1. (2025·盐城期末)定义:对于两个含字母$x$的一元多项式,当$x$任取一个数时,如果这两个多项式的值都是相等的,那么就称这两个一元多项式是恒等的.如果两个多项式恒等,那么将这两个多项式分别合并同类项之后,其系数一定对应相等.
已知关于$x$的多项式$ax^3 + 2x^2 - cx + d$与多项式$3x^3 - dx^2 + bx - 2$是恒等的.
(1)$a=$;$d=$.
(2)若数$m=3(2a+b+1)$,数$n=-2(3a - c)+c-$

①；②；y；2x+3(x-3)=7

方程①已将未知数y表示为含x的代数式，把①代入②，可消去未知数y，替换后得到方程2x+3(x-3)=7。

3,则数m与数n是否互为相反数？为什么？

$x=\frac{3y-17}{4}$

对方程$-4x+3y=17$移项，得$-4x=17-3y$，将方程两边同时除以$-4$，整理可得$x=\frac{3y-17}{4}$。

2. (2025·成都期中)定义:如果 $2^m = n$ (m,n为正数),那么我们把m叫作n的D数,记作$m = D(n)$.
(1)根据D数的定义,填空:$D(2) = \_\_\_\_\_\_$, $D(16) = \_\_\_\_\_\_$.
(2)D数有如下运算性质:$D(s · t) = D(s) + D(t)$, $D(\frac{q}{p}) = D(q) - D(p)$,其中q＞p.
根据运算性质,计算:
①若$D(a) = 1$,求$D(a^3)$;
②若已知$D(3) = 2a - b$, $D(5) = a + c$,试求$D(15)$, $D(\frac{5}{3})$的值.(用a,b,c表示)

解：
(1) 由②得，$y = 12 - 10x$，③
把③代入①，得
$5x + 2(12 - 10x) = 9$
去括号，得$5x + 24 - 20x = 9$
移项、合并同类项，得$-15x = -15$
解得$x = 1$
把$x=1$代入③，得$y = 12 - 10×1 = 2$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$
(2) 由①得，$x + 1 = 6y$，即$x = 6y - 1$，③
把③代入②，得
$2(6y - 1 + 1) - y = 11$
化简，得$12y - y = 11$
合并同类项，得$11y = 11$
解得$y = 1$
把$y=1$代入③，得$x = 6×1 - 1 = 5$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}$

【分析】
这是一道代数新定义类题目，解题核心是先准确理解D数的定义和给出的运算性质：①定义层面，若$2^m=n$，则$D(n)=m$，即求D(n)本质就是找2的多少次方等于n；②运算性质层面，乘积的D数等于两个数的D数相加，商的D数等于被除数与除数的D数相减。解题时只需把待求式子转化为符合定义或运算性质的形式，代入计算即可。
(1)问直接对应定义找对应指数即可；(2)①可利用D(a)=1先得到a的值，再求$a^3$对应的D数，也可利用乘法运算性质拆分$a^3$计算；(2)②先把15拆为3×5，$\frac{5}{3}$拆为5÷3，直接套用运算性质，代入已知表达式做整式加减化简即可。
【解析】
(1) 根据D数的定义：当$2^m=n$时，$m=D(n)$
因为$2^1=2$，所以$D(2)=1$；
因为$2^4=16$，所以$D(16)=4$。
(2)① 已知$D(a)=1$，根据定义可得$2^1=a$，即$a=2$，
则$a^3=2^3$，因此$D(a^3)=3$。
② 计算$D(15)$：
因为$15=3×5$，根据运算性质$D(s·t)=D(s)+D(t)$，
代入$D(3)=2a-b$，$D(5)=a+c$可得：
$D(15)=D(3)+D(5)=(2a-b)+(a+c)=3a-b+c$。
计算$D(\frac{5}{3})$：
根据运算性质$D(\frac{q}{p})=D(q)-D(p)$，
代入已知表达式可得：
$D(\frac{5}{3})=D(5)-D(3)=(a+c)-(2a-b)=b-a+c$。
【答案】
(1) $1$；$4$
(2)① $3$；② $D(15)=3a-b+c$，$D(\frac{5}{3})=b-a+c$
【知识点】
新定义运算，有理数乘方，整式加减
【点评】
本题属于新定义基础题型，重点考查对新定义规则和运算性质的理解与迁移应用能力，解题关键是准确将待求式转化为符合给定规则的形式，计算时注意整式加减去括号的符号问题，整体难度较低。
【难度系数】
0.8

3. (2025·扬州期末)定义:若两个一元一次方程的解的乘积为1,则这两个方程互为“倒数方程”,如:方程$3x-1=0$与$x-3=0$互为“倒数方程”.
(1)关于$x$的方程$4x-3=0$与$3x-m=0$互为“倒数方程”,则$m=$;
(2)关于$x$的方程$3x-(n+3)=0$与其“倒数方程”的解都是整数,求$n$的值;
(3)关于$x$的方程$3(x-1)+2=0$与$\frac{17}{2025}x+5=2x+k$互为“倒数方程”,求关于$y$的一元一次方程$\frac{17}{2025}(y+1)+4=2y+k+1$的解.

(1)4 解析:解方程$4x-3=0$,$4x=3$,得$x=\frac{3}{4}$,解方程$3x-m=0$,$3x=m$,得$x=\frac{m}{3}$.因为关于$x$的方程$4x-3=0$与$3x-m=0$互为“倒数方程”,所以$\frac{3}{4}×\frac{m}{3}=1,m=4$.
(2)解方程$3x-(n+3)=0$,$3x=n+3$,得$x=\frac{n+3}{3}$,所以其“倒数方程”的解为$x=\frac{3}{n+3}$.因为$x=\frac{n+3}{3}$与$x=\frac{3}{n+3}$都是整数,所以$n+3=±3$,解得$n=0$或$-6$.
(3)解方程$3(x-1)+2=0$,$3x-3+2=0$,$3x-1=0$,$3x=1$,得$x=\frac{1}{3}$,所以它的“倒数方程”$\frac{17}{2025}x+5=2x+k$的解为$x=3$.
因为$\frac{17}{2025}(y+1)+4=2y+k+1$,所以$\frac{17}{2025}(y+1)+5=2(y+1)+k$,所以$y+1=3$,所以$y=2$,所以关于$y$的一元一次方程$\frac{17}{2025}(y+1)+4=2y+k+1$的解为$y=2$.

【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“倒数方程”的定义：两个一元一次方程的解的乘积为1，则两方程互为倒数方程。
(1) 先分别求出两个方程的解，再根据解的乘积为1列等式，即可求出m的值；
(2) 先求出第一个方程的解，根据定义得到它的倒数方程的解，结合两个解都是整数的条件，确定n+3的取值，进而求出n；
(3) 先求出第一个方程的解，根据定义得到第二个方程的解，再将关于y的方程变形，把y+1看作整体，和第二个方程对比，即可直接求出y的值，无需计算参数k，简化计算。
【解析】
(1) 解方程$4x-3=0$：
移项得$4x=3$，系数化为1得$x=\frac{3}{4}$。
解方程$3x-m=0$：
移项得$3x=m$，系数化为1得$x=\frac{m}{3}$。
∵两个方程互为“倒数方程”，
∴两个解的乘积为1，即$\frac{3}{4} × \frac{m}{3}=1$，
化简得$\frac{m}{4}=1$，解得$m=4$。
(2) 解方程$3x-(n+3)=0$：
移项得$3x=n+3$，系数化为1得$x=\frac{n+3}{3}$。
根据“倒数方程”的定义，它的倒数方程的解为$1÷\frac{n+3}{3}=\frac{3}{n+3}$。
∵两个解都是整数，
∴$\frac{n+3}{3}$和$\frac{3}{n+3}$均为整数，
即$n+3$是3的因数，
∴$n+3=\pm3$，
当$n+3=3$时，$n=0$；当$n+3=-3$时，$n=-6$。
综上，$n$的值为0或-6。
(3) 解方程$3(x-1)+2=0$：
去括号得$3x-3+2=0$，合并同类项得$3x-1=0$，
移项得$3x=1$，系数化为1得$x=\frac{1}{3}$。
∵两个方程互为“倒数方程”，
∴方程$\frac{17}{2025}x+5=2x+k$的解为$1÷\frac{1}{3}=3$。
将关于y的方程$\frac{17}{2025}(y+1)+4=2y+k+1$变形：
等式两边同时加1，得$\frac{17}{2025}(y+1)+5=2y+2+k$，
整理右边得$\frac{17}{2025}(y+1)+5=2(y+1)+k$。
对比方程$\frac{17}{2025}x+5=2x+k$，可知$y+1$相当于该方程的解$x=3$，
即$y+1=3$，解得$y=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{n=0}$或$\boldsymbol{n=-6}$
(3) $\boldsymbol{y=2}$
【知识点】
一元一次方程求解，新定义问题，整体代入思想
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关应用，解题的关键是准确把握“倒数方程”的核心是两方程解的乘积为1，第三小问运用整体代换的思想可避免求解参数k，大幅简化计算过程，是本题的技巧所在。
【难度系数】
0.65