4. (2025·泉州期末)定义:已知$M,N$都是关于$x$的多项式,若$M-N=k(k＞0$,且$k$不含字母),则称$M$是$N$的“平移式”,$k$叫作$M$关于$N$的“平移值”.例如:$M=2x^2+x+3$,$N=2x^2+x-1$,$M-N=(2x^2+x+3)-(2x^2+x-1)=4＞0$,则称$M$是$N$的“平移式”,$M$关于$N$的“平移值”为4.
(1)若$M=-\frac{1}{2}x^2+5x-3$,$N=-\frac{1}{2}x^2+5x-1$,则$M$是$N$的“平移式”吗?为什么?
(2)对于常数$m,n$,有$M=4x^2+mx+m^2$,$N=4x^2-6x+n$,若$M$是$N$的“平移式”,且“平移值”为3,求$m,n$的值.
(3)若$A,B,M$都是关于$x$的多项式,且$A=\frac{11}{2}x^2-\frac{1}{2}nx-\frac{2}{3}$,$B=6x^2+mx+1$,$M=5x^{|m|}+(m-2)x+\frac{4}{3}m$,$N=2A-B$,试问:$M$是$N$的“平移式”吗?如果是,求出$m,n$的值及“平移值”;如果不是,请说明理由.

(1)$M$不是$N$的“平移式”.理由如下:因为$M=-\frac{1}{2}x^2+5x-3$,$N=-\frac{1}{2}x^2+5x-1$,所以$M-N=(-\frac{1}{2}x^2+5x-3)-(-\frac{1}{2}x^2+5x-1)=-\frac{1}{2}x^2+5x-3+\frac{1}{2}x^2-5x+1=-2$.因为$-2＜0$,所以$M$不是$N$的“平移式”.
(2)因为$M$是$N$的“平移式”,且“平移值”为3,所以$M-N=3$.因为$M=4x^2+mx+m^2$,$N=4x^2-6x+n$,所以$(4x^2+mx+m^2)-(4x^2-6x+n)=3$,所以$4x^2+mx+m^2-4x^2+6x-n=3$,所以$(m+6)x+(m^2-n)=3$,所以$m+6=0$,$m^2-n=3$,所以$m=-6$,$n=33$.
(3)因为$A=\frac{11}{2}x^2-\frac{1}{2}nx-\frac{2}{3}$,$B=6x^2+mx+1$,所以$N=2A-B=11x^2-nx-\frac{4}{3}-(6x^2+mx+1)=5x^2-(n+m)x-\frac{7}{3}$.因为$M=5x^{|m|}+(m-2)x+\frac{4}{3}m$,所以$M-N=[5x^{|m|}+(m-2)x+\frac{4}{3}m]-[5x^2-(n+m)x-\frac{7}{3}]$,$|m|=2$,则$m=2$或$-2$.
①当$m=2,n=-2$时,$M=5x^2+\frac{8}{3}$,$N=5x^2-\frac{7}{3}$,所以$M-N=5＞0$,则$M$是$N$的“平移式”,“平移值”是5;②当$m=-2$,$n=6$时,$M=5x^2-4x-\frac{8}{3}$,$N=5x^2-4x-\frac{7}{3}$,所以$M-N=-\frac{1}{3}＜0$,则$M$不是$N$的“平移式”.综上,当$m=2,n=-2$时,$M$是$N$的“平移式”,“平移值”是5.

【分析】
本题是新定义类代数题，解题核心是准确理解“平移式”的定义：若M是N的“平移式”，需同时满足两个条件：①M-N的结果不含字母（所有含x的项的系数均为0）；②结果大于0。解题思路如下：(1)直接计算M-N，对照定义的两个条件判断即可；(2)根据平移值为3可得M-N=3，合并同类项后令x的系数为0、常数项等于3，列方程求解m、n；(3)先化简N=2A-B，对比M和N的最高次项次数可得|m|=2，分m=2和m=-2两种情况分别计算M-N，再对照定义判断是否为平移式。
【解析】
(1) M不是N的“平移式”，理由如下：
∵$M=-\frac{1}{2}x^2+5x-3$，$N=-\frac{1}{2}x^2+5x-1$
∴$M-N=(-\frac{1}{2}x^2+5x-3)-(-\frac{1}{2}x^2+5x-1)$
$=-\frac{1}{2}x^2+5x-3+\frac{1}{2}x^2-5x+1=-2$
∵$-2＜0$，不符合平移式的定义，
∴M不是N的“平移式”。
(2)
∵M是N的“平移式”，且平移值为3，
∴$M-N=3$
将$M=4x^2+mx+m^2$，$N=4x^2-6x+n$代入得：
$(4x^2+mx+m^2)-(4x^2-6x+n)=3$
去括号合并同类项得：$(m+6)x+(m^2-n)=3$
∵结果不含字母，
∴x的系数为0，常数项等于3，
即$\begin{cases}m+6=0 \\ m^2-n=3 \end{cases}$
解得$m=-6$，代入第二个方程得$36-n=3$，即$n=33$。
(3) 先计算$N=2A-B$：
∵$A=\frac{11}{2}x^2-\frac{1}{2}nx-\frac{2}{3}$，$B=6x^2+mx+1$
∴$N=2(\frac{11}{2}x^2-\frac{1}{2}nx-\frac{2}{3})-(6x^2+mx+1)$
$=11x^2 -nx -\frac{4}{3} -6x^2 -mx -1$
$=5x^2 -(m+n)x -\frac{7}{3}$
若M是N的“平移式”，则M和N的最高次项次数相同，故$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$，分两种情况讨论：
①当$m=2$时，$M=5x^2 + (2-2)x + \frac{4}{3}×2 =5x^2 +\frac{8}{3}$
此时$M-N=(n+2)x +5$，令x的系数为0得$2+n=0$，即$n=-2$
此时$M-N=5＞0$，符合平移式定义，平移值为5；
②当$m=-2$时，$M=5x^2 + (-2-2)x + \frac{4}{3}×(-2)=5x^2 -4x -\frac{8}{3}$
此时$M-N=(n-6)x -\frac{1}{3}$，令x的系数为0得$n-6=0$，即$n=6$
此时$M-N=-\frac{1}{3}＜0$，不符合平移式定义。
【答案】
(1) M不是N的“平移式”，理由见解析；
(2) $m=-6$，$n=33$；
(3) 当$m=2$，$n=-2$时，M是N的“平移式”，平移值为5；当$m=-2$时，M不是N的“平移式”。
【知识点】
新定义运算，整式的加减，分类讨论
【点评】
本题围绕新定义“平移式”展开，重点考查整式加减运算的熟练度，以及方程思想、分类讨论思想的应用，解题的关键是紧扣“两多项式的差为正的常数”这一核心要求，第三问需注意根据最高次项的次数确定参数范围，避免漏解。
【难度系数】
0.6

5. (2025·武汉期末)定义:$n$个关于$x$的一次整式$A_1,A_2,···,A_n$,存在不等于零的数$k_1,k_2,···,k_n$,使$k_1A_1+k_2A_2+···+k_nA_n=a$,其中$a$是常数,我们称这$n$个一次整式为常数$a$的“相关整式”.
例如:对于一次整式$x-4,-3x+8,-x-1$,存在$k_1=1,k_2=-1,k_3=4$,使$(x-4)-(-3x+8)+4(-x-1)=-16$,我们就称一次整式$x-4,-3x+8,-x-1$为常数$-16$的“相关整式”.
【数学理解】
(1)若整式$A_1=x,A_2=3x+1,A_3=x+4$为常数$a$的“相关整式”,其中$k_1=k_2=1$,则常数$a=$,$k_3=$;
(2)若整式$A_1=px+q,A_2=x+1,A_3=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$$为常数$2$的“相关整式”,其中$k_1=1,k_2=-1,k_3=3$,求$p,q$的值;
【尝试探究】
(3)若整式$A_1=m_1x+n_1,A_2=m_2x+n_2$为常数$0$的“相关整式”,则等式①$m_1n_1 = m_2n_2$;②$m_1n_2 = m_2n_1$中有一个成立,判断哪一个成立,并说明理由;
(4)若整式$A_1=x+3,A_2=2x+6,A_3=mx+7$为常数$0$的“相关整式”,直接写出$m$的值.

(1)$-15$ $-4$ 解析:根据题意可得$x+3x+1+k_3(x+4)=a$,即$(1+3+k_3)x+1+4k_3=a$,整式$A_1=x,A_2=3x+1,A_3=x+4$为常数$a$的“相关整式”,则$1+3+k_3=0$,$1+4k_3=a$,解得$k_3=-4$,$a=-15$.
(2)根据题意可得$px+q-x-1+3(-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})=2$,即$(p-1-2)x+q-1+1=2$,因为整式$A_1=px+q,A_2=x+1,A_3=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$为常数$2$的“相关整式”,所以$p-1-2=0$,$q-1+1=2$,解得$p=3,q=2$.
(3)②成立.理由如下:根据题意可得$k_1(m_1x+n_1)+k_2(m_2x+n_2)=0$,即$(k_1m_1+k_2m_2)x+k_1n_1+k_2n_2=0$,因为整式$A_1=m_1x+n_1,A_2=m_2x+n_2$为常数$0$的“相关整式”,所以$k_1m_1+k_2m_2=0$,$k_1n_1+k_2n_2=0$,所以$k_1m_1=-k_2m_2$,$k_1n_1=-k_2n_2$,所以$-k_1k_2m_1n_2=-k_1k_2m_2n_1$,所以$m_1n_2=m_2n_1$.
(4)$m=\frac{7}{3}$. 解析:根据题意可得$k_1(x+3)+k_2(2x+6)+k_3(mx+7)=0$,则$(k_1+2k_2+mk_3)x+3k_1+6k_2+7k_3=0$,整式$A_1=x+3,A_2=2x+6,A_3=mx+7$为常数$0$的“相关整式”,所以$k_1+2k_2+mk_3=0$,$3k_1+6k_2+7k_3=0$,所以$m=\frac{7}{3}$.

【分析】
本题属于新定义类代数题，核心要理解“相关整式”的含义：若干一次整式乘以非零系数相加后结果为常数，说明合并同类项后x的系数必须为0，所得常数项就是对应的常数a。
(1) 已知k₁、k₂的值，先将三个整式代入表达式合并同类项，令x的系数为0即可先求出k₃，再代入常数项计算a；
(2) 将已知的k值代入表达式合并同类项，根据结果为常数2，可得x的系数为0、常数项等于2，列方程求解p、q即可；
(3) 先根据定义列出等式，合并同类项后分别得到x的系数和常数项均为0的两个等式，消去非零系数k₁、k₂即可推导得出成立的等式；
(4) 同样先合并同类项得到x系数和常数项为0的两个等式，把k₁+2k₂看作整体消元即可求出m的值。
【解析】
(1) 根据题意，代入$k_1=1,k_2=1$得：
$1· x +1·(3x+1) +k_3(x+4) = a$
合并同类项得：$(4+k_3)x + (1+4k_3) = a$
因为结果为常数a，所以x的系数为0，即$4+k_3=0$，解得$k_3=-4$
代入常数项得：$a=1+4×(-4)=-15$
(2) 根据题意，代入$k_1=1,k_2=-1,k_3=3$得：
$1·(px+q) -1·(x+1) +3·(-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}) = 2$
展开计算：$px+q -x -1 -2x +1 =2$
合并同类项得：$(p-3)x + q =2$
因为结果为常数2，所以x的系数为0，常数项为2，即：
$\begin{cases}p-3=0 \\ q=2\end{cases}$，解得$p=3,q=2$
(3) 等式②成立，理由如下：
根据题意得：$k_1(m_1x+n_1) +k_2(m_2x+n_2)=0$，其中$k_1、k_2$均不为0
合并同类项得：$(k_1m_1 +k_2m_2)x + (k_1n_1 +k_2n_2)=0$
因为结果为常数0，所以：
$\begin{cases}k_1m_1 +k_2m_2=0 ①\\ k_1n_1 +k_2n_2=0 ②\end{cases}$
由①得$k_1m_1 = -k_2m_2$，由②得$k_1n_1 = -k_2n_2$
将①两边乘$n_2$，②两边乘$m_2$，可得$k_1m_1n_2 = k_1m_2n_1$，因为$k_1≠0$，两边同时除以$k_1$得：$m_1n_2 = m_2n_1$，故②成立。
(4) 根据题意得：$k_1(x+3)+k_2(2x+6)+k_3(mx+7)=0$，$k_1、k_2、k_3$均不为0
合并同类项得：$(k_1 + 2k_2 + mk_3)x + (3k_1 +6k_2 +7k_3)=0$
所以$\begin{cases}k_1 + 2k_2 + mk_3=0 ③\\ 3k_1 +6k_2 +7k_3=0 ④\end{cases}$
由④得：$3(k_1+2k_2) = -7k_3$，即$k_1+2k_2 = -\frac{7}{3}k_3$，代入③得：
$-\frac{7}{3}k_3 + mk_3 =0$，因为$k_3≠0$，两边除以$k_3$得：$m=\frac{7}{3}$
【答案】
(1) $-15$，$-4$；(2) $p=3$，$q=2$；(3) ②$m_1n_2 = m_2n_1$成立；(4) $\frac{7}{3}$
【知识点】
新定义问题，合并同类项，一次式性质
【点评】
本题以新定义“相关整式”为背景，核心考查对新定义的理解能力和代数运算能力，解题关键是抓住“相加结果为常数则x的系数为0”这一核心点，题目设置由浅入深，既考查基础运算，也考查逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6