1. (2025·周口月考)已知k是常数,如果方程$2x - 3 = 1 - 2x$与关于x的方程$\frac{5k - x}{12} + \frac{x}{3} = 2$的解相同,求k的值.

-3

根据立方根的性质：若两个数的立方根互为相反数，则这两个被开方数也互为相反数。由题意得：$\sqrt[3]{2x-1} = -\sqrt[3]{4-5y}$，两边同时立方可得$2x-1 = -(4-5y)$，去括号整理得$2x-1 +4 -5y =0$，即$2x-5y +3=0$，移项得$2x-5y=-3$。

2. (2025·武汉期末)已知关于a的一元一次方程$2025a + m = a - 2025$的解为$a=3$，则关于b的一元一次方程$2025(b-3)+m = b - 2028$的解为（）

A.$b=3$
B.$b=6$
C.$b=0$
D.$b=-3$

解：设此正方体容器的棱长为$x\ \mathrm{cm}$。
根据水的体积前后相等，列方程得：
$x^3 = 8×4×2$
化简得：
$x^3 = 64$
由立方根的定义解得：
$x = \sqrt[3]{64} = 4$
答：此正方体容器的棱长为$\boldsymbol{4}$ cm。

【分析】
我们可以通过对比两个一元一次方程的结构，利用整体代换的思路解题，不需要先求出参数m的值。首先观察已知方程$2025a + m = a - 2025$的结构，再将关于b的方程变形，凑出和已知方程完全相同的形式，把$b-3$看作整体对应已知方程中的a，即可利用a的解快速求出b的值。
【解析】
先对关于b的方程进行变形：
$2025(b-3)+m = b - 2028$
将右边改写为：$b-2028 = (b-3) - 2025$，因此方程可变为：
$2025(b-3)+m = (b-3) - 2025$
对比已知关于a的方程$2025a + m = a - 2025$，两个方程结构完全一致，且已知a的解为$a=3$，因此可得：
$b-3 = 3$
解得$b=6$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；整体代入法
【点评】
本题重点考查整体代换思想在一元一次方程中的应用，通过转化未知方程的形式，匹配已知解的方程结构，可避开求解参数m的复杂计算，快速得到答案，是简化方程计算的常用技巧。
【难度系数】
0.7

3. 已知关于$x$的方程$\frac{1}{2}(x-1)=5+k$的解与方程$\frac{3}{4}(x-1)-\frac{3}{2}k=\frac{2}{3}(x-1)$的解互为相反数，求$k$的值.

解：设原来每个正方体钢铁的棱长为$ x \, \mathrm{dm} $。
根据熔化前后总体积不变，列方程得：
$27x^3 = 16 × 4 × 8$
计算右侧得：
$27x^3 = 512$
变形得：
$x^3 = \frac{512}{27}$
两边同时开立方：
$x = \sqrt[3]{\frac{512}{27}} = \frac{8}{3}$
故原来每个正方体钢铁的棱长为$\boldsymbol{\frac{8}{3}}$ dm。

【分析】
本题属于已知两个方程解的关系求参数的问题，解题思路可分为三步：第一步，分别把两个方程中的k看作常数，解关于x的一元一次方程，得到两个用含k的代数式表示的x的值；第二步，根据“互为相反数的两个数之和为0”的性质，将两个表示x的代数式相加等于0，得到关于k的一元一次方程；第三步，解这个关于k的方程，即可求出k的值。
【解析】
解：先求解方程$\frac{1}{2}(x-1)=5+k$：
两边同时乘2，得$x-1=2(5+k)$，
去括号得$x-1=10+2k$，
移项整理得$x=11+2k$。
再求解方程$\frac{3}{4}(x-1)-\frac{3}{2}k=\frac{2}{3}(x-1)$：
两边同时乘12消去分母，得$9(x-1)-18k=8(x-1)$，
移项合并同类项得$x-1=18k$，
移项整理得$x=18k+1$。
因为两个方程的解互为相反数，所以两解之和为0，可得：
$11+2k+18k+1=0$
合并同类项得$20k+12=0$，
移项后系数化为1得$k=-\frac{3}{5}$。
【答案】
$k=-\frac{3}{5}$
【知识点】
1.一元一次方程的解法 2.相反数的性质
【点评】
本题是一元一次方程解的关系类的典型题型，核心解题逻辑是先将参数看作常数求出方程的解，再结合解的对应关系列新的方程求解参数，掌握该方法可以解决同类型的参数求解问题。
【难度系数】
0.7

4. 若方程$6(x+1)=3x-7$的解与关于$x$的方程$2(m-x)=\dfrac{2}{3}x+m$的解互为倒数，求$m$的值.

解方程$6(x+1)=3x-7$,得$x=-\frac{13}{3}$,因为方程$6(x+1)=3x-7$的解与关于$x$的方程$2(m-x)=\frac{2}{3}x+m$的解互为倒数,所以关于$x$的方程$2(m-x)=\frac{2}{3}x+m$的解为$x=-\frac{3}{13}$,所以$2(m+\frac{3}{13})=\frac{2}{3}×(-\frac{3}{13})+m$,所以$2m+\frac{6}{13}=-\frac{2}{13}+m$,解得$m=-\frac{8}{13}$.

【分析】
解决本题可按三步思考：第一步先求解已知的不含参数的一元一次方程，得到它的解；第二步根据“两个方程的解互为倒数”的条件，计算出含参方程的解；第三步将求得的解代入含参数m的方程中，即可得到仅含m的一元一次方程，求解就能得到m的值。
【解析】
解：先解方程$6(x+1)=3x-7$，
去括号，得：$6x + 6 = 3x - 7$，
移项，得：$6x - 3x = -7 - 6$，
合并同类项，得：$3x = -13$，
系数化为1，得：$x = -\dfrac{13}{3}$。
因为两个方程的解互为倒数，所以方程$2(m-x)=\dfrac{2}{3}x+m$的解为$1÷(-\dfrac{13}{3})=-\dfrac{3}{13}$。
将$x=-\dfrac{3}{13}$代入$2(m-x)=\dfrac{2}{3}x+m$，得：
$2(m + \dfrac{3}{13})=\dfrac{2}{3}×(-\dfrac{3}{13})+m$
去括号，得：$2m + \dfrac{6}{13} = -\dfrac{2}{13} + m$
移项合并同类项，得：$m = -\dfrac{8}{13}$
【答案】
$m=-\dfrac{8}{13}$
【知识点】
一元一次方程的解法；方程的解的定义；倒数的定义
【点评】
本题属于一元一次方程的常考题型，核心是利用两个方程解的关系确定含参方程的解，再代入转化为关于参数的方程求解，计算时要注意倒数、代入过程中的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

5. 若关于$x$的方程$13m+x=59$的解是关于$x$的方程$\frac{2x-3m}{3}-\frac{x-1}{4}=1$的解的5倍.求$m$的值.

B

先计算相邻整数的平方，可得$6^2=36$，$7^2=49$，因此$36＜37＜49$。根据算术平方根的性质，对不等式同时开平方得$\sqrt{36}＜\sqrt{37}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{37}＜7$，所以$\sqrt{37}$的值在6和7之间。

6. (2026·阜阳月考)定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”,例如:方程$4x=8$和$x+1=0$为“美好方程”.
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与$4x-2=x+10$是“美好方程”,则$m$的值为;
(2)若关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2025}x+1=0$是“美好方程”,则关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$的解为.

(1)9 解析:因为$3x+m=0$,所以$x=-\frac{m}{3}$.因为$4x-2=x+10$,所以$x=4$,所以由条件可知$4-\frac{m}{3}=1$,解得$m=9$.
(2)2 025 解析:因为$\frac{1}{2025}x+1=0$,所以$x=-2\ 025$,所以方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2\ 025)=2\ 026$.因为$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$,所以$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+k$,所以$y+1=x=2\ 026$,则$y=2\ 025$.

【分析】
(1) 首先紧扣“美好方程”的核心定义：两个一元一次方程的解之和为1。先求解不含参数的方程$4x-2=x+10$得到它的解，再求解含参数$m$的方程$3x+m=0$得到用$m$表示的解，最后根据两个解的和为1列方程，即可求出$m$的值。
(2) 先求解方程$\frac{1}{2025}x+1=0$得到它的解，根据“美好方程”定义求出方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$的解。再观察待求的关于$y$的方程，通过变形将$y+1$看作整体，会发现变形后的方程和$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$结构完全一致，直接对应整体的解就能快速求出$y$，无需计算参数$k$。
【解析】
(1) 解方程$3x+m=0$，移项得$3x=-m$，系数化为1得$x=-\frac{m}{3}$。
解方程$4x-2=x+10$，移项合并同类项得$3x=12$，系数化为1得$x=4$。
根据“美好方程”的定义，两个解的和为1，可得$4+(-\frac{m}{3})=1$，
解此方程：$-\frac{m}{3}=-3$，解得$m=9$。
(2) 解方程$\frac{1}{2025}x+1=0$，移项得$\frac{1}{2025}x=-1$，系数化为1得$x=-2025$。
由“美好方程”定义可知，方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$的解为$1-(-2025)=2026$。
将关于$y$的方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$变形，右边整理为$2(y+1)+k$，则方程变为：
$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+k$，
将$y+1$看作整体，该方程和$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$结构完全相同，因此$y+1=2026$，解得$y=2025$。
【答案】
(1)9；(2)2025
【知识点】
新定义问题，一元一次方程求解，整体代入思想
【点评】
本题以新定义为背景考查一元一次方程的应用，第二问通过观察方程结构采用整体代换的思路，规避了求解参数的繁琐过程，能很好地锻炼学生的转化思维和观察能力。
【难度系数】
0.6

7. 亮亮在解关于 x 的方程$\frac{ax-1}{2}+6=\frac{2+x}{3}$时，把6错写成1，解得$x=1$，并且亮亮的解题过程没有错误，则此方程正确的解为。

√21 - 4

先估算√21的取值范围：因为4²=16，5²=25，且16＜21＜25，所以4＜√21＜5，可知√21的整数部分是4，因此它的小数部分为√21减去整数部分，即√21 - 4。

8. (2026·日照月考)小玲在解方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$去分母时，方程右边的“-1”没有乘公分母6，因而求得了方程的错误解为$x=2$.请根据上述信息求方程正确的解.

$\sqrt[3]{7}$

1. 由算术平方根的定义，因为$a-1$的算术平方根是3，所以$a-1=3^2=9$，解得$a=10$。
2. 估算$\sqrt{11}$的范围：因为$3^2=9$，$4^2=16$，所以$3＜\sqrt{11}＜4$，因此$\sqrt{11}$的整数部分$b=3$。
3. 计算$a-b$：$a-b=10-3=7$。
4. 求$a-b$的立方根：7的立方根是$\sqrt[3]{7}$。