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8. 甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，在相同条件下各小组的成绩情况如下表所示. 若要从中选出一个小组参加年级的比赛，那么应选(
| 参赛小组 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 平均分 | 85 |
| 88 | 90 |
| 方差 | 3.5 | 3.5 | 4 | 4.2 |
A.甲组
B.乙组
C.丙组
D.丁组
B
).| 参赛小组 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 平均分 | 85 |
| 88 | 90 || 方差 | 3.5 | 3.5 | 4 | 4.2 |
A.甲组
B.乙组
C.丙组
D.丁组
答案
8.B
解析
【分析】
要选出最合适的参赛小组，首先明确筛选逻辑：第一，平均分越高代表小组整体成绩越好，优先选平均分高的小组；第二，平均分相同的情况下，方差越小说明小组成绩波动越小、发挥越稳定，要选择方差更小的小组。解题时先对比四个小组的平均分筛选出成绩最优的梯队，再对比梯队内的方差选出最稳定的小组即可。
【解析】
第一步：比较四个小组的平均分：甲组85分，乙组90分，丙组88分，丁组90分。可知乙组和丁组的平均分最高，整体成绩优于甲、丙两组，因此先排除A、C选项。
第二步：比较乙组和丁组的方差：乙组方差为3.5，丁组方差为4.2，由于3.5＜4.2，方差越小数据波动越小，说明乙组成绩比丁组更稳定。
综上，乙组既具有较高的平均成绩，发挥又更稳定，应选择乙组参赛。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义，方差的意义，统计量的应用
【点评】
本题是统计知识在实际场景中的应用，解题关键是理清不同统计量的实际含义，结合“既要成绩好又要发挥稳”的参赛需求，依次用平均数、方差两个统计量筛选即可得出结果。
【难度系数】
0.8
要选出最合适的参赛小组，首先明确筛选逻辑：第一，平均分越高代表小组整体成绩越好，优先选平均分高的小组；第二，平均分相同的情况下，方差越小说明小组成绩波动越小、发挥越稳定，要选择方差更小的小组。解题时先对比四个小组的平均分筛选出成绩最优的梯队，再对比梯队内的方差选出最稳定的小组即可。
【解析】
第一步：比较四个小组的平均分：甲组85分，乙组90分，丙组88分，丁组90分。可知乙组和丁组的平均分最高，整体成绩优于甲、丙两组，因此先排除A、C选项。
第二步：比较乙组和丁组的方差：乙组方差为3.5，丁组方差为4.2，由于3.5＜4.2，方差越小数据波动越小，说明乙组成绩比丁组更稳定。
综上，乙组既具有较高的平均成绩，发挥又更稳定，应选择乙组参赛。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义，方差的意义，统计量的应用
【点评】
本题是统计知识在实际场景中的应用，解题关键是理清不同统计量的实际含义，结合“既要成绩好又要发挥稳”的参赛需求，依次用平均数、方差两个统计量筛选即可得出结果。
【难度系数】
0.8
9.甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计表(图).比较5月份两组家庭用水量的平均数，下列说法正确的是(
甲组12户家庭用水量统计表
A.甲组比乙组大
B.甲、乙两组相同
C.乙组比甲组大
D.无法判断
C
).甲组12户家庭用水量统计表
A.甲组比乙组大
B.甲、乙两组相同
C.乙组比甲组大
D.无法判断
答案
9.C
解析
【分析】要判断两组家庭用水量平均数的大小，需根据加权平均数的计算公式，分别计算甲组、乙组家庭用水量的平均数，再对二者进行比较即可得到结论。解题时先分别提取每组中各用水量对应的户数（频数），用“各用水量×对应户数的和”除以总户数12，即可得到各组的平均数。
【解析】首先计算甲组家庭用水量的平均数：
已知甲组12户中，用水量为4吨的有4户，5吨的有5户，6吨的有2户，7吨的有1户，
甲组用水量总和 = $4×4 + 5×5 + 6×2 + 7×1 = 16 + 25 + 12 + 7 = 60$（吨）
甲组平均用水量 = $60÷12 = 5$（吨）
再计算乙组家庭用水量的平均数：
已知乙组12户中，用水量为4吨的有2户，5吨的有3户，6吨的有4户，7吨的有3户，
乙组用水量总和 = $4×2 + 5×3 + 6×4 + 7×3 = 8 + 15 + 24 + 21 = 68$（吨）
乙组平均用水量 = $68÷12 \approx 5.67$（吨）
因为$5.67＞5$，所以乙组家庭用水量的平均数比甲组大。
【答案】C
【知识点】加权平均数计算；平均数比较
【点评】本题考查加权平均数的实际应用，解题的关键是明确加权平均数的计算方法，准确统计各数据对应的频数，计算时注意运算的准确性即可。
【难度系数】0.7
【解析】首先计算甲组家庭用水量的平均数：
已知甲组12户中，用水量为4吨的有4户，5吨的有5户，6吨的有2户，7吨的有1户，
甲组用水量总和 = $4×4 + 5×5 + 6×2 + 7×1 = 16 + 25 + 12 + 7 = 60$（吨）
甲组平均用水量 = $60÷12 = 5$（吨）
再计算乙组家庭用水量的平均数：
已知乙组12户中，用水量为4吨的有2户，5吨的有3户，6吨的有4户，7吨的有3户，
乙组用水量总和 = $4×2 + 5×3 + 6×4 + 7×3 = 8 + 15 + 24 + 21 = 68$（吨）
乙组平均用水量 = $68÷12 \approx 5.67$（吨）
因为$5.67＞5$，所以乙组家庭用水量的平均数比甲组大。
【答案】C
【知识点】加权平均数计算；平均数比较
【点评】本题考查加权平均数的实际应用，解题的关键是明确加权平均数的计算方法，准确统计各数据对应的频数，计算时注意运算的准确性即可。
【难度系数】0.7
10. 一组数据 $x_1 + 1, x_2 + 1, \dots, x_n + 1$ 的平均数为17，方差为2，则另一组数据 $x_1 + 2, x_2 + 2, \dots, x_n + 2$ 的平均数和方差分别为(
A.17,2
B.18,2
C.17,3
D.18,3
B
)。A.17,2
B.18,2
C.17,3
D.18,3
答案
10.B
解析
【分析】
解题时可以结合平均数、方差的定义公式推导，也可以直接用数据变化时的统计量变化规律求解。首先根据第一组数据的平均数推出原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数，再计算第二组数据的平均数；方差反映数据的波动程度，一组数据每个数都加上相同常数时，数据的波动不会改变，因此方差不变，也可代入方差公式验证结论。
【解析】
1. 计算平均数：
已知数据$x_1+1,x_2+1,\dots,x_n+1$的平均数为17，根据平均数计算公式：
$\frac{(x_1+1)+(x_2+1)+\dots+(x_n+1)}{n}=17$
整理得：$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} + 1 =17$，因此原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$17-1=16$。
对于数据$x_1+2,x_2+2,\dots,x_n+2$，其平均数为：
$\frac{(x_1+2)+(x_2+2)+\dots+(x_n+2)}{n}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} + 2 =16+2=18$。
2. 计算方差：
方差是衡量数据波动大小的量，当一组数据每个数都加上同一个常数时，各数据的相对差值不变，波动程度不变，因此方差不变。
用公式验证：第一组数据的方差为$\frac{1}{n}[(x_1+1-17)^2+(x_2+1-17)^2+\dots+(x_n+1-17)^2]=\frac{1}{n}[(x_1-16)^2+(x_2-16)^2+\dots+(x_n-16)^2]=2$；
第二组数据的方差为$\frac{1}{n}[(x_1+2-18)^2+(x_2+2-18)^2+\dots+(x_n+2-18)^2]=\frac{1}{n}[(x_1-16)^2+(x_2-16)^2+\dots+(x_n-16)^2]=2$。
综上，第二组数据的平均数为18，方差为2。
【答案】
B
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题考查数据平移时统计量的变化规律，熟记“一组数据同时加（减）同一个常数，平均数对应加（减）该常数，方差保持不变”的结论，可快速得出答案，属于统计部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时可以结合平均数、方差的定义公式推导，也可以直接用数据变化时的统计量变化规律求解。首先根据第一组数据的平均数推出原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数，再计算第二组数据的平均数；方差反映数据的波动程度，一组数据每个数都加上相同常数时，数据的波动不会改变，因此方差不变，也可代入方差公式验证结论。
【解析】
1. 计算平均数：
已知数据$x_1+1,x_2+1,\dots,x_n+1$的平均数为17，根据平均数计算公式：
$\frac{(x_1+1)+(x_2+1)+\dots+(x_n+1)}{n}=17$
整理得：$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} + 1 =17$，因此原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$17-1=16$。
对于数据$x_1+2,x_2+2,\dots,x_n+2$，其平均数为：
$\frac{(x_1+2)+(x_2+2)+\dots+(x_n+2)}{n}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} + 2 =16+2=18$。
2. 计算方差：
方差是衡量数据波动大小的量，当一组数据每个数都加上同一个常数时，各数据的相对差值不变，波动程度不变，因此方差不变。
用公式验证：第一组数据的方差为$\frac{1}{n}[(x_1+1-17)^2+(x_2+1-17)^2+\dots+(x_n+1-17)^2]=\frac{1}{n}[(x_1-16)^2+(x_2-16)^2+\dots+(x_n-16)^2]=2$；
第二组数据的方差为$\frac{1}{n}[(x_1+2-18)^2+(x_2+2-18)^2+\dots+(x_n+2-18)^2]=\frac{1}{n}[(x_1-16)^2+(x_2-16)^2+\dots+(x_n-16)^2]=2$。
综上，第二组数据的平均数为18，方差为2。
【答案】
B
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题考查数据平移时统计量的变化规律，熟记“一组数据同时加（减）同一个常数，平均数对应加（减）该常数，方差保持不变”的结论，可快速得出答案，属于统计部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
二、填空题
11.某样本数据是2,2,x,3,3,6.如果这个样本的众数为2，那么这组数据的方差是
11.某样本数据是2,2,x,3,3,6.如果这个样本的众数为2，那么这组数据的方差是
2
。答案
11.2
解析
【分析】
解题首先要明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数。观察已知数据，2和3均出现2次，题目给出众数为2，说明2的出现次数要多于3，因此可确定x的值为2。确定完整数据后，先计算这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
解：①根据众数的定义，众数是出现次数最多的数：
已知数据2、2、x、3、3、6的众数为2，当前2和3均出现2次，因此x=2，此时2共出现3次，为出现次数最多的数，符合要求。
②此时完整数据为：2，2，2，3，3，6
计算平均数：$\bar{x}=\frac{2+2+2+3+3+6}{6}=\frac{18}{6}=3$
③根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{6}[(2-3)^2×3 + (3-3)^2×2 + (6-3)^2]$
$=\frac{1}{6}[(-1)^2×3 + 0^2×2 + 3^2]$
$=\frac{1}{6}(3 + 0 + 9)$
$=\frac{12}{6}=2$
【答案】
2
【知识点】
众数的定义；平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题考查统计基础概念的应用，解题的核心是先根据众数的定义确定未知数据的取值，再按方差的计算步骤求解，计算过程中注意不要出错，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数。观察已知数据，2和3均出现2次，题目给出众数为2，说明2的出现次数要多于3，因此可确定x的值为2。确定完整数据后，先计算这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
解：①根据众数的定义，众数是出现次数最多的数：
已知数据2、2、x、3、3、6的众数为2，当前2和3均出现2次，因此x=2，此时2共出现3次，为出现次数最多的数，符合要求。
②此时完整数据为：2，2，2，3，3，6
计算平均数：$\bar{x}=\frac{2+2+2+3+3+6}{6}=\frac{18}{6}=3$
③根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{6}[(2-3)^2×3 + (3-3)^2×2 + (6-3)^2]$
$=\frac{1}{6}[(-1)^2×3 + 0^2×2 + 3^2]$
$=\frac{1}{6}(3 + 0 + 9)$
$=\frac{12}{6}=2$
【答案】
2
【知识点】
众数的定义；平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题考查统计基础概念的应用，解题的核心是先根据众数的定义确定未知数据的取值，再按方差的计算步骤求解，计算过程中注意不要出错，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12.某校九年级甲、乙两名男生近期6次立定跳远的平均成绩都是2.2米，方差分别是$s^2_{甲}=0.004$，$s^2_{乙}=0.006$，则两名男生中成绩较稳定的是
甲
.(选填“甲”或“乙”)答案
12.甲
解析
【分析】
要判断两名男生谁的成绩更稳定，首先回忆方差的作用：方差是衡量一组数据波动大小、稳定程度的统计量。当两组数据的平均成绩相同时，仅需要比较二者方差的大小即可，方差越小，说明数据波动越小，成绩就越稳定。接下来只需对比甲、乙的方差数值大小就能得出结论。
【解析】
解：已知甲、乙两名男生6次立定跳远的平均成绩相同，均为2.2米。
方差是反映一组数据波动程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
因为$s^2_{甲}=0.004$，$s^2_{乙}=0.006$，可得$0.004＜0.006$，即$s^2_{甲}＜s^2_{乙}$，因此甲的成绩更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方差在实际问题中的应用，熟练掌握“方差越小，数据稳定性越强”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断两名男生谁的成绩更稳定，首先回忆方差的作用：方差是衡量一组数据波动大小、稳定程度的统计量。当两组数据的平均成绩相同时，仅需要比较二者方差的大小即可，方差越小，说明数据波动越小，成绩就越稳定。接下来只需对比甲、乙的方差数值大小就能得出结论。
【解析】
解：已知甲、乙两名男生6次立定跳远的平均成绩相同，均为2.2米。
方差是反映一组数据波动程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
因为$s^2_{甲}=0.004$，$s^2_{乙}=0.006$，可得$0.004＜0.006$，即$s^2_{甲}＜s^2_{乙}$，因此甲的成绩更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方差在实际问题中的应用，熟练掌握“方差越小，数据稳定性越强”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
13. 在2024年元旦会演中，18位评委给八(1)班的表演打分如下表所示，则这组数据的众数和中位数分别是
9.6,9.6
。答案
13.9.6,9.6
解析
【分析】
解题时先回忆众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，因此只需找到表格中评委人数最多对应的成绩即可得到众数；中位数是将数据按大小顺序排列后，中间位置的数，若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数。本题共18个数据，为偶数个，因此我们可以通过累加各成绩的评委人数，定位排序后第9、10个数据的取值，计算二者平均数即可得到中位数。
【解析】
1. 求众数：
观察表格可知，成绩为9.6分对应的评委人数是5，是所有成绩中对应人数最多的，因此这组数据的众数为9.6。
2. 求中位数：
首先计算总评委人数：$2+3+5+4+3+1=18$，共18个评分数据。将数据从小到大排列后，中位数为第9个和第10个数据的平均数。
累加各成绩的人数：9.4分的有2人，9.5分的有3人，累计到9.5分结束共有$2+3=5$个数据；接下来的5个数据均为9.6分，即第6到第10个数据都是9.6分，因此第9、10个数据均为9.6。
则中位数为：$\frac{9.6+9.6}{2}=9.6$。
【答案】
9.6，9.6
【知识点】
众数，中位数，统计表解读
【点评】
本题属于统计基础题，核心考查众数和中位数的概念，解题时要注意计算中位数前需先明确数据的排列顺序，偶数个数据时取中间两个数的平均数，整体计算量小，易得分。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，因此只需找到表格中评委人数最多对应的成绩即可得到众数；中位数是将数据按大小顺序排列后，中间位置的数，若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数。本题共18个数据，为偶数个，因此我们可以通过累加各成绩的评委人数，定位排序后第9、10个数据的取值，计算二者平均数即可得到中位数。
【解析】
1. 求众数：
观察表格可知，成绩为9.6分对应的评委人数是5，是所有成绩中对应人数最多的，因此这组数据的众数为9.6。
2. 求中位数：
首先计算总评委人数：$2+3+5+4+3+1=18$，共18个评分数据。将数据从小到大排列后，中位数为第9个和第10个数据的平均数。
累加各成绩的人数：9.4分的有2人，9.5分的有3人，累计到9.5分结束共有$2+3=5$个数据；接下来的5个数据均为9.6分，即第6到第10个数据都是9.6分，因此第9、10个数据均为9.6。
则中位数为：$\frac{9.6+9.6}{2}=9.6$。
【答案】
9.6，9.6
【知识点】
众数，中位数，统计表解读
【点评】
本题属于统计基础题，核心考查众数和中位数的概念，解题时要注意计算中位数前需先明确数据的排列顺序，偶数个数据时取中间两个数的平均数，整体计算量小，易得分。
【难度系数】
0.8
