8. 关于$x$的一元一次方程$mx+3=2(m-x)$的解满足$\left|x-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，则$m$的值是（）

A.5
B.$\dfrac{3}{2}$
C.5或$\dfrac{3}{2}$
D.2或0

解析：$\left|x-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$,则$x=1$或$x=0$;$x=1$时,$m+3=2(m-1)$,解得$m=5$;$x=0$时,$3=2m$,解得$m=\frac{3}{2}$,故选C.

【分析】
要解这道题，首先需先求出满足绝对值方程的x的所有可能值，再将x的取值分别代入关于x的一元一次方程，即可求出对应的m值。解题时注意绝对值方程的解通常有两个，不要漏解。
【解析】
第一步，解绝对值方程$\left|x-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$：
根据绝对值的性质，若$|a|=b(b＞0)$，则$a=b$或$a=-b$，可得：
$x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ 或 $x-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
分别解得：$x=1$ 或 $x=0$。
第二步，将x的两个取值分别代入一元一次方程$mx+3=2(m-x)$求m：
① 当$x=1$时，代入方程得：
$m + 3 = 2(m - 1)$
展开右边：$m + 3 = 2m - 2$
移项计算得$m=5$。
② 当$x=0$时，代入方程得：
$3 = 2m$
解得$m=\dfrac{3}{2}$。
综上，m的值为5或$\dfrac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
绝对值方程求解；一元一次方程的解；一元一次方程的解法
【点评】
本题是绝对值方程与一元一次方程结合的基础题型，核心考查分类讨论思想，解题时注意不要遗漏绝对值方程的其中一个解，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.7

9. 已知a为有理数,则下列结论正确的是()

A.关于x的方程$a|x|=a$的解是$x=\pm1$
B.关于x的方程$|a|x=|a|$的解是$x=1$
C.关于x的方程$|a|x=a$的解是$x=1$
D.关于x的方程$(|a|+1)|x|=|a|+1$的解是$x=\pm1$

A

根据立方根的定义：若x是a的立方根，则$x^3=a$。已知$-b$是$a$的立方根，因此可得$(-b)^3 = a$，化简得$-b^3 = a$。

10. 若关于x的方程$||x-2|-1|=a$恰有三个整数解，则a的值为（）

A.-1
B.0
C.1
D.2

C

我们逐个分析选项：
1. 正数的立方根只有1个，是正数，因此A说法错误；
2. 立方根等于它本身的数有-1、0、1，并非只有0，因此B说法错误；
3. 根据立方根的性质，负数的立方根是负数，C说法正确；
4. 有理数0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，因此D说法错误。

11. 关于$x$的方程$|2x-3|+m=0$无解，$|3x-4|+n=0$只有一个解，$|4x-5|+k=0$有两个解，则$m,n,k$的大小关系为（用“＞”连接）。

(1)$-\frac{2}{3}$；(2)$5$

根据立方根的定义：若一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根。
(1) 因为$(-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}$，所以$-\frac{8}{27}$的立方根为$-\frac{2}{3}$；
(2) 因为$5^3=125$，所以125的立方根是5。

12. 若$y=|x+1|-2|x|+|x-2|$，且$-1≤x≤2$，则$y$的最大值是，$y$的最小值是。

解析:化简部分绝对值后,得$y=-2|x|+3$,故当$x=0$时,$y$值最大,为3;当$x=2$时,$y$值最小,为-1.

【分析】
首先根据题目给出的x取值范围-1≤x≤2，先判断绝对值内代数式的正负性，把可确定符号的绝对值去掉，简化原式。简化后原式仅含|x|项，再结合|x|在给定区间内的取值特点，根据|x|的系数正负判断y随|x|的变化规律，即可求出y的最值。
【解析】
解：已知$-1≤ x≤2$，
$\therefore x+1≥0$，$x-2≤0$，
$\therefore |x+1|=x+1$，$|x-2|=2-x$，
代入原式化简得：
$\begin{aligned}y&=(x+1)-2|x|+(2-x)\\&=x+1-2|x|+2-x\\&=3-2|x|\end{aligned}$
$\because -1≤ x≤2$，
$\therefore |x|$的取值范围为$0≤ |x|≤2$，
$\because$ 式子$y=3-2|x|$中$|x|$的系数为$-2＜0$，因此y随$|x|$的增大而减小，
当$|x|=0$即$x=0$时，y取最大值：$3-2×0=3$；
当$|x|=2$即$x=2$时，y取最小值：$3-2×2=-1$。
【答案】
3；-1
【知识点】
绝对值的性质；绝对值化简；代数式求最值
【点评】
本题解题关键是利用给定的x范围先化简确定符号的绝对值，将多绝对值的复杂代数式简化为仅含单个绝对值的式子，再结合绝对值的取值范围和一次式的增减性求最值，解题时要注意准确判断$|x|$在给定区间内的最值，避免混淆。
【难度系数】
0.7

13. 解下列方程：
(1)$x+2|x-1|=3$；
(2)$2|x-5|=2x+|5-x|$；
(3)$\frac{|x-4|}{3} -8 = -\frac{x+2}{2}$；
(4)$||2x-1|-1|=3$；
(5)$|x-3|+|x+4|=9$；
(6)$|x-3|-|x+2|=3x$。

解:$\because \sqrt[3]{y - 1}$和$\sqrt[3]{3 - 2y}$互为相反数,
$\therefore y-1+3-2y=0$,解得$y=2$,
$\because$平方根是它本身的数是$0$,
$\therefore 3x - 21 = 0$,解得$x=7$,
则$x + y = 9$,
故$x + y$的立方根是$\sqrt[3]{9}$。

【分析】
解含绝对值的一元一次方程核心是去掉绝对值符号，转化为普通一元一次方程求解，具体思路如下：1. 找零点：令每个绝对值内的代数式等于0，求出对应的x值，这些值将数轴划分为若干区间；2. 分段讨论：在每个区间内判断绝对值内代数式的正负，依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号；3. 求解普通一元一次方程；4. 验根：检验所得的解是否在对应讨论的区间内，不符合的需舍去。若为多层绝对值，从最外层开始逐层去绝对值即可。
【解析】
(1) 令$x-1=0$得零点$x=1$，分两种情况讨论：
① 当$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，方程化为$x+2(1-x)=3$，解得$x=-1$，符合$x＜1$的条件；
② 当$x≥1$时，$|x-1|=x-1$，方程化为$x+2(x-1)=3$，解得$x=\frac{5}{3}$，符合$x≥1$的条件。
(2) 令$x-5=0$得零点$x=5$，分两种情况讨论：
① 当$x＜5$时，$|x-5|=|5-x|=5-x$，方程化为$2(5-x)=2x+5-x$，解得$x=\frac{5}{3}$，符合$x＜5$的条件；
② 当$x≥5$时，$|x-5|=|5-x|=x-5$，方程化为$2(x-5)=2x+x-5$，解得$x=-5$，不符合$x≥5$的条件，舍去。
(3) 令$x-4=0$得零点$x=4$，分两种情况讨论：
① 当$x≥4$时，$|x-4|=x-4$，方程化为$\frac{x-4}{3}-8=-\frac{x+2}{2}$，去分母、化简后解得$x=10$，符合$x≥4$的条件；
② 当$x＜4$时，$|x-4|=4-x$，方程化为$\frac{4-x}{3}-8=-\frac{x+2}{2}$，去分母、化简后解得$x=34$，不符合$x＜4$的条件，舍去。
(4) 从外层去绝对值，由$||2x-1|-1|=3$可得$|2x-1|-1=±3$，即$|2x-1|=4$或$|2x-1|=-2$；由于绝对值具有非负性，$|2x-1|=-2$不成立，舍去。再解$|2x-1|=4$，得$2x-1=±4$，分别解得$x=\frac{5}{2}$、$x=-\frac{3}{2}$，均符合题意。
(5) 令$x-3=0$得零点$x=3$，令$x+4=0$得零点$x=-4$，分三种情况讨论：
① 当$x＜-4$时，$|x-3|=3-x$，$|x+4|=-x-4$，方程化为$3-x-x-4=9$，解得$x=-5$，符合$x＜-4$的条件；
② 当$-4≤x＜3$时，$|x-3|=3-x$，$|x+4|=x+4$，方程化为$3-x+x+4=9$，即$7=9$，等式不成立，无解；
③ 当$x≥3$时，$|x-3|=x-3$，$|x+4|=x+4$，方程化为$x-3+x+4=9$，解得$x=4$，符合$x≥3$的条件。
(6) 令$x-3=0$得零点$x=3$，令$x+2=0$得零点$x=-2$，分三种情况讨论：
① 当$x≤-2$时，$|x-3|=3-x$，$|x+2|=-x-2$，方程化为$3-x+x+2=3x$，解得$x=\frac{5}{3}$，不符合$x≤-2$的条件，舍去；
② 当$-2＜x≤3$时，$|x-3|=3-x$，$|x+2|=x+2$，方程化为$3-x-(x+2)=3x$，解得$x=\frac{1}{5}$，符合$-2＜x≤3$的条件；
③ 当$x＞3$时，$|x-3|=x-3$，$|x+2|=x+2$，方程化为$x-3-(x+2)=3x$，解得$x=-\frac{5}{3}$，不符合$x＞3$的条件，舍去。
【答案】
(1) $x=-1$或$x=\frac{5}{3}$
(2) $x=\frac{5}{3}$
(3) $x=10$
(4) $x=\frac{5}{2}$或$x=-\frac{3}{2}$
(5) $x=-5$或$x=4$
(6) $x=\frac{1}{5}$
【知识点】
绝对值的性质，一元一次方程的解法，绝对值方程的解法
【点评】
本题组重点考察含绝对值的一元一次方程的求解能力，核心方法为零点分段法，解题过程中需要注意两点：一是要准确找到所有绝对值的零点，正确划分讨论区间；二是求解后必须验根，判断解是否符合对应区间的取值范围，避免产生增根。多层绝对值可从外向内逐层化简求解，掌握方法后可快速突破这类题型。
【难度系数】
0.6

14. 已知关于x的绝对值方程$2\left|\left|x - 1\right| - 3\right| = a$只有三个解，求a的值.

因为$2||x-1|-3|=a$,所以$|x-1|-3=\frac{a}{2}$或$|x-1|-3=-\frac{a}{2}$,所以$|x-1|=3+\frac{a}{2}$或$|x-1|=3-\frac{a}{2}$,所以$x-1=3+\frac{a}{2}$或$x-1=-3-\frac{a}{2}$或$x-1=3-\frac{a}{2}$或$x-1=-3+\frac{a}{2}$,所以$x=4+\frac{a}{2}$或$x=-2-\frac{a}{2}$或$x=4-\frac{a}{2}$或$x=-2+\frac{a}{2}$.当$a=0$时,$4+\frac{a}{2}=4=4-\frac{a}{2}$,$-2-\frac{a}{2}=-2+\frac{a}{2}$,即此时方程只有两个解,不符合题意.所以$a＞0$,所以$4+\frac{a}{2}＞4-\frac{a}{2}＞-2-\frac{a}{2}$,$4+\frac{a}{2}＞-2+\frac{a}{2}＞-2-\frac{a}{2}$.因为关于$x$的绝对值方程$2|||x-1|-3|=a$只有三个解,所以$4-\frac{a}{2}=-2+\frac{a}{2}$,所以$a=6$.

【分析】
要解决这个问题，首先回忆绝对值的性质：绝对值的结果是非负数，因此方程左边的$2\left|\left|x - 1\right| - 3\right|≥0$，可得$a≥0$。对于多层绝对值方程，我们采用从外向内逐层去绝对值的方法：先去掉最外层的绝对值，得到关于$|x-1|$的方程，再去掉内层绝对值得到$x$的所有可能表达式。题目要求方程只有3个解，说明我们得到的几个$x$的表达式中有两个是相等的，排除$a=0$时只有2个解的不符合情况，找到相等的两个解列方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：$\because 2\left|\left|x - 1\right| - 3\right| = a$，且绝对值具有非负性，
$\therefore a≥0$，
将方程变形得：$\left|\left|x - 1\right| - 3\right|=\frac{a}{2}$，
根据绝对值的性质，可得：
$|x-1|-3=\frac{a}{2}$ 或 $|x-1|-3=-\frac{a}{2}$，
移项得：$|x-1|=3+\frac{a}{2}$ 或 $|x-1|=3-\frac{a}{2}$，
再根据绝对值的性质去绝对值：
当$|x-1|=3+\frac{a}{2}$时，$x-1=±(3+\frac{a}{2})$，解得$x=4+\frac{a}{2}$或$x=-2-\frac{a}{2}$；
当$|x-1|=3-\frac{a}{2}$时，$x-1=±(3-\frac{a}{2})$，解得$x=4-\frac{a}{2}$或$x=-2+\frac{a}{2}$。
① 当$a=0$时，$4+\frac{a}{2}=4-\frac{a}{2}=4$，$-2-\frac{a}{2}=-2+\frac{a}{2}=-2$，此时方程只有2个解，不符合题意，因此$a＞0$；
② 当$a＞0$时，$3+\frac{a}{2}＞0$恒成立，对应两个不同的解，要使方程总共有3个解，则$|x-1|=3-\frac{a}{2}$只能对应1个解，即该绝对值方程右边为0，也就是$4-\frac{a}{2}=-2+\frac{a}{2}$，
解得$a=6$。
验证：当$a=6$时，方程的解为$x=7$、$x=-5$、$x=1$，共3个，符合题意。
【答案】
$a=6$

【知识点】
绝对值的性质，绝对值方程求解，方程解的定义
【点评】
本题考查含多层绝对值的方程求解，解题核心是掌握去绝对值的方法，结合绝对值的非负性分析不同情况下解的个数，解题时需先确定参数的取值范围，再根据解的个数要求列等式求解，避免忽略特殊情况导致错误。
【难度系数】
0.4