点位置：已知A教学楼坐标为$(1,2)$，说明原点在A点左侧1个单位长度、下方2个单位长度的位置，确定原点后，分别绘制水平向右的x轴、竖直向上的y轴即可。
(2) 标注点的位置：根据点的坐标的定义，横坐标对应x轴上的数值，纵坐标对应y轴上的数值，分别找到$C(1,-3)$、$D(2,0)$对应的位置标注即可。
(3) 求不规则四边形$ABCD$的面积适合用割补法：先构造一个恰好覆盖四边形的矩形，用矩形面积减去四边形周围4个直角三角形的面积，即可得到四边形的面积，该方法符合八年级的知识要求，避免了直接计算不规则图形参数的麻烦。
【解析】
(1) 由A点坐标$(1,2)$可知，原点$O$的位置在A点向左平移1个单位、向下平移2个单位处，过$O$作水平向右的$x$轴、竖直向上的$y$轴，建立平面直角坐标系，如图
。(2) 根据点的坐标特征：C点横坐标为1、纵坐标为-3，D点横坐标为2、纵坐标为0，在已建立的坐标系中找到对应位置标注，如图
。(3) 采用割补法计算面积：
首先构造覆盖四边形$ABCD$的矩形，矩形横向从$x=-2$到$x=2$，长度为4，纵向从$y=-3$到$y=2$，宽度为5，矩形面积$=4×5=20$。
四边形周边的4个直角三角形面积分别为：
① 左上角三角形：底3，高3，面积$=\frac{1}{2}×3×3=4.5$；
② 左下角三角形：底3，高2，面积$=\frac{1}{2}×2×3=3$；
③ 右下角三角形：底1，高3，面积$=\frac{1}{2}×1×3=1.5$；
④ 右上角三角形：底1，高2，面积$=\frac{1}{2}×1×2=1$。
因此四边形$ABCD$的面积$=$矩形面积 $-$ 4个三角形面积之和$=20-4.5-3-1.5-1=10$。
【答案】
(1)如图.
(2)C体育馆、D食堂的位置如图所示.
(3)四边形$ABCD$的面积为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题结合校园分布的实际场景，考查平面直角坐标系的基础应用和不规则图形面积的计算，前两问属于基础操作，第三问的割补法是平面直角坐标系中求面积的常用方法，需要熟练掌握坐标的含义和割补法的适用场景。
【难度系数】
0.7
15. 新题型新定义题 在平面直角坐标系中，对于点$A(x,y)$，若点$B$的坐标为$(kx+y,x-ky)$，则称点$B$为点$A$的“$k$级牵挂点”.如点$(2,5)$的“2级牵挂点”为点$(2×2+5,2-2×5)$，即$(9,-8)$.
(1)已知点$P(-5,1)$的“$-3$级牵挂点”为点$P_1$，求点$P_1$的坐标，并写出点$P_1$到$x$轴的距离；
(2)已知点$Q$的“4级牵挂点”为点$Q_1(5,3)$，求点$Q$的坐标及所在象限；
(3)如果点$M(m,1+m)$的“2级牵挂点”$M_1$在$x$轴上，求点$M_1$的坐标.
(1)已知点$P(-5,1)$的“$-3$级牵挂点”为点$P_1$，求点$P_1$的坐标，并写出点$P_1$到$x$轴的距离；
(2)已知点$Q$的“4级牵挂点”为点$Q_1(5,3)$，求点$Q$的坐标及所在象限；
(3)如果点$M(m,1+m)$的“2级牵挂点”$M_1$在$x$轴上，求点$M_1$的坐标.
答案
15.【解】(1)因为点 $P(-5,1)$的“$-3$级牵挂点”为点 $P_1$,所以点 $P_1$ 的横坐标为 $-5×(-3)+1=16$,纵坐标为$-5-(-3)×1=-2$,所以点 $P_1(16,-2)$. 所以点 $P_1$ 到 $x$ 轴的距离为 2.
(2)设点 $Q$ 的坐标为$(p,q)$,
则根据题意可得 $\begin{cases}4p+q=5,\\p-4q=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=\frac{23}{17},\\q=-\frac{7}{17},\end{cases}$
所以点 $Q$ 的坐标为 $(\frac{23}{17},-\frac{7}{17})$,在第四象限.
(3)因为点 $M(m,1+m)$的“2级牵挂点”为点 $M_1$,所以点 $M_1$ 的横坐标为 $2m+1+m=3m+1$,纵坐标为$m-2(1+m)=-2-m$,所以点 $M_1(3m+1,-2-m)$.
因为点 $M_1$ 在 $x$ 轴上,所以 $-2-m=0$,所以 $m=-2$,所以 $3m+1=-5$,所以点 $M_1$ 的坐标为$(-5,0)$.
(2)设点 $Q$ 的坐标为$(p,q)$,
则根据题意可得 $\begin{cases}4p+q=5,\\p-4q=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=\frac{23}{17},\\q=-\frac{7}{17},\end{cases}$
所以点 $Q$ 的坐标为 $(\frac{23}{17},-\frac{7}{17})$,在第四象限.
(3)因为点 $M(m,1+m)$的“2级牵挂点”为点 $M_1$,所以点 $M_1$ 的横坐标为 $2m+1+m=3m+1$,纵坐标为$m-2(1+m)=-2-m$,所以点 $M_1(3m+1,-2-m)$.
因为点 $M_1$ 在 $x$ 轴上,所以 $-2-m=0$,所以 $m=-2$,所以 $3m+1=-5$,所以点 $M_1$ 的坐标为$(-5,0)$.
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“k级牵挂点”的坐标变换规则：若原点点坐标为$(x,y)$，则其$k$级牵挂点坐标为$(kx+y, x-ky)$，再结合各小问条件逐步求解：
(1) 已知原点点$P$的坐标和$k$值，直接代入变换公式即可求得$P_1$坐标，点到$x$轴的距离为该点纵坐标的绝对值；
(2) 已知牵挂点坐标逆推原点点坐标，可设原点点坐标为未知数，根据变换规则列二元一次方程组求解，再根据横纵坐标的正负判断所在象限；
(3) 先根据变换规则用含$m$的代数式表示出$M_1$的坐标，再结合$x$轴上点的纵坐标为0的性质列方程求出$m$的值，代入即可求得$M_1$的坐标。
【解析】
(1) 根据“$k$级牵挂点”的定义，点$P(-5,1)$的“$-3$级牵挂点”$P_1$的横坐标为$(-3)×(-5)+1=16$，纵坐标为$-5 - (-3)×1 = -2$，即$P_1(16,-2)$。
点到$x$轴的距离为纵坐标的绝对值，因此$P_1$到$x$轴的距离为$|-2|=2$。
(2) 设点$Q$的坐标为$(p,q)$，根据“4级牵挂点”为$Q_1(5,3)$，可列方程组：
$\begin{cases}4p + q = 5 \\ p - 4q = 3\end{cases}$
解方程组：给第一个方程乘4得$16p + 4q = 20$，与第二个方程相加得$17p=23$，解得$p=\frac{23}{17}$，代入第一个方程得$4×\frac{23}{17}+q=5$，解得$q=-\frac{7}{17}$。
因此点$Q$的坐标为$(\frac{23}{17}, -\frac{7}{17})$，横坐标为正、纵坐标为负，故在第四象限。
(3) 点$M(m,1+m)$的“2级牵挂点”$M_1$的横坐标为$2m + (1+m)=3m+1$，纵坐标为$m - 2(1+m)= -m -2$，即$M_1(3m+1, -m-2)$。
因为$M_1$在$x$轴上，$x$轴上点的纵坐标为0，因此$-m-2=0$，解得$m=-2$。
将$m=-2$代入横坐标表达式得$3×(-2)+1=-5$，因此$M_1$的坐标为$(-5,0)$。
【答案】
(1) 点$P_1$的坐标为$(16,-2)$，到$x$轴的距离为2；
(2) 点$Q$的坐标为$(\frac{23}{17}, -\frac{7}{17})$，在第四象限；
(3) 点$M_1$的坐标为$(-5,0)$
【知识点】
新定义运算、平面直角坐标系点的特征、二元一次方程组的应用
【点评】
本题以新定义为载体，结合平面直角坐标系的基础知识点命题，既考查对新规则的阅读理解和迁移应用能力，也考查了坐标轴上点的坐标性质、二元一次方程组求解等基础内容，解题时只需严格按照定义代入计算即可，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“k级牵挂点”的坐标变换规则：若原点点坐标为$(x,y)$，则其$k$级牵挂点坐标为$(kx+y, x-ky)$，再结合各小问条件逐步求解：
(1) 已知原点点$P$的坐标和$k$值，直接代入变换公式即可求得$P_1$坐标，点到$x$轴的距离为该点纵坐标的绝对值；
(2) 已知牵挂点坐标逆推原点点坐标，可设原点点坐标为未知数，根据变换规则列二元一次方程组求解，再根据横纵坐标的正负判断所在象限；
(3) 先根据变换规则用含$m$的代数式表示出$M_1$的坐标，再结合$x$轴上点的纵坐标为0的性质列方程求出$m$的值，代入即可求得$M_1$的坐标。
【解析】
(1) 根据“$k$级牵挂点”的定义，点$P(-5,1)$的“$-3$级牵挂点”$P_1$的横坐标为$(-3)×(-5)+1=16$，纵坐标为$-5 - (-3)×1 = -2$，即$P_1(16,-2)$。
点到$x$轴的距离为纵坐标的绝对值，因此$P_1$到$x$轴的距离为$|-2|=2$。
(2) 设点$Q$的坐标为$(p,q)$，根据“4级牵挂点”为$Q_1(5,3)$，可列方程组：
$\begin{cases}4p + q = 5 \\ p - 4q = 3\end{cases}$
解方程组：给第一个方程乘4得$16p + 4q = 20$，与第二个方程相加得$17p=23$，解得$p=\frac{23}{17}$，代入第一个方程得$4×\frac{23}{17}+q=5$，解得$q=-\frac{7}{17}$。
因此点$Q$的坐标为$(\frac{23}{17}, -\frac{7}{17})$，横坐标为正、纵坐标为负，故在第四象限。
(3) 点$M(m,1+m)$的“2级牵挂点”$M_1$的横坐标为$2m + (1+m)=3m+1$，纵坐标为$m - 2(1+m)= -m -2$，即$M_1(3m+1, -m-2)$。
因为$M_1$在$x$轴上，$x$轴上点的纵坐标为0，因此$-m-2=0$，解得$m=-2$。
将$m=-2$代入横坐标表达式得$3×(-2)+1=-5$，因此$M_1$的坐标为$(-5,0)$。
【答案】
(1) 点$P_1$的坐标为$(16,-2)$，到$x$轴的距离为2；
(2) 点$Q$的坐标为$(\frac{23}{17}, -\frac{7}{17})$，在第四象限；
(3) 点$M_1$的坐标为$(-5,0)$
【知识点】
新定义运算、平面直角坐标系点的特征、二元一次方程组的应用
【点评】
本题以新定义为载体，结合平面直角坐标系的基础知识点命题，既考查对新规则的阅读理解和迁移应用能力，也考查了坐标轴上点的坐标性质、二元一次方程组求解等基础内容，解题时只需严格按照定义代入计算即可，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
