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1[2025福建厦门期中]某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；每顶帐篷单价每降低10元，每天可多售出4顶. 已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为$(200 - x)(60 + \frac{x}{10} × 4) = 12160$，则下列表述正确的是（
A.每顶帐篷单价为$x$元
B.降价后平均每天可出售$(200 - x)$顶
C.每顶帐篷单价应降低$x$元
D.降价后每顶帐篷利润为$(60 + \frac{x}{10} × 4)$元
C
）A.每顶帐篷单价为$x$元
B.降价后平均每天可出售$(200 - x)$顶
C.每顶帐篷单价应降低$x$元
D.降价后每顶帐篷利润为$(60 + \frac{x}{10} × 4)$元
答案
∵每顶帐篷利润为200元时,平均每天可售出60顶,每顶帐篷单价每降低10元,每天可多售出4顶,
∴所列方程中200-x表示降价后每顶帐篷的利润,$60+\frac{x}{10}×4$表示降价后平均每天售出帐篷的数量,
∴x表示每顶帐篷单价降低的钱数. 故选C.
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记销售利润问题的基本等量关系：总盈利=单件商品利润×销售数量。首先对应给出的方程，拆分两个因式分别对应等量关系中的哪一部分，再结合题干已知的原利润、原销量条件，反推未知数x的实际含义，最后逐一核对选项即可得到正确答案。
【解析】
销售利润问题的核心等量关系为：$\mathrm{日均总盈利}=\mathrm{单顶帐篷利润}×\mathrm{日均销售数量}$。
结合题干条件：原单顶利润为200元，原日均销量为60顶，每顶单价每降10元，日均多售4顶。观察给出的方程$(200 - x)(60 + \frac{x}{10} × 4) = 12160$：
1. 因式$200-x$是在原单顶利润基础上减去$x$，代表降价后的单顶利润，由此可知$x$表示每顶帐篷单价降低的金额；
2. 因式$60 + \frac{x}{10} ×4$是在原日均销量基础上增加销量，代表降价后的日均销售数量。
逐一判断选项：
A. $x$表示每顶帐篷降低的金额，不是单价，该选项错误；
B. $(200-x)$是降价后单顶帐篷的利润，不是销售数量，该选项错误；
C. $x$表示每顶帐篷单价降低的钱数，该选项正确；
D. $60 + \frac{x}{10} ×4$是降价后日均销售帐篷的数量，不是单顶利润，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
销售利润问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，主要考查对实际问题中所列方程各部分含义的理解，解题时只要紧扣总利润的核心等量关系，就能快速对应方程中未知数和各因式的实际意义，排除错误选项。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是牢记销售利润问题的基本等量关系：总盈利=单件商品利润×销售数量。首先对应给出的方程，拆分两个因式分别对应等量关系中的哪一部分，再结合题干已知的原利润、原销量条件，反推未知数x的实际含义，最后逐一核对选项即可得到正确答案。
【解析】
销售利润问题的核心等量关系为：$\mathrm{日均总盈利}=\mathrm{单顶帐篷利润}×\mathrm{日均销售数量}$。
结合题干条件：原单顶利润为200元，原日均销量为60顶，每顶单价每降10元，日均多售4顶。观察给出的方程$(200 - x)(60 + \frac{x}{10} × 4) = 12160$：
1. 因式$200-x$是在原单顶利润基础上减去$x$，代表降价后的单顶利润，由此可知$x$表示每顶帐篷单价降低的金额；
2. 因式$60 + \frac{x}{10} ×4$是在原日均销量基础上增加销量，代表降价后的日均销售数量。
逐一判断选项：
A. $x$表示每顶帐篷降低的金额，不是单价，该选项错误；
B. $(200-x)$是降价后单顶帐篷的利润，不是销售数量，该选项错误；
C. $x$表示每顶帐篷单价降低的钱数，该选项正确；
D. $60 + \frac{x}{10} ×4$是降价后日均销售帐篷的数量，不是单顶利润，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
销售利润问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，主要考查对实际问题中所列方程各部分含义的理解，解题时只要紧扣总利润的核心等量关系，就能快速对应方程中未知数和各因式的实际意义，排除错误选项。
【难度系数】
0.8
2[2025江苏苏州调研]某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次(每天只生产一种档次的产品),第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润6元.每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.若要使一天的总利润为1120元,则该产品的质量档次为
6
.答案
设该产品的质量档次为x,则每件利润为$[6+2(x-1)]$元,一天的产量为$[95-5(x-1)]$件.由题意得$[6+2(x-1)][95-5(x-1)]=1120$,解得$x_1=6,x_2=12$(舍去),
∴该产品的质量档次为6,故答案为6.
∴该产品的质量档次为6,故答案为6.
解析
【分析】
这是典型的利润类一元二次方程应用题，解题核心依据为“总利润=单件利润×总产销量”。首先设产品的质量档次为x：第1档单件利润6元，每提高1档利润增加2元，x档相对第1档提高了(x-1)档，因此单件利润可表示为$6+2(x-1)$；第1档日产量95件，每提高1档产量减少5件，同理x档的日产量可表示为$95-5(x-1)$。结合总利润为1120元的条件列方程求解，最后注意档次共有10个，超出范围的解要舍去。
【解析】
解：设该产品的质量档次为x。
由题意得，x档产品每件利润为$[6+2(x-1)]$元，一天的产量为$[95-5(x-1)]$件。
根据总利润计算公式列方程：
$[6+2(x-1)][95-5(x-1)]=1120$
化简整理方程：
$(2x+4)(100-5x)=1120$，展开移项得$x^2-18x+72=0$，
因式分解得$(x-6)(x-12)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=12$。
∵产品质量档次共10个，即$1≤ x≤10$，
∴$x_2=12$不符合实际意义，舍去。
即该产品的质量档次为6。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用，利润问题计算，一元二次方程求解
【点评】
本题考查一元二次方程在实际生产利润问题中的应用，解题关键是结合档次差准确表示出单件利润和日产量，求解后要注意根据实际限制条件对根进行取舍，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的利润类一元二次方程应用题，解题核心依据为“总利润=单件利润×总产销量”。首先设产品的质量档次为x：第1档单件利润6元，每提高1档利润增加2元，x档相对第1档提高了(x-1)档，因此单件利润可表示为$6+2(x-1)$；第1档日产量95件，每提高1档产量减少5件，同理x档的日产量可表示为$95-5(x-1)$。结合总利润为1120元的条件列方程求解，最后注意档次共有10个，超出范围的解要舍去。
【解析】
解：设该产品的质量档次为x。
由题意得，x档产品每件利润为$[6+2(x-1)]$元，一天的产量为$[95-5(x-1)]$件。
根据总利润计算公式列方程：
$[6+2(x-1)][95-5(x-1)]=1120$
化简整理方程：
$(2x+4)(100-5x)=1120$，展开移项得$x^2-18x+72=0$，
因式分解得$(x-6)(x-12)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=12$。
∵产品质量档次共10个，即$1≤ x≤10$，
∴$x_2=12$不符合实际意义，舍去。
即该产品的质量档次为6。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用，利润问题计算，一元二次方程求解
【点评】
本题考查一元二次方程在实际生产利润问题中的应用，解题关键是结合档次差准确表示出单件利润和日产量，求解后要注意根据实际限制条件对根进行取舍，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
3[2026江苏泰州质检]某村今年收获12万千克的芋头,计划在A市和B市全部销售.在A市销售时,每千克芋头的利润为2元,在B市销售时,每千克芋头的利润$y$(元)与B市的销售量$x$(万千克)之间的关系满足$y=-0.2x+4.2$.若该村销售完所有芋头共获利28.8万元,求该村在B市销售芋头多少万千克.
答案
因为该村在B市销售芋头x万千克,所以在A市销售芋头$(12-x)$万千克. 根据题意得$x(-0.2x+4.2)+2(12-x)=28.8$,整理得$x^2-11x+24=0$,解得$x_1=3,x_2=8$.
答:该村在B市销售芋头3万千克或8万千克.
答:该村在B市销售芋头3万千克或8万千克.
解析
【分析】
解题时先抓住“总利润=A市销售总利润+B市销售总利润”这一核心等量关系：①先设B市销售量为x万千克，结合总销量可表示出A市的销售量为(12-x)万千克；②分别计算两市的销售总利润：B市总利润为“销售量×每千克利润”即x(-0.2x+4.2)万元，A市总利润为2(12-x)万元；③将两市利润相加等于总获利28.8万元列方程，求解后验证解符合实际销售的数量要求即可。
【解析】
解：设该村在B市销售芋头x万千克，则在A市销售芋头$(12-x)$万千克。
根据题意列方程：
$x(-0.2x+4.2)+2(12-x)=28.8$
整理得：
$x^2 - 11x + 24 = 0$
因式分解得$(x-3)(x-8)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=8$。
经检验，$x=3$和$x=8$均大于0且小于总销量12万千克，符合实际销售的要求。
【答案】
该村在B市销售芋头3万千克或8万千克。
【知识点】
销售利润计算、一元二次方程应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清不同销售渠道的利润计算方式，找准等量关系正确列方程，同时要注意验证方程的解是否符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住“总利润=A市销售总利润+B市销售总利润”这一核心等量关系：①先设B市销售量为x万千克，结合总销量可表示出A市的销售量为(12-x)万千克；②分别计算两市的销售总利润：B市总利润为“销售量×每千克利润”即x(-0.2x+4.2)万元，A市总利润为2(12-x)万元；③将两市利润相加等于总获利28.8万元列方程，求解后验证解符合实际销售的数量要求即可。
【解析】
解：设该村在B市销售芋头x万千克，则在A市销售芋头$(12-x)$万千克。
根据题意列方程：
$x(-0.2x+4.2)+2(12-x)=28.8$
整理得：
$x^2 - 11x + 24 = 0$
因式分解得$(x-3)(x-8)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=8$。
经检验，$x=3$和$x=8$均大于0且小于总销量12万千克，符合实际销售的要求。
【答案】
该村在B市销售芋头3万千克或8万千克。
【知识点】
销售利润计算、一元二次方程应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清不同销售渠道的利润计算方式，找准等量关系正确列方程，同时要注意验证方程的解是否符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.7
4 十一国庆期间，某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下：
某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有x人。若该公司观看此场演出超过30人，共支付1200元的购票费用，该公司观看此场演出的员工有
某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有x人。若该公司观看此场演出超过30人，共支付1200元的购票费用，该公司观看此场演出的员工有
40
人。答案
由题意得$x[50-2(x-30)]=1200$,整理得$x^2-55x+600=0$,解得$x_1=40,x_2=15$(不合题意,舍去). 当$x=40$时,每张票的单价为$50-2×(40-30)=30＞28$,故答案为40.
解析
【分析】
首先明确题目的前提是员工人数$x＞30$，属于超过30人的购票档位，先推导单人票价：30人以内票价为50元/人，每超过1人单价降低2元，因此$x$人的单价比50元少了$2(x-30)$元，即单价为$[50-2(x-30)]$元，同时要注意单价不得低于28元。总购票费=人数×单人票价，据此列一元二次方程，求解后需要验证两个条件：①人数大于30；②对应票价≥28元，舍去不符合实际的解即可得到结果。
【解析】
解：由题意得员工人数$x＞30$，此时每张票的单价为$50-2(x-30)$元，根据总购票费用为1200元列方程：
$x[50-2(x-30)]=1200$
整理得：
$x^2-55x+600=0$
解得$x_1=40$，$x_2=15$。
∵$x＞30$，
∴$x_2=15$不符合题意，舍去。
再验证票价：当$x=40$时，单人票价为$50-2×(40-30)=30$元，$30＞28$，符合收费标准要求。
【答案】
40
【知识点】
一元二次方程应用、分段计费、解的合理性检验
【点评】
本题是结合生活场景的方程应用题，解题关键是先根据人数范围确定对应的计费规则，列方程求解后务必要结合题目给出的限制条件（人数范围、最低票价要求）验证解是否符合实际，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.7
首先明确题目的前提是员工人数$x＞30$，属于超过30人的购票档位，先推导单人票价：30人以内票价为50元/人，每超过1人单价降低2元，因此$x$人的单价比50元少了$2(x-30)$元，即单价为$[50-2(x-30)]$元，同时要注意单价不得低于28元。总购票费=人数×单人票价，据此列一元二次方程，求解后需要验证两个条件：①人数大于30；②对应票价≥28元，舍去不符合实际的解即可得到结果。
【解析】
解：由题意得员工人数$x＞30$，此时每张票的单价为$50-2(x-30)$元，根据总购票费用为1200元列方程：
$x[50-2(x-30)]=1200$
整理得：
$x^2-55x+600=0$
解得$x_1=40$，$x_2=15$。
∵$x＞30$，
∴$x_2=15$不符合题意，舍去。
再验证票价：当$x=40$时，单人票价为$50-2×(40-30)=30$元，$30＞28$，符合收费标准要求。
【答案】
40
【知识点】
一元二次方程应用、分段计费、解的合理性检验
【点评】
本题是结合生活场景的方程应用题，解题关键是先根据人数范围确定对应的计费规则，列方程求解后务必要结合题目给出的限制条件（人数范围、最低票价要求）验证解是否符合实际，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.7
5[2025江苏宿迁调研]超市某商品进价为10元/件，每天的销量y(件)与售价x(元/件)的函数关系如图.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)要使每天获得1800元的利润，且能让消费者减少花费，求此时的售价.
(3)该超市能否保证每天获得2000元的利润？并说明理由.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)要使每天获得1800元的利润，且能让消费者减少花费，求此时的售价.
(3)该超市能否保证每天获得2000元的利润？并说明理由.
答案
(1)设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$.将$(20,180)$,$(30,80)$代入$y=kx+b$得$\begin{cases}20k+b=180,\\30k+b=80,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-10,\\b=380,\end{cases}$
∴y与x的函数关系式为$y=-10x+380$.
(2)根据题意得$(x-10)(-10x+380)=1800$,整理得$x^2-48x+560=0$,解得$x_1=20,x_2=28$.又
∵要让消费者减少花费,
∴$x=20$.
答:此时的售价为20元/件.
(3)该超市不能保证每天获得2000元的利润. 理由如下:假设该超市能保证每天获得2000元的利润,则$(x-10)(-10x+380)=2000$,整理得$x^2-48x+580=0$.
∵$(-48)^2-4×1×580=-16＜0$,
∴该方程没有实数根,
∴假设不成立,即该超市不能保证每天获得2000元的利润.
∴y与x的函数关系式为$y=-10x+380$.
(2)根据题意得$(x-10)(-10x+380)=1800$,整理得$x^2-48x+560=0$,解得$x_1=20,x_2=28$.又
∵要让消费者减少花费,
∴$x=20$.
答:此时的售价为20元/件.
(3)该超市不能保证每天获得2000元的利润. 理由如下:假设该超市能保证每天获得2000元的利润,则$(x-10)(-10x+380)=2000$,整理得$x^2-48x+580=0$.
∵$(-48)^2-4×1×580=-16＜0$,
∴该方程没有实数根,
∴假设不成立,即该超市不能保证每天获得2000元的利润.
解析
【分析】
(1) 由图像可知销量y是售价x的一次函数，已知函数过(20,180)、(30,80)两个点，可采用待定系数法，设一次函数解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标求解二元一次方程组，即可得到y与x的函数关系式。
(2) 销售总利润的等量关系为：总利润=单件利润×销售量，其中单件利润为$(x-10)$元，销售量为第一问求出的y，据此列一元二次方程求解，再结合“让消费者减少花费”的要求，选择数值更小的售价即可。
(3) 假设能获得2000元利润，按照上述利润等量关系列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根：若判别式≥0则存在符合条件的售价，若判别式＜0则不存在，即可得出结论。
【解析】
(1) 设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(20,180)$、$(30,80)$代入解析式得：
$\begin{cases}20k+b=180\\30k+b=80\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10\\b=380\end{cases}$
∴y与x的函数关系式为$y=-10x+380$。
(2) 根据总利润的等量关系列方程：
$(x-10)(-10x+380)=1800$
整理得$x^2-48x+560=0$，解得$x_1=20$，$x_2=28$。
∵要让消费者减少花费，应选择更低的售价，
∴$x=20$。
(3) 该超市不能保证每天获得2000元的利润，理由如下：
假设能获得2000元利润，列方程得：
$(x-10)(-10x+380)=2000$
整理得$x^2-48x+580=0$。
∵根的判别式$\Delta=(-48)^2-4×1×580=-16＜0$，
∴该方程没有实数根，假设不成立，即该超市不能保证每天获得2000元的利润。
【答案】
(1) $y=-10x+380$
(2) 20元/件
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，销售利润问题，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为实际应用类综合题，结合一次函数图像考查一元二次方程的相关应用，解题核心是找准销售利润的等量关系，同时要注意结合实际需求对方程的解进行取舍，第三问通过判别式判断方程解的存在性即可快速得出结论。
【难度系数】
0.6
(1) 由图像可知销量y是售价x的一次函数，已知函数过(20,180)、(30,80)两个点，可采用待定系数法，设一次函数解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标求解二元一次方程组，即可得到y与x的函数关系式。
(2) 销售总利润的等量关系为：总利润=单件利润×销售量，其中单件利润为$(x-10)$元，销售量为第一问求出的y，据此列一元二次方程求解，再结合“让消费者减少花费”的要求，选择数值更小的售价即可。
(3) 假设能获得2000元利润，按照上述利润等量关系列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根：若判别式≥0则存在符合条件的售价，若判别式＜0则不存在，即可得出结论。
【解析】
(1) 设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(20,180)$、$(30,80)$代入解析式得：
$\begin{cases}20k+b=180\\30k+b=80\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10\\b=380\end{cases}$
∴y与x的函数关系式为$y=-10x+380$。
(2) 根据总利润的等量关系列方程：
$(x-10)(-10x+380)=1800$
整理得$x^2-48x+560=0$，解得$x_1=20$，$x_2=28$。
∵要让消费者减少花费，应选择更低的售价，
∴$x=20$。
(3) 该超市不能保证每天获得2000元的利润，理由如下：
假设能获得2000元利润，列方程得：
$(x-10)(-10x+380)=2000$
整理得$x^2-48x+580=0$。
∵根的判别式$\Delta=(-48)^2-4×1×580=-16＜0$，
∴该方程没有实数根，假设不成立，即该超市不能保证每天获得2000元的利润。
【答案】
(1) $y=-10x+380$
(2) 20元/件
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，销售利润问题，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为实际应用类综合题，结合一次函数图像考查一元二次方程的相关应用，解题核心是找准销售利润的等量关系，同时要注意结合实际需求对方程的解进行取舍，第三问通过判别式判断方程解的存在性即可快速得出结论。
【难度系数】
0.6
