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1[中]如图是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律继续摆下去,第
12
个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍.答案
由所给图形可知,第1个“小屋子”中图形“○”的个数为1,图形“●”的个数为$4=1×2+2$;第2个“小屋子”中图形“○”的个数为$3=1+2$,图形“●”的个数为$6=2×2+2$;第3个“小屋子”中图形“○”的个数为$6=1+2+3$,图形“●”的个数为$8=3×2+2$;第4个“小屋子”中图形“○”的个数为$10=1+2+3+4$,图形“●”的个数为$10=4×2+2$;…,
∴第n个“小屋子”中图形“○”的个数为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$,图形“●”的个数为$2n+2$. 由题得$\frac{n(n+1)}{2}=3(2n+2)$,解得$n_1=-1,n_2=12$. 又
∵n为正整数,
∴$n=12$,即第12个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍. 故答案为12.
∴第n个“小屋子”中图形“○”的个数为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$,图形“●”的个数为$2n+2$. 由题得$\frac{n(n+1)}{2}=3(2n+2)$,解得$n_1=-1,n_2=12$. 又
∵n为正整数,
∴$n=12$,即第12个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍. 故答案为12.
解析
【分析】
解题时首先要分别归纳“○”和“●”的数量随序号n变化的规律：先观察每个“小屋子”里“○”的数量，发现第n个的数量是前n个正整数的和，可用等差数列求和公式表示；再观察“●”的数量，发现是公差为2的等差数列，可写出对应的一次式；再根据“○的个数是●的3倍”这一等量关系列方程，求解后结合n为正整数的要求取舍结果即可。
【解析】
观察图形可得：
第1个“小屋子”中，“○”的个数为1，“●”的个数为$4=2×1+2$；
第2个“小屋子”中，“○”的个数为$1+2=3$，“●”的个数为$6=2×2+2$；
第3个“小屋子”中，“○”的个数为$1+2+3=6$，“●”的个数为$8=2×3+2$；
……
以此类推，第n个“小屋子”中：
“○”的个数为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，
“●”的个数为$2n+2$。
根据题意“○个数是●个数的3倍”，列方程得：
$\frac{n(n+1)}{2}=3(2n+2)$
整理得：$n^2 -11n -12=0$
因式分解得：$(n-12)(n+1)=0$
解得$n_1=12$，$n_2=-1$。
因为n为正整数，所以舍去$n=-1$，即$n=12$。
【答案】
12
【知识点】
图形规律探究；一元二次方程应用；代数式列写
【点评】
本题需要先通过观察图形归纳出两类图形的数量规律，再结合等量关系列方程求解，解题时要注意方程的解需符合正整数的实际要求，既考查归纳推理能力，也考查方程的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先要分别归纳“○”和“●”的数量随序号n变化的规律：先观察每个“小屋子”里“○”的数量，发现第n个的数量是前n个正整数的和，可用等差数列求和公式表示；再观察“●”的数量，发现是公差为2的等差数列，可写出对应的一次式；再根据“○的个数是●的3倍”这一等量关系列方程，求解后结合n为正整数的要求取舍结果即可。
【解析】
观察图形可得：
第1个“小屋子”中，“○”的个数为1，“●”的个数为$4=2×1+2$；
第2个“小屋子”中，“○”的个数为$1+2=3$，“●”的个数为$6=2×2+2$；
第3个“小屋子”中，“○”的个数为$1+2+3=6$，“●”的个数为$8=2×3+2$；
……
以此类推，第n个“小屋子”中：
“○”的个数为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，
“●”的个数为$2n+2$。
根据题意“○个数是●个数的3倍”，列方程得：
$\frac{n(n+1)}{2}=3(2n+2)$
整理得：$n^2 -11n -12=0$
因式分解得：$(n-12)(n+1)=0$
解得$n_1=12$，$n_2=-1$。
因为n为正整数，所以舍去$n=-1$，即$n=12$。
【答案】
12
【知识点】
图形规律探究；一元二次方程应用；代数式列写
【点评】
本题需要先通过观察图形归纳出两类图形的数量规律，再结合等量关系列方程求解，解题时要注意方程的解需符合正整数的实际要求，既考查归纳推理能力，也考查方程的应用能力。
【难度系数】
0.6
2[2025上海虹口区期末,中]某商店将甲、乙两种糖果混合销售,已知甲种糖果单价为20元/千克,乙种糖果单价为18元/千克,现将12千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合销售,售出5千克后,又在混合糖果中加入3千克甲种糖果,再出售时,混合糖果的单价为19元/千克.问这箱甲种糖果有多少千克?(列一元二次方程解答)
答案
设这箱甲种糖果有x千克. 由题意可得$20(x+3)+18×12=\frac{20x+12×18}{x+12}×5+(x+12+3-5)×19$,整理得$x^2-2x-48=0$,解得$x_1=8,x_2=-6$(舍去),经检验,$x=8$是原方程的解.
答:这箱甲种糖果有8千克.
答:这箱甲种糖果有8千克.
解析
【分析】
这是一道混合销售类应用题，解题核心是抓住“所有投入糖果的总价值=两次售出糖果的总价值”这一等量关系。首先设这箱甲种糖果有x千克，第一步先计算初始混合糖果的总价值（甲糖果总价值+乙糖果总价值）和总重量，得到初始混合单价；第二步计算售出5千克的收入，再明确加入3千克甲糖果后剩余混合糖果的总重量，结合最终售价算出第二次售出的总收入；最后根据总价值相等列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，检验后得到最终答案。
【解析】
解：设这箱甲种糖果有x千克。
初始混合糖果总价值为$20x+18×12$，总重量为$(x+12)$千克，因此初始混合单价为$\frac{20x+18×12}{x+12}$元/千克。
售出5千克后剩余混合糖果重量为$(x+12-5)$千克，加入3千克甲糖果后，最终混合糖果总重量为$(x+12-5+3)=(x+10)$千克，最终售价为19元/千克。
根据总价值相等列方程：
$20(x+3)+18×12=\frac{20x+12×18}{x+12}×5+(x+10)×19$
方程两边同乘$(x+12)$去分母，整理得：
$x^2-2x-48=0$
因式分解得$(x-8)(x+6)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-6$。
∵糖果重量不能为负数，
∴舍去$x_2=-6$。
经检验，$x=8$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
8千克
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售问题等量关系
3. 方程解的检验
【点评】
本题属于中等难度的实际应用类题目，解题的关键是理清混合前后糖果的总价值、重量、单价之间的数量关系，求解后要注意结合实际场景排除不符合要求的根，能够有效考查学生梳理复杂数量关系、应用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道混合销售类应用题，解题核心是抓住“所有投入糖果的总价值=两次售出糖果的总价值”这一等量关系。首先设这箱甲种糖果有x千克，第一步先计算初始混合糖果的总价值（甲糖果总价值+乙糖果总价值）和总重量，得到初始混合单价；第二步计算售出5千克的收入，再明确加入3千克甲糖果后剩余混合糖果的总重量，结合最终售价算出第二次售出的总收入；最后根据总价值相等列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，检验后得到最终答案。
【解析】
解：设这箱甲种糖果有x千克。
初始混合糖果总价值为$20x+18×12$，总重量为$(x+12)$千克，因此初始混合单价为$\frac{20x+18×12}{x+12}$元/千克。
售出5千克后剩余混合糖果重量为$(x+12-5)$千克，加入3千克甲糖果后，最终混合糖果总重量为$(x+12-5+3)=(x+10)$千克，最终售价为19元/千克。
根据总价值相等列方程：
$20(x+3)+18×12=\frac{20x+12×18}{x+12}×5+(x+10)×19$
方程两边同乘$(x+12)$去分母，整理得：
$x^2-2x-48=0$
因式分解得$(x-8)(x+6)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-6$。
∵糖果重量不能为负数，
∴舍去$x_2=-6$。
经检验，$x=8$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
8千克
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售问题等量关系
3. 方程解的检验
【点评】
本题属于中等难度的实际应用类题目，解题的关键是理清混合前后糖果的总价值、重量、单价之间的数量关系，求解后要注意结合实际场景排除不符合要求的根，能够有效考查学生梳理复杂数量关系、应用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
3[中]某汽车租赁公司共有汽车50辆,市场调查表明,当租金为每辆每日200元时可全部租出,当租金每提高10元,每日租出去的车就减少2辆.
(1)当租金提高多少元时,公司的每日收益可达到10 120元?
(2)公司领导希望日收益达到10 160元,你认为能否实现?若能,求出此时的租金;若不能,请说明理由.
(3)汽车日常维护需要一定费用,已知外租车辆每日维护费为100元,未租出的车辆维护费为50元,当租金为多少元时,公司的利润恰好为5 500元?(利润=收益-维护费)
(1)当租金提高多少元时,公司的每日收益可达到10 120元?
(2)公司领导希望日收益达到10 160元,你认为能否实现?若能,求出此时的租金;若不能,请说明理由.
(3)汽车日常维护需要一定费用,已知外租车辆每日维护费为100元,未租出的车辆维护费为50元,当租金为多少元时,公司的利润恰好为5 500元?(利润=收益-维护费)
答案
(1)设租金提高x元,则每日可租出$(50-\frac{2x}{10})$辆车. 依题意,得$(200+x)(50-\frac{2x}{10})=10120$,整理,得$x^2-50x+600=0$,解得$x_1=20,x_2=30$.
答:当租金提高20元或30元时,公司的每日收益可达到10120元.
(2)不能实现. 理由如下:假设能实现,设租金提高a元. 依题意,得$(200+a)(50-\frac{2a}{10})=10160$,整理,得$a^2-50a+800=0$.
∵$(-50)^2-4×1×800＜0$,
∴该一元二次方程无实数根,
∴日收益不能达到10160元.
(3)设租金提高m元. 依题意,得$(200+m)·(50-\frac{2m}{10})-100(50-\frac{2m}{10})-50×\frac{2m}{10}=5500$,整理,得$m^2-100m+2500=0$,解得$m_1=m_2=50$,
∴$200+m=250$.
答:当租金为250元时,公司的利润恰好为5500元.
答:当租金提高20元或30元时,公司的每日收益可达到10120元.
(2)不能实现. 理由如下:假设能实现,设租金提高a元. 依题意,得$(200+a)(50-\frac{2a}{10})=10160$,整理,得$a^2-50a+800=0$.
∵$(-50)^2-4×1×800＜0$,
∴该一元二次方程无实数根,
∴日收益不能达到10160元.
(3)设租金提高m元. 依题意,得$(200+m)·(50-\frac{2m}{10})-100(50-\frac{2m}{10})-50×\frac{2m}{10}=5500$,整理,得$m^2-100m+2500=0$,解得$m_1=m_2=50$,
∴$200+m=250$.
答:当租金为250元时,公司的利润恰好为5500元.
解析
【分析】
这是典型的销售收益类一元二次方程应用题，解题核心是找准单辆车租金、出租数量、总收益/总利润之间的等量关系：
1. 第(1)问：设租金提高x元，先表示出两个核心量：①每辆车日租金为(200+x)元；②每提10元少租2辆，提高x元时少租$\frac{2x}{10}$辆，实际租出$(50-\frac{2x}{10})$辆，再根据“总收益=单辆车租金×租出车辆数”列方程求解即可。
2. 第(2)问：和第(1)问思路一致列方程，通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有正实根，若无实根则说明收益目标无法实现。
3. 第(3)问：明确“利润=总收益-总维护费”，总维护费分两部分：租出车辆每辆100元、未租出车辆每辆50元，分别表示出两部分维护费后代入公式列方程求解，最终基础租金加涨幅得到最终租金。
【解析】
(1) 设租金提高x元，则每日可租出$(50-\frac{2x}{10})$辆，依题意得：
$(200+x)(50-\frac{2x}{10})=10120$
整理得：$x^2-50x+600=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=30$
(2) 不能实现，理由如下：
假设能实现，设租金提高a元，依题意得：
$(200+a)(50-\frac{2a}{10})=10160$
整理得：$a^2-50a+800=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-50)^2-4×1×800=-700＜0$
∴该一元二次方程无实数根，即日收益不能达到10160元。
(3) 设租金提高m元，依题意得：总收益为$(200+m)(50-\frac{2m}{10})$，租出车辆维护费为$100(50-\frac{2m}{10})$，未租出车辆数为$\frac{2m}{10}$辆，对应维护费为$50×\frac{2m}{10}$，因此利润满足：
$(200+m)(50-\frac{2m}{10})-100(50-\frac{2m}{10})-50×\frac{2m}{10}=5500$
整理得：$m^2-100m+2500=0$
解得：$m_1=m_2=50$
∴此时租金为$200+50=250$元。
【答案】
(1) 当租金提高20元或30元时，公司的每日收益可达到10120元；
(2) 不能实现，理由见解析；
(3) 当租金为250元时，公司的利润恰好为5500元。
【知识点】
一元二次方程实际应用，根的判别式，利润问题计算
【点评】
本题考查一元二次方程在销售类实际问题中的应用，解题关键是准确梳理各个量之间的数量关系，正确列出方程；第(2)问需结合根的判别式判断方案可行性，第(3)问要注意区分两类不同的维护费用，避免错算漏算。
【难度系数】
0.6
这是典型的销售收益类一元二次方程应用题，解题核心是找准单辆车租金、出租数量、总收益/总利润之间的等量关系：
1. 第(1)问：设租金提高x元，先表示出两个核心量：①每辆车日租金为(200+x)元；②每提10元少租2辆，提高x元时少租$\frac{2x}{10}$辆，实际租出$(50-\frac{2x}{10})$辆，再根据“总收益=单辆车租金×租出车辆数”列方程求解即可。
2. 第(2)问：和第(1)问思路一致列方程，通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有正实根，若无实根则说明收益目标无法实现。
3. 第(3)问：明确“利润=总收益-总维护费”，总维护费分两部分：租出车辆每辆100元、未租出车辆每辆50元，分别表示出两部分维护费后代入公式列方程求解，最终基础租金加涨幅得到最终租金。
【解析】
(1) 设租金提高x元，则每日可租出$(50-\frac{2x}{10})$辆，依题意得：
$(200+x)(50-\frac{2x}{10})=10120$
整理得：$x^2-50x+600=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=30$
(2) 不能实现，理由如下：
假设能实现，设租金提高a元，依题意得：
$(200+a)(50-\frac{2a}{10})=10160$
整理得：$a^2-50a+800=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-50)^2-4×1×800=-700＜0$
∴该一元二次方程无实数根，即日收益不能达到10160元。
(3) 设租金提高m元，依题意得：总收益为$(200+m)(50-\frac{2m}{10})$，租出车辆维护费为$100(50-\frac{2m}{10})$，未租出车辆数为$\frac{2m}{10}$辆，对应维护费为$50×\frac{2m}{10}$，因此利润满足：
$(200+m)(50-\frac{2m}{10})-100(50-\frac{2m}{10})-50×\frac{2m}{10}=5500$
整理得：$m^2-100m+2500=0$
解得：$m_1=m_2=50$
∴此时租金为$200+50=250$元。
【答案】
(1) 当租金提高20元或30元时，公司的每日收益可达到10120元；
(2) 不能实现，理由见解析；
(3) 当租金为250元时，公司的利润恰好为5500元。
【知识点】
一元二次方程实际应用，根的判别式，利润问题计算
【点评】
本题考查一元二次方程在销售类实际问题中的应用，解题关键是准确梳理各个量之间的数量关系，正确列出方程；第(2)问需结合根的判别式判断方案可行性，第(3)问要注意区分两类不同的维护费用，避免错算漏算。
【难度系数】
0.6
4 [2026江苏无锡调研,较难]某服装店销售某种T恤,根据销售经验可知,每件售价x(元)与每天销售量y(件)之间有下表关系:
已知y与x之间满足一次函数关系.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)此种T恤进价是30元/件,若该服装店每天销售此T恤盈利800元,要使顾客获得实惠,每件售价是多少元?
(3)在(2)的条件下,8月份销售量减少,服装店决定降价销售,所以从8月16日开始此T恤销售价格下降了m%,同时此T恤的进货成本下降了20%,销售量也因此比原来上涨了2m% (0＜m＜100),8月份降价销售的16天(8月16日至31日)所获总盈利比降价前的15天(8月1日至15日)总盈利多2 336元,求m的值.
已知y与x之间满足一次函数关系.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)此种T恤进价是30元/件,若该服装店每天销售此T恤盈利800元,要使顾客获得实惠,每件售价是多少元?
(3)在(2)的条件下,8月份销售量减少,服装店决定降价销售,所以从8月16日开始此T恤销售价格下降了m%,同时此T恤的进货成本下降了20%,销售量也因此比原来上涨了2m% (0＜m＜100),8月份降价销售的16天(8月16日至31日)所获总盈利比降价前的15天(8月1日至15日)总盈利多2 336元,求m的值.
答案
(1)设$y=kx+b(k≠0)$. 将$(70,20)$,$(69,22)$分别代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}70k+b=20,\\69k+b=22,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=160,\end{cases}$
∴$y=-2x+160$.
(2)根据题意,得$(x-30)(-2x+160)=800$,整理得$x^2-110x+2800=0$,解得$x_1=40,x_2=70$.又
∵要使顾客获得实惠,
∴$x=40$.
答:每件售价是40元.
(3)在(2)的条件下,每件售价为40元时,销售量为80件,每天盈利800元.降价前总盈利$800×15=12000$(元).降价后,售价为$40(1-m\%)$元,进价为$30×(1-20\%)=24$(元),销售量为$80(1+2m\%)$件.根据题意,得$16×[40(1-m\%)-24]×80(1+2m\%)=12000+2336$,整理得$m^2+10m-600=0$,解得$m_1=20,m_2=-30$(不符合题意,舍去).
答:m的值为20.
∴$y=-2x+160$.
(2)根据题意,得$(x-30)(-2x+160)=800$,整理得$x^2-110x+2800=0$,解得$x_1=40,x_2=70$.又
∵要使顾客获得实惠,
∴$x=40$.
答:每件售价是40元.
(3)在(2)的条件下,每件售价为40元时,销售量为80件,每天盈利800元.降价前总盈利$800×15=12000$(元).降价后,售价为$40(1-m\%)$元,进价为$30×(1-20\%)=24$(元),销售量为$80(1+2m\%)$件.根据题意,得$16×[40(1-m\%)-24]×80(1+2m\%)=12000+2336$,整理得$m^2+10m-600=0$,解得$m_1=20,m_2=-30$(不符合题意,舍去).
答:m的值为20.
解析
【分析】
(1) 已知y是x的一次函数，采用待定系数法求解：先设一次函数通式$y=kx+b(k≠0)$，从表格选取两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到函数表达式。
(2) 根据“总盈利=单件利润×销售量”列方程，单件利润为售价减进价，销售量为(1)中所求的y表达式，解方程得到两个售价后，结合“顾客获得实惠”的要求选择更低的售价即可。
(3) 先计算降价前15天的总盈利，再分别表示出降价后的售价、单件成本、销售量，根据“16天总盈利=前15天总盈利+2336”列方程，求解后舍去不符合题意的负解即可得到m的值。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(70,20)$、$(69,22)$分别代入得：
$\begin{cases}70k+b=20\\69k+b=22\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=160\end{cases}$
∴$y=-2x+160$。
(2) 由题意得单件利润为$(x-30)$元，每天销售量为$(-2x+160)$件，列方程：
$(x-30)(-2x+160)=800$
整理得$x^2-110x+2800=0$，解得$x_1=40$，$x_2=70$。
∵要使顾客获得实惠，应选择更低的售价，
∴$x=40$。
答：每件售价是40元。
(3) 降价前每天盈利800元，15天总盈利为$800×15=12000$元。
降价后：售价为$40(1-m\%)$元，进价为$30×(1-20\%)=24$元，销售量为$80(1+2m\%)$件，根据题意列方程：
$16×[40(1-m\%)-24]×80(1+2m\%)=12000+2336$
整理得$m^2+10m-600=0$，解得$m_1=20$，$m_2=-30$（不符合$0＜m＜100$的要求，舍去）。
答：m的值为20。
【答案】
(1) $y=-2x+160$
(2) 40元
(3) 20
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润问题
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是销售类综合题，结合了一次函数与一元二次方程的知识点，解题核心是理清售价、成本、销量、利润之间的数量关系，求解后要注意结合实际场景对解的合理性进行检验，涉及百分数运算时需仔细，避免计算错误。
【难度系数】
0.4
(1) 已知y是x的一次函数，采用待定系数法求解：先设一次函数通式$y=kx+b(k≠0)$，从表格选取两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到函数表达式。
(2) 根据“总盈利=单件利润×销售量”列方程，单件利润为售价减进价，销售量为(1)中所求的y表达式，解方程得到两个售价后，结合“顾客获得实惠”的要求选择更低的售价即可。
(3) 先计算降价前15天的总盈利，再分别表示出降价后的售价、单件成本、销售量，根据“16天总盈利=前15天总盈利+2336”列方程，求解后舍去不符合题意的负解即可得到m的值。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(70,20)$、$(69,22)$分别代入得：
$\begin{cases}70k+b=20\\69k+b=22\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=160\end{cases}$
∴$y=-2x+160$。
(2) 由题意得单件利润为$(x-30)$元，每天销售量为$(-2x+160)$件，列方程：
$(x-30)(-2x+160)=800$
整理得$x^2-110x+2800=0$，解得$x_1=40$，$x_2=70$。
∵要使顾客获得实惠，应选择更低的售价，
∴$x=40$。
答：每件售价是40元。
(3) 降价前每天盈利800元，15天总盈利为$800×15=12000$元。
降价后：售价为$40(1-m\%)$元，进价为$30×(1-20\%)=24$元，销售量为$80(1+2m\%)$件，根据题意列方程：
$16×[40(1-m\%)-24]×80(1+2m\%)=12000+2336$
整理得$m^2+10m-600=0$，解得$m_1=20$，$m_2=-30$（不符合$0＜m＜100$的要求，舍去）。
答：m的值为20。
【答案】
(1) $y=-2x+160$
(2) 40元
(3) 20
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润问题
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是销售类综合题，结合了一次函数与一元二次方程的知识点，解题核心是理清售价、成本、销量、利润之间的数量关系，求解后要注意结合实际场景对解的合理性进行检验，涉及百分数运算时需仔细，避免计算错误。
【难度系数】
0.4
